壓軸專題05二次函數(shù)（與圓結(jié)合問題）

技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

策略一：相切求值等相關(guān)問題，需要結(jié)合相切的性質(zhì)以及二次函數(shù)所給條件

融合相似或三角函數(shù)知識點(diǎn)來完成。

策略二：涉及到最值模型的需要判斷胡不歸或阿氏圓模型

條件：已知

解題步驟：

1）作射線AM使sin/PAM=k,且點(diǎn)M與點(diǎn)B位于直線m的兩側(cè).

2）過點(diǎn)P作PCLAM于點(diǎn)C,則PC=kPA,此時PC+BP.

3）過點(diǎn)B作BDLAM于點(diǎn)D,該垂線段長即為所求最小值，計(jì)算垂線段的

解題大招：即當(dāng)B,P,C三點(diǎn)共線時，取最小值，最小值為BD的長度.

aPA+-PB；

■aa

sin￡P(guān)BM--

a

使用場已知兩個定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)P在定圓上，求PA+kPB的最小值

景

類型點(diǎn)A,B均在圓外,r=kOB(k<l)點(diǎn)A,B均在圓內(nèi)，r=kOB(k>l)

圖示為

ByD

解題策第一步:在0B上取點(diǎn)D,使得OD=kr；第一步:在0B的延長線上取點(diǎn)D,使得OD=kr;

略第二步：由母子相似模型可得APODsa第二步：由母子相似模型可得△PODSABOP,則

BOP,則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;

第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最小

最小值.值

大招結(jié)AD的長即為PA+kPB的最小值

論

學(xué)典題固基礎(chǔ)

例題1(2024?江蘇?模擬預(yù)測)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A(-l,0),

8兩點(diǎn)，AB=4,C為拋物線頂點(diǎn).

⑴求6,。的值；

(2)點(diǎn)尸為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸，垂足為點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)是否存在

QM=3P"？若存在，求出此時尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓3上任一點(diǎn)，求CN+；AN的最小值.

例題2如圖，頂點(diǎn)M在，軸上的拋物線與直線>=尤+1相交于A,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)

為2.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接判斷點(diǎn)A是否在以3M為直徑的圓上，并說明理由；

(3)以點(diǎn)M為圓心，為半徑畫，8C與相切于點(diǎn)C.求直線3C的函數(shù)表達(dá)式.

此新題型特訓(xùn)

1.(24-25九年級上?江蘇宿遷?期末)二次函數(shù)>=改+a+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)4(2,0)、B(4,0),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是這個函數(shù)圖像的一個動點(diǎn).

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2汝口圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在直線8C下方時，過點(diǎn)尸作垂足為求的最大值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在無軸上方時，連接R4、PB,直線/是二次函數(shù)圖像的對稱軸，過點(diǎn)尸作尸垂足

為1N,以點(diǎn)N為圓心作圓，PT與eN相切，切點(diǎn)為T.若以PT的長為邊長的正方形的面積與的面積

相等，試說明eN的半徑是常量.

2、對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形W,圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個最大值記

為d.給出如下定義：若在圖形W上存在一點(diǎn)0,使得產(chǎn)，。兩點(diǎn)間的距離小于或等于則稱尸為圖形W

的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)

①圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值］為二

②在點(diǎn)勺(0,1),王，。)A(3,3)中，。的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是「

(2)如圖2,圖形卬是中心在原點(diǎn)的正方形A3CD,點(diǎn)A(-U).若直線y=x+2上存在正方形ABC。的“伴

隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求r的取值范圍;

⑶點(diǎn)T（f,。）為x軸上的動點(diǎn)，直線>=-氐+石與無軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段MN上的任

意一點(diǎn)，均為半徑為4的eT的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出f的取值范圍.

3、在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，若將點(diǎn)尸沿x軸折疊得到點(diǎn)片，再將點(diǎn)4繞點(diǎn)R順時針旋轉(zhuǎn)90。得到P,則

稱點(diǎn)尸'是點(diǎn)P關(guān)于無軸-點(diǎn)R的折旋點(diǎn).

例如：點(diǎn)。（0,1）關(guān)于x軸-點(diǎn)。的折旋點(diǎn)是點(diǎn)。（-L0）.

⑴如圖1,點(diǎn)A（0,-l）.

①若點(diǎn)2是點(diǎn)A關(guān)于x軸-點(diǎn)C（道,。）的折旋點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)。（-4,1）是點(diǎn)A關(guān)于無軸-點(diǎn)E的折旋點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

⑵如圖2,。的半徑為2,若（。上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)AT是點(diǎn)M關(guān)于x軸-點(diǎn)S（4,0）的折旋點(diǎn)，且點(diǎn)AT在

直線、=無+6上，求b的取值范圍；

⑶“0#是y軸上的動點(diǎn)，F(xiàn)的半徑為2,若尸上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于無軸-點(diǎn)5（4,0）的折

旋點(diǎn)，且點(diǎn)N'在直線>=走了上，直接寫出f的取值范圍.

3

4、如圖，已知拋物線y=f+6x+c與無軸交于點(diǎn)A（2〃z-1,0）和點(diǎn)3（根+2,0）,與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸軸

為直線.

⑴求拋物線的解析式;

⑵點(diǎn)尸是直線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PQ〃V軸，交拋物線于點(diǎn)。，以P為圓心，尸。為半徑作:P,當(dāng)1P

與坐標(biāo)軸相切時，求：，尸的半徑；

(3)直線y=Ax+3左+4(左/0)與拋物線交于Af,N兩點(diǎn)，求,AMN面積的最小值.

5.(24-25九年級上?江蘇常州?期末)如圖1拋物線產(chǎn)-N+fov+c與無軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),與

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,連接C。、CB,點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)NDCP=NBCQ時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)/是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),且與直線C。相切，求點(diǎn)"的

坐標(biāo).

6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m(m>0)分別與無軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn).0G經(jīng)過A、

B、。三點(diǎn)，C為。G在直線y=-x+7"上方的弧上的一個動點(diǎn).

(1)求。G的半徑長(用含相的式子表示)；

(2)已知弧AC、弧BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)尸、。，連接OP,OQ.問：NP。。的度數(shù)是否為定值？如果是，請

求出它的度數(shù)；如果不是，請說明理由；

(3)在(2)條件下，連接AC,BC,。尸分另IJ交A3、AC于M、E點(diǎn)、,分別交AB、BC于N、F.連接ER對

于每一個確定的根的值，都有一個點(diǎn)C,使得SAACB取最大值，對于此時的C,記以AM、MN、BN為三

邊的三角形的外接圓面積為S/,AC瓦'外接圓的面積為8,求苓療-冷機(jī)+四#的最小值.

7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線/:＞三區(qū)+6,給出如下定義：若直線/與某個圓相交，則兩個交點(diǎn)

之間的距離稱為直線/關(guān)于該圓的“圓截距”.

⑴如圖1,。的半徑為1,當(dāng)左=1/=1時，直接寫出直線/關(guān)于。的“圓截距”；

⑵點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1,0),

①如圖2,若，”的半徑為1,當(dāng)6=1時，直線/關(guān)于M的“圓截距”小于求上的取值范圍；

②如圖3,若，加的半徑為2,當(dāng)左的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線/關(guān)于用的“圓截距''的最小值為2,

直接寫出6的值.

8、定義：平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，過二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓.

⑴已知點(diǎn)尸(2,2),以尸為圓心，行為半徑作圓.請判斷。尸是不是二次函數(shù)y=N-4x+3的坐標(biāo)圓，

并說明理由；

⑵已知二次函數(shù)y=x2-4x+4圖像的頂點(diǎn)為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,如圖1,求APOA周長的最小值；

⑶已知二次函數(shù)尸辦2-4x+4圖像交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,與坐標(biāo)圓的第四個交點(diǎn)為

D,連接PC,PD,如圖2.若/CP￡)=120。，求a的值.

9、如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A。,。)，8(3,0),與y軸交于點(diǎn)以。,3),過點(diǎn)C作8〃X軸交拋物線于點(diǎn)E,

且頂點(diǎn)為。，連已知尸是拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)大于。小于4.

（1）求該拋物線的解析式.

（2）直線AP交直線即于點(diǎn)Q.ZAQD=NCAE.求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

（3）過C,E,尸三點(diǎn)作M,過點(diǎn)P作依，CE,垂足為G,交M于點(diǎn)F.在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，線

段G歹的長是否變化，若有變化，求出G尸的取值范圍：若不變，求G歹的長.

10、如圖，拋物線尸加一2a尤+c與x軸分別交于點(diǎn)42（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,

點(diǎn)（；，-：。一3）在拋物線上.

（1）求C的值；

（2）已知點(diǎn)。與C關(guān)于原點(diǎn)。對稱，作射線80交拋物線于點(diǎn)E,若BD=DE,①求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)

表達(dá)式；②過點(diǎn)8作BfUBC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)孔以點(diǎn)C為圓心，以方的長為半徑作。C,點(diǎn)T為

。（7上的一個動點(diǎn)，求好北+"的最小值.

5

11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5,4）,。1\4與丫軸相切于點(diǎn)C,與x軸相交于A,B

兩點(diǎn).

（1）請直接寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過這三點(diǎn)的拋物線解析式;

（2）設(shè)（1）中拋物線解析式的頂點(diǎn)為E,

求證：直線EA與。M相切；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P,且點(diǎn)P在x軸的上方，使APBC是等腰三角形？如果存在，請

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

13

12.（24-25?江蘇?中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，二次函數(shù)y二-不好+1》+2的圖像與x軸交于點(diǎn)A,

B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,過動點(diǎn)8（0,機(jī)）作平行于無軸的直線，直線與二次函數(shù)

13

>=一萬尤2+]X+2的圖像相交于點(diǎn)。，E.

⑴寫出點(diǎn)4點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵若根>0,以。E為直徑作。。，當(dāng)。。與x軸相切時，求"?的值；

（3）直線上是否存在一點(diǎn)E使得AAB是等腰直角三角形？若存在，求加的值；若不存在，請說明理由.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=o?+bx+3與x軸交于A（-l,0）,B（3,O）

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求拋物線解析式;

⑵如圖2,M是拋物線頂點(diǎn)，CBM的外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為。，與y軸的另一交點(diǎn)為￡.

①求tan/CBE；

②若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，在射線AN上是否存在點(diǎn)P,使得△AC尸與3CE相似？如果

存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

⑶點(diǎn)。是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，若/AQC為銳角，且tanZAQC>1,請直接寫出點(diǎn)?？v坐標(biāo)的取值范圍.

14、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=辦?-2無+c與x軸交于點(diǎn)A(1,O)，點(diǎn)8(-3,0),

與y軸交于點(diǎn)C，連接BC,點(diǎn)尸在第二象限的拋物線上，連接尸C、PO,線段尸O交線段BC于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

S2

⑵若PCE的面積為跖，△OCE的面積為$2，當(dāng)肅=可時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N,連接BN,點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)NHCB=NNBC時，

①求滿足條件的所有點(diǎn)H的坐標(biāo)

②當(dāng)點(diǎn)H在線段A3上時，點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，保持。"=1,連接8。，將線段8。繞著點(diǎn)。順

時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段連接請直接寫出線段MX的取值范圍.

15、我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”.如圖所示，點(diǎn)A、B、C、。分別是“蛋

圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-3）,A2為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1,0）,

半圓半徑為2.

⑴求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦CD的長；

⑵已知點(diǎn)E是“蛋圓”上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合），點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸也在“蛋圓”

上，求點(diǎn)E坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)尸是“蛋圓”外一點(diǎn)，滿足NBPC=60。，當(dāng)8尸最大時，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

16、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=-5%+5與無軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線＞=/+法+。

經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與無軸的另一交點(diǎn)為艮

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)M為龍軸下方拋物線上一動點(diǎn)，尤軸交8C于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到某一位置時，線段的

長度最大，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段MN的長度；

（3）如圖2,以B為圓心，2為半徑的。2與x軸交于E、尸兩點(diǎn)（歹在E右側(cè)），若尸點(diǎn)是。B上一動點(diǎn)，

連接B4,以B4為腰作等腰使"4￡＞=90。（尸、A、。三點(diǎn)為逆時針順序），連接FD.

①將線段繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90。，請直接寫出2點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求即長度的取值范圍.

圖1圖2

17、(24-25江蘇鹽城階段練習(xí))已知拋物線y=-V+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與

了軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,點(diǎn)。為拋物線頂點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作。A,點(diǎn)E為。A上的動點(diǎn)，連接DE、BE,

求的最小值；

(2)如圖2,若點(diǎn)H是直線AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，以H為圓心，以1為半徑作。H,點(diǎn)。是。H上一

動點(diǎn)，求他OQ+A。的最小值；

(3)如圖3,點(diǎn)。是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2,過點(diǎn)D作。軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是以。為圓心，1為

半徑的。O上的動點(diǎn)，連接DP、PE,求的最大值.

壓軸專題05二次函數(shù)（與圓結(jié)合問題）

司

技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

策略一：相切求值等相關(guān)問題，需要結(jié)合相切的性質(zhì)以及二次函數(shù)所給條件

融合相似或三角函數(shù)知識點(diǎn)來完成。

策略二：涉及到最值模型的需要判斷胡不歸或阿氏圓模型

條件：已知

解題步驟：

2）作射線AM使sin/PAM=k,且點(diǎn)M與點(diǎn)B位于直線m的兩側(cè).

2）過點(diǎn)P作PCLAM于點(diǎn)C,則PC=kPA,此時PC+BP.

3）過點(diǎn)B作BDLAM于點(diǎn)D,該垂線段長即為所求最小值，計(jì)算垂線段的

解題大招：即當(dāng)B,P,C三點(diǎn)共線時，取最小值，最小值為BD的長度.

bib

aPd+-PB；E妹-晶

a)a

sin￡P(guān)BM=-

使用場已知兩個定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)P在定圓上，求PA+kPB的最小值

景

類型點(diǎn)A,B均在圓外，r=kOB(k<l)點(diǎn)A,B均在圓內(nèi)，r=kOB(k>l)

圖示

4一

ABy

l0DJB

解題策第一步:在OB上取點(diǎn)D,使得0D=kr；第一步:在0B的延長線上取點(diǎn)D,使得OD=kr;

略第二步：由母子相似模型可得aPODsa第二步：由母子相似模型可得△PODSABOP,則

BOP,則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;

第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最小

最小值.值

大招結(jié)AD的長即為PA+kPB的最小值

論

學(xué)典題固基礎(chǔ)

例題1（2024.江蘇.模擬預(yù)測）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=尤②+bx+c的圖象交x軸于A（-l,0）,

B兩點(diǎn)，AB=A,C為拋物線頂點(diǎn).

圖1圖2

⑴求6,。的值；

（2）點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)是否存在

QM=3尸"？若存在，求出此時尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓3上任一點(diǎn)，求CN+；AN的最小值.

【答案】⑴b=-2,c=-3.

⑵存在，［（§1'一3§2）、

⑶后

【分析】（1）通過長度先得到B點(diǎn)坐標(biāo)，再將兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，解方程即可；

（2）先求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)為（利療一2加-3）,進(jìn)而得到尸,M兩點(diǎn)坐標(biāo)，再通過

QM=3PM列出方程，解方程即可;

(3)取取R(2,0),連接NR,BN,先證得得到7W=gN4,進(jìn)而可得到

CN+^AN=CN+RN>CR,再通過C,R兩點(diǎn)坐標(biāo)求得CR長度.

【詳解】解：(1)AB=4,

,3點(diǎn)坐標(biāo)為(3,。)，

將A(-1,O),3(3,0)代入.=爐+版+@,

得l-b+c=0,9+3b+c=0,

解得b=-2,c=-3

(2)設(shè)直線AC的表達(dá)式為丁=丘+6,

由(1)可知拋物線的表達(dá)式為尸式-2工-3=(x-if-4,

故C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,T),

直線AC的表達(dá)式為y=-2x-2

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(rn,病-2m-3),

則。("?,。)，M(m,-2m-2),

QM=0—(—21n—2)—2m+2,

PM——2m—3)=—m2+1

若QM=3PM,

則2m+2=3^—m2+1),

解得7%=g，m2=-1

—1<m<1,

故加=；,此時尸點(diǎn)坐標(biāo)為彳］;

(3)如圖，取R(2,0),連接NR,BN

BR=1,BN=2,BA=4,

BRBN

??南―BA

又l/RBN=/NBA,

:.Z\RBNS/\NBA,

.型—網(wǎng)_J_

,AN~BA~2"

:.RN=-NA,

2

:.CN+-AN=CN+RN>CR,

2

C7?=V42+12=717-

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，能夠熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及相似三角形的應(yīng)用是解題關(guān)

鍵.

例題2如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線>=尤+1相交于A,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)

為2.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接3M.判斷點(diǎn)A是否在以期為直徑的圓上，并說明理由；

(3)以點(diǎn)/為圓心，為半徑畫，M,8C與相切于點(diǎn)C.求直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴y=Y-l

(2)在圓上，理由見解析

(3)y=7x-ll

【分析】（1）根據(jù)題意以及一次函數(shù)的性質(zhì)得出A（-1,O）,*2,3）,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y="2+c,待

定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）根據(jù)A（TO）,3（2,3）,M（O,-1）,勾股定理求得陌仁人人上的,根據(jù)勾股定理的逆定理得出及^

是直角三角形，且鉆=90。，根據(jù)直角所對的弦是直徑，即可求解；

（3）設(shè)為B=履一1，將8（2,3）代入得3=2%—1，則治=2x-l,證明，M4B絲,得出/ASM=NCBM,

ACMB,進(jìn)而求得%c=-/X-5設(shè)C（;〃,-gw-5）,根據(jù)3c=BA=3C構(gòu)造方程，解方程得出

進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解.

【詳解】（1）解：???拋物線與直線y=x+l相交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2.

令y=。，解得：x=-1

AA（-l,0）,

:點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2.

令x=2,解得：y=2+1=3

二3（2,3）,

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=/+c,將4（-1,0）,3（2,3）,代入得

a+c=0

4a+c=9

拋物線的表達(dá)式為：y=x2-l,

(2)連接AM,

根據(jù)A(-l,0),3(2,3),M(0,-l)

M/c=12+12=2

MB2=22+（l+3）2=20

AB2=（l+2）2+32=18

?,-M42+AB2=MB2

.?.△M4s是直角三角形，且ZM4S=90。

...點(diǎn)A在以MB為直徑的圓上；

（3）設(shè)力=履-1

將8（2,3）代入得3=2"1

二.2=2,

***YMB=2%-1

連接AC,MA,MC

AB=BC,MA=MC,MB=MB

MAB^：MCB,

.\ZABM=ZCBM,

AC.LMB,

設(shè)XAC=_；尤+人'

將A（—1,0）代入得0=—；x（—1）+〃,

b———,

2

11

設(shè)。（九一（加一二）,

22

由3C=BA=3五，

-m-\---1-3+(2-m)2=18,

22J

7

解得g=二，在=-1（舍去）,

.7

..m=—,

5

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：yBC=kx+b,

將3(2,3),C代入得,

3=2k+b

k=7

解得

b=-U

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=7尤-11

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與圓綜合，切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，圓周角定理，掌

握以上知識是解題的關(guān)鍵.

s新題型特加

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期末）二次函數(shù)>=辦2+法+8的圖像與無軸分別交于點(diǎn)A（2,o）、B（4,0）,

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是這個函數(shù)圖像的一個動點(diǎn).

⑴求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在直線8C下方時，過點(diǎn)尸作尸垂足為M,求的最大值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在無軸上方時，連接出、PB,直線/是二次函數(shù)圖像的對稱軸，過點(diǎn)P作PNLL垂足

為N,以點(diǎn)N為圓心作圓，PT與eN相切，切點(diǎn)為T.若以尸T的長為邊長的正方形的面積與..的的面積

相等，試說明eN的半徑是常量.

【答案】⑴y=f-6尤+8

⑵竽

(3)見解析

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)、勾股定理、正方形、三角形面積的計(jì)算等知識點(diǎn)，

掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；

(1)利用待定系數(shù)法即可得出答案；

(2)連接尸3、PC,過點(diǎn)P作包>〃九交8c于點(diǎn)求直線2C的解析式，設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(",“2-6〃+8),

則0(〃,-2〃+8),得出尸。，根據(jù)以詠運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為"，〃-6t+8),貝IJS詠=?4_2)(產(chǎn)-6/+8)=?_6/+8

設(shè)eN的半徑為r.根據(jù)切線的性質(zhì)得尸=m2-尸=(,-3)2-/，然后根據(jù)尸丁的長為邊長的正方形的面

積與一R鉆的面積相等，列式計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴解：由題意，得、16“+詠8'

二廣，

[b=-6

y=x2-6x+8；

(2)連接依、PC,過點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)D.

由題意，可得點(diǎn)(0,8),設(shè)直線BC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為>=丘+8,則0=4左+8

y——2x+8

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,則。(",-2〃+8),

PD=-2〃+8-—6"+8)=-/A+4"

則SPBc=gPO.OB=g(一?+4")x4=_22)?+8

當(dāng)”=2時，Smc的最大值為8.

：.-BCPM

2

-X742+82XPM=8,

2

最大PM=

4’5.

(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(/，/—6r+8),貝ijS尸鉆=5(4—2)(f~—6f+8)=L—6f+8

設(shè)eN的半徑為r.

：PT與eN相切,切點(diǎn)為T.

PT2=PN2-r2-r2

V以PT的長為邊長的正方形的面積與一PAB的面積相等

(r-3)2-r2=r2-6r+8,

??r2=1

'/r>0,

,?r=1,

；.eN的半徑是常量.

2、對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形W,圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個最大值記

為d.給出如下定義：若在圖形W上存在一點(diǎn)。，使得P,。兩點(diǎn)間的距離小于或等于弓，則稱尸為圖形W

的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

①圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值d為一;

②在點(diǎn)4（0,1）,6（3,3）中，。的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)“是「

⑵如圖2,圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形ABC。，點(diǎn)A（-U）.若直線y=x+力上存在正方形ABC。的“伴

隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求/的取值范圍;

（3）點(diǎn)T（f,。）為無軸上的動點(diǎn)，直線、=-氐+石與無軸、y軸分別交于V、N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段MN上的任

意一點(diǎn)，均為半徑為4的eT的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出f的取值范圍.

【答案】（1）4,R

（2）-3<f<3

⑶-5W1-生叵或3W庖

3

【分析】（1）①根據(jù)圓的特點(diǎn)，找出最大值即可；

②根據(jù)“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義，對每一個點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；

（2）由題意可得d=，2?+22=2加，過點(diǎn)。作垂直直線？=x+方，交于點(diǎn)”，

當(dāng)M4=也或MC=受時，ON=3,則—3V/V3時，直線P=x+t,上存在點(diǎn)p,使點(diǎn)P為正方形ABC。

22

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)T&0）在x軸負(fù)半軸上時；②點(diǎn)T?,0）在x軸正半軸上時，根據(jù)“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)，，的

定義，求出/的臨界值即可.

【詳解】（1）解：①???圖形W是半徑為2的。，

圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為直徑的長,

d=2x2=4,

②A(0,1)到圓心。的距離為6。=1,

O的半徑為2,

???4Q的最小值為2—1=1=1,

4

二4(0,1)是C。的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

到圓心0的距離為50=；，

O的半徑為2,

4Q的最小值為2_,=：>g,

224

??.巴仁,。)不是0的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

月(3,3)到圓心。的距離為10=出壽=3五，

O的半徑為2,

AQ的最小值為3忘_2>!，

4

月(3,3)不是「0的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

???在點(diǎn)4(0,1),鳥(3,3)中，。的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是

(2)解：.?圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形ABC。，且

正方形ABCD的邊長為2,

正方形中任意兩點(diǎn)的距離最值為AC或80的長，

,-.C?=A/22+22=2y/2，

過點(diǎn)。作垂直直線，=x+t,交于點(diǎn)Af,

①如圖，設(shè)直線y=￡+￡與y軸正半軸交于點(diǎn)N

當(dāng).*=迪=包時，。吟立+0=拽，

44222

②如圖設(shè)直線，=x+2與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N,

當(dāng)加。=!=乎二曰時,°乂與近等'

：.若直線y=X+七上存在正方形4?C￡）的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,

貝!]一34仁3,

（3）解：：eT的圓心為T&0）,半徑為4,

:.d=8,

1?直線、=一氐+指與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),

令y=。時，x=l,令x=0,y=6,

.?.M（1,O）,N（0網(wǎng),

①當(dāng)點(diǎn)T?,0）在x軸負(fù)半軸上時，

點(diǎn)M為線段MN上離eT最遠(yuǎn)的點(diǎn)，如圖所示，可以保證線段MN上的任意一點(diǎn)，均為半徑為4的eT的“伴

隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”

則7M=6,

J07=6—1=5,

t=—5；

過點(diǎn)T作線段"N的垂線于點(diǎn)5,交eT于點(diǎn)4則當(dāng)垂直平分Z4時，點(diǎn)A與線段MN上任一點(diǎn)的距離

是最大的，則能保證線段MN上的任意一點(diǎn)，均為半徑為4的eT的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

:?TB=AB=2；

,：Z.TBM=ZNOM=90°,ZNMO=ZTMB,

:yNOMs,TBM,

.ONOM

3

由勾股定理得：TM=^TB2+BM2

3

4J3

OT=TM-OM=---1,

3

，,14代

?f=1-----;

3

綜上，當(dāng)eT在x軸負(fù)半軸上時，一5W1-拽;

3

②當(dāng)點(diǎn)T,0）在x軸正半軸上時,

如圖，連接力V并延長交eT于凡設(shè)eT在點(diǎn)T左邊交x軸于點(diǎn)E,

當(dāng)腔=2時，則線段MN任一點(diǎn)P到eT的最小距離不大于2,即線段上的任意一點(diǎn)，均為半徑為4的

eT的“伴隨關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

:.MT=2,OT=OM+MT=3>,

即1=3；

當(dāng)點(diǎn)N為線段"N上離eT最遠(yuǎn)的點(diǎn)，如圖，保證線段上的任意一點(diǎn)，均為半徑為4的eT的“伴隨關(guān)聯(lián)

點(diǎn)”;

77V=6,

N（0,⑹，

t=不6。=y/33;

綜上，點(diǎn)T（r,o）在X軸正半軸上時，3</<V33；

綜合上述兩種情況，f的取值范圍為-54芯1-記或3W屈.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，弄清定義，能夠根據(jù)定義，結(jié)合正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4、在平面直角坐標(biāo)系中，若將點(diǎn)P沿x軸折疊得到點(diǎn)再將點(diǎn)4繞點(diǎn)我順時針旋轉(zhuǎn)90。得到P,則

稱點(diǎn)尸'是點(diǎn)P關(guān)于x軸-點(diǎn)R的折旋點(diǎn).

例如：點(diǎn)。（0,1）關(guān)于x軸-點(diǎn)。的折旋點(diǎn)是點(diǎn)。'（-1,0）.

⑴如圖1,點(diǎn)A（0,-l）.

①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于x軸-點(diǎn)C（A/3,0）的折旋點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)。（-4,1）是點(diǎn)A關(guān)于x軸一點(diǎn)E的折旋點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

⑵如圖2,。的半徑為2,若。上存在點(diǎn)使得點(diǎn)AT是點(diǎn)M關(guān)于x軸-點(diǎn)S（4,0）的折旋點(diǎn)，且點(diǎn)M'在

直線丫=尤+6上，求b的取值范圍；

（3/（0，。是y軸上的動點(diǎn)，尸的半徑為2,若1尸上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于x軸-點(diǎn)S（4,0）的折

旋點(diǎn)，且點(diǎn)N'在直線y=（尤上，直接寫出/的取值范圍.

【答案】⑴①（若+1，石），②（-2,3）

⑵-20W6V2近

【分析】（1）①根據(jù)折旋點(diǎn)定義求解即可；

②根據(jù)折旋點(diǎn)定義求解即可；

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（〃?,"），根據(jù)（1）可知的坐標(biāo)為（4-當(dāng)直線與圓相切時，與y軸交點(diǎn)最高

或最低，即可確定b的取值范圍；

（3）確定點(diǎn)廠的折旋點(diǎn)，再根據(jù)與圓相切求取值范圍.

【詳解】⑴解：①如圖所示，點(diǎn)A（0,T）關(guān)于x軸對稱點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）,尸（0,1）繞。（6,0）順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)2,易證sFOCMCMB,BM=6，CM=1,3點(diǎn)坐標(biāo)為（有+1,若），

故答案為：（6+1,6）,

②如圖所示，E點(diǎn)是以。尸為斜邊的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，

因此，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,3）,

故答案為：（-2,3）；

（2）解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（加,"），根據(jù)（1）可知AT的坐標(biāo)為,

點(diǎn)AT在直線上y=x+6,

：A—m—A—n+b^n=m+b,

二點(diǎn)M在直線y=x+b上，

當(dāng)直線>=尤+6與圓相切時，與y軸交點(diǎn)最高或最低，

如圖所示，當(dāng)M在第二象限時，連接。河，

ON=2五，OM=2,6=20，

同理，當(dāng)M在第四象限時，6=-2&，

所以，-2血<6W2近；

（3）解：由y=#x可知，由⑴可知，P（Oj）關(guān)于x軸一點(diǎn)S（4,0）的折旋點(diǎn)N坐標(biāo)為（47,4）,

???點(diǎn)N關(guān)于x軸一點(diǎn)5（4,0）的折旋點(diǎn)”在以（4T,4）為圓心，半徑為2的圓上，

當(dāng)圓在直線y=3尤左側(cè)與直線相切時，如圖所示，由y=3x可知，NWZ=30。，易得，ZW=30°,WY=2,

33

由三角函數(shù)得XZ=4-怨，OZ=64-華）=46一4,

.?.4T=4g-4,

t=8—4A/3,

當(dāng)圓在直線y=右側(cè)與直線相切時，如圖所示，同理可得，WP=4,MP=46,

3

.?.4-才=44+4，

t-—4^/3，

.-.-4A/3<r<8-473.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系和一次函數(shù)綜合，涉及到了三角函數(shù)、全等三角形、旋轉(zhuǎn)等知識，

解題關(guān)鍵是充分理解題意，準(zhǔn)確把握已知條件，發(fā)現(xiàn)折旋點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律.

4、如圖，已知拋物線y=f+6x+c與x軸交于點(diǎn)入(21,0)和點(diǎn)5(m+2,0),與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸軸

為直線了=-1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ〃丁軸，交拋物線于點(diǎn)。，以尸為圓心，尸。為半徑作:尸，當(dāng)二P

與坐標(biāo)軸相切時，求：，尸的半徑；

⑶直線>=米+3左+4(左二0)與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，求,AMZV面積的最小值.

【答案】⑴y=—+2x-3

(2)2或4

(3)8

【分析】(1)由題意及拋物線的對稱性知：-l-(2m-l)=m+2-(-l),即可求得修的值，從而用待定系數(shù)

法可求得函數(shù)解析式；

(2)首先求出直線AC的解析式為了=-》-3,由軸及點(diǎn)。在拋物線上，可得點(diǎn)。的坐標(biāo)，從而求

得尸。的長度，分兩種情況討論：當(dāng),尸與x軸相切時；當(dāng)P與y軸相切時；分別利用圓心到切線的距離等

于半徑得到方程，解方程即可求得半徑；

(3)由、=履+3左+4(左*0)知，直線過點(diǎn)G(-3,4),則得AGLx軸，且AG=4；聯(lián)立直線與拋物線的解析

VUAGMAGNUXMX

式，消去y得一元二次方程，可求得M與N的橫坐標(biāo)，再由5AMS+SZI-J，可得關(guān)于發(fā)

的函數(shù)關(guān)系式，即可求得面積的最小值.

【詳解】(1)解：拋物線y=Y+bx+c與x軸交于點(diǎn)4(2帆-1,0)和點(diǎn)3(帆+2,0),對稱軸為直線尸-1

；.A、8關(guān)于對稱軸對稱,

.-.-l-(2m-l)=m+2-(-1),

解得：m=-l,

即A(-3,0),8(1,0),

9一35+。=0

把A、2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=1+6x+c中，得

l+b+c=0

b=2

解得:

則所求函數(shù)解析式為y=Y+2x-3；

(2)解：對于y=d+2x-3,令x=0,得產(chǎn)一3,

C(0,-3),

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+d,

—3ci+d=0

則有

d=-3

a=-1

解得:

所以直線AC的解析式為y=-尤-3,

設(shè)點(diǎn)尸3),

PQ〃y軸，點(diǎn)。在拋物線上,

???。的坐標(biāo)為3,/+24-3),

當(dāng)：，尸與％軸相切時；

J4+—卜Q一3|,

即a?+3a=—a—3,或。n+3〃=—(—a—3),

解得：a=—l9a=—3或a=l,a=—3

顯然，=—3時點(diǎn)尸、。與點(diǎn)A重合，不合題意，貝=及〃=1,

當(dāng)a=—1時，一a—3=—2；當(dāng)〃=1時，一a—3=—4,

此時P的半徑分別為2或4；

當(dāng)：，尸與丁軸相切時；

“2+3a|=|tz|,

即a?+3a=-ci，a?+3a—Q，

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=—2,

顯然〃=0時點(diǎn)尸、。與點(diǎn)C重合，不合題意，則a=-4及〃=-2,

此時P的半徑分別為4或2；

綜上，尸與坐標(biāo)軸相切時，尸的半徑分別為2或4；

(3)解：當(dāng)％=—3時，y=\x(-3)+3k+4=4,

「?直線y=履+3k+4過點(diǎn)G(-3,4),

A(—3,0),

.?.AG_L尤軸，且AG=4；

fv—左v+3k+4

聯(lián)立直線與拋物線的解析式得：，c

[y=x+2x-3

消去y得：x2+(2-k)x-3k-7=0,

A=(2—左/一4x1x(-3k—7)=(左+4>+16>0,

-(2-k)+J.+4)2+16-(2-k)-J.+4>+16

???XN=-------------j--------------，XM=-------------------------------'

xN—xM=,('+4)2+16,

SAMN=SAGM+SAGN=-AG-(-3-XM)+—AG\XN+3)=2\XM-X^|,

.?.S忖=2近+4)2+16,

當(dāng)左=T時，(左+4f+16有最小值16,從而AAW的面積有最小值2x4=8.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)、圓、三角形的綜合，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的相切，三角形面積，解一元二次方程等知識，綜合性強(qiáng)，靈活運(yùn)用這

些知識是關(guān)鍵.

5.(24-25九年級上?江蘇常州?期末)如圖1拋物線y=-N+bx+c與無軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),與

y軸交于點(diǎn)C頂點(diǎn)為D,對稱軸交無軸于點(diǎn)。，過C、。兩點(diǎn)作直線CD

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,連接CQ、CB,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)/DCP=/BC。時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)〃是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與直線CD相切，求點(diǎn)〃的

坐標(biāo).

【答案】(l)y=*+2x+3

⑶必(1,26-4)、M2(1,-276-4)

【分析】(1)將點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可.

(2)連接8￡),利用兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理證明ABCD為直角三角形，得到48=90。，通過

〃<7/>=/8(7。得到/。8=90。，求出直線CQ解析式，利用斜率乘積為-1以及點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線CP解

析式，最后聯(lián)立直線CP解析式與二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可.

(3)設(shè)直線CD切。M與點(diǎn)E,連接ME、MA,作CFLD。于點(diǎn)/，利用圓與相切的性質(zhì)得到ME,CD,

ME=MA,利用邊與角的關(guān)系，證明AZXT是等腰直角三角形，進(jìn)而得到ADEAf為等腰直角三角形，設(shè)

M(L〃?)，分別用M點(diǎn)坐標(biāo)表示出旌和網(wǎng)的長，最后即可得到關(guān)于機(jī)的方程，然后求解方程，得到答

案.

【詳解】(1)解：由題意可知：點(diǎn)A(-L0)、B(3,0)在拋物線產(chǎn)-N+^x+c上,

-I2+Z?+c=0b=2

解得:

-32+3b+c=0c=3

二拋物線的函數(shù)解析式為：y=-/+2x+3.

(2)解：連接5。，如下圖所示：

由y=-/+2x+3可知：對稱軸為：直線x=l,C(0,3),D(1,4),

由兩點(diǎn)間距離公式可得：DC=J(1-0>+(4-3)2=石，BC=7(3-0)2+(0-3)2=3A/2,

BD=7(3-I)2+(0-4)2=2后

?在ABCD中，DC2+BC2=BD2,

，ABC￡>為直角三角形，且/BCD=90。，

NDCP=NBCQ,且ZDCP+NBCP=90°,

NBCQ+ZBCP=ZQCP=90°,即QC_LCP,

設(shè)直線C。解析式為：y=klx+n,直線C尸解析式為：y=k2x+d,

n=3h=—2

,解得:

kA+n=ln=3

???直線。。解析式為：y=—2X+3,

QC±CP,

.,.左,2=-19即后2=5，

直線CP解析式為：y=^x+d,

將(0,3)代入得：3=d,故直線C