高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省青桐鳴大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.我國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)量連續(xù)5年居世界首位．某客戶欲購(gòu)買(mǎi)一輛新能源汽車(chē)，已知品牌有5種不同型號(hào)的汽車(chē)，品牌有10種不同型號(hào)的汽車(chē)，品牌有6種不同型號(hào)的汽車(chē)可供選擇，則該客戶不同的選擇種數(shù)為（）A.21 B.40 C.56 D.300【答案】A【解析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，客戶不同的選擇種數(shù)為．故選：A．2.已知服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由兩點(diǎn)分布的性質(zhì)可知，，又，所以.故選：C.3.在等比數(shù)列中，若，且，則公比（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)及等比數(shù)列的性質(zhì)有，可得，而，則.故選：D4.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在的展開(kāi)式通項(xiàng)為，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，由可得，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：C．5.已知直線與圓相切，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由，則，所以圓心，半徑，，由題設(shè)，則.故選：A6.某質(zhì)檢部門(mén)對(duì)一家超市中A，B，C三種食品進(jìn)行質(zhì)量抽查，從這三種食品中任取一件，質(zhì)量合格率為，據(jù)該超市反饋，A，B兩種食品的質(zhì)量合格率分別為，，且A，B，C三種食品的件數(shù)之比為．根據(jù)上述信息推斷，C種食品的質(zhì)量合格率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)C種食品質(zhì)量合格率為，根據(jù)全概率公式可知，，解得．故選：B．7.將字母排成一排，若要求相鄰，且不在兩端，則不同的排列方法共有（）A.228種 B.192種 C.240種 D.168種【答案】B【解析】將捆綁在一起，視為一個(gè)整體，不考慮的位置，則有（種）排法，當(dāng)兩端時(shí)，有（種）排法，所以滿足要求排列方法有（種）.故選：B8.在正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別為正方形與正方形的中心，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M到平面的距離最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)，所以，所以，點(diǎn)M到平面的距離，當(dāng)時(shí)，即與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)M到平面的距離最大，此時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則下列等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由，得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由，得，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ABD．10.已知隨機(jī)事件滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件互相獨(dú)立 B.C. D.【答案】AC【解析】由，得，，．對(duì)于A：，所以，所以事件，互相獨(dú)立，所以事件互相獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭录ハ嗒?dú)立，所以事件互相獨(dú)立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有極大值 B.當(dāng)時(shí)，C.，恒成立 D.當(dāng)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，．則.令．解得．則當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有取得極大值，A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)，時(shí)，，故在單調(diào)遞增，則，B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，若，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，恒成立．畫(huà)出的大致圖象，如下：可知當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，且，若，則______.【答案】1009.【解析】，是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，且，若，因?yàn)?，所?故答案為：1009.13.現(xiàn)將一個(gè)7、兩個(gè)3、三個(gè)5排成一排，不同的排列方法有_______種.【答案】60【解析】由題意知，一個(gè)7，兩個(gè)3，三個(gè)5共6個(gè)數(shù)字全排列，共種方法，又因?yàn)?個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)3和三個(gè)5是重復(fù)的，所以共有種方法.故答案為：60.14.已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為,若等邊三角形的邊在x軸的非負(fù)半軸上，與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，位于第一象限的點(diǎn)，在拋物線C上，則_______.（用含n的式子表示）【答案】【解析】由題設(shè)，易得，則，在拋物線C上，等邊三角形的邊在x軸的非負(fù)半軸上，與原點(diǎn)O重合，設(shè)，則時(shí)，故，所以，當(dāng)時(shí)，，則，若是的前n項(xiàng)和，則，故，顯然時(shí)滿足，當(dāng)，，整理得，又，則，故是首項(xiàng)、公差都為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知隨機(jī)變量的分布列為013（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)隨機(jī)變量，求．解：（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，．解得．（2）數(shù)學(xué)期望．（3）的方差：，故．16.已知．（1）求的值．（2）若．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣蟮恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)．解：（1）令，得，；（2）（?。┝?，得，，解得．（ⅱ）因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，故的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．17.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線l交C的右支于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若直線l的傾斜角為，且C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，M為雙曲線C的左支上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.解：（1）當(dāng)軸時(shí)，，將代入方程中，得，由，解得，即，所以，整理得，所以，故，由，解得，即雙曲線的離心率為.（2）因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以，則，所以雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)，得直線，即.設(shè)，，消去得，則，所以.設(shè)過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程為，當(dāng)與雙曲線的左支相切時(shí)，與之間的距離最小，此時(shí)的面積最小.，消去得，，解得.當(dāng)時(shí)，與雙曲線的右支相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與雙曲線的左支相切，符合題意，所以，與直線的距離為，所以面積的最小值為.18.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：，．解：（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，故．（2），則，所以在上恒成立．故在上恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，令，則，所以，，，…，，所以．故原不等式得證.19.若隨機(jī)變量X，Y均為定義在同一樣本空間上的離散型隨機(jī)變量，則將稱為二維離散型隨機(jī)變量,將取值為的概率記作，其中.甲、乙兩人進(jìn)行足球點(diǎn)球比賽，約定如下：甲、乙各點(diǎn)一次球，點(diǎn)球者進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.若平局，甲、乙再通過(guò)抽簽決定誰(shuí)點(diǎn)球，且甲、乙抽中簽的概率均為，抽中簽者點(diǎn)球，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得分；未抽中者不點(diǎn)球，得0分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲、乙每次進(jìn)球的概率分別為，，且每次點(diǎn)球之間相互獨(dú)立.記甲得分為X，乙得分為Y.（1）求，；（2）求；（3）