第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編空間直線、平面的垂直一、單選題1．（2025北京東城高三一模）祈年殿（圖1）是北京市的標(biāo)志性建筑之一?距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱和兩根金柱形成的幾何體（圖2）中，米，，則平面與平面所成角的正切值約為（

）

A． B． C． D．2．（2025北京房山高三一模）如圖，將棱長為2的正方體六個面的中心連線，可得到八面體，為棱上一點，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．平面B．八面體的體積為C．的最小值為D．點到平面的距離為3．（2025北京西城高三一模）設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025北京豐臺高三一模）如圖，正方體的棱長為2，為的中點，為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①存在唯一的點，使得，，，四點共面；②的最小值為；③存在點，使得；④有且僅有一個點，使得平面截正方體所得截面的面積為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025北京延慶高三一模）已知正方體的棱長為1，若在該正方體的棱上有點M，滿足，則點M的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．86．（2024北京東城高三一模）如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是弧的中點，為的中心.現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2.設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）

A． B． C． D．7．（2024北京門頭溝高三一模）如圖，正方體中，點為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）（1）三棱錐的體積為定值；（2）直線與平面所成的角的大小不變；（3）直線與所成的角的大小不變，（4）．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023北京順義高三一模）在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條二、填空題9．（2025北京西城高三一模）端午節(jié)又名端陽節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國首個入選世界非遺的節(jié)日．從形狀來分，端午節(jié)吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個四面體，如圖所示．設(shè)棱的長為，其余的棱長均為，則該四角粽的表面積為，內(nèi)含食物的體積為．（粽葉的厚度忽略不計）10．（2023北京延慶高三一模）四面體的三條棱兩兩垂直，，，為四面體外一點，給出下列命題：①不存在點，使四面體三個面是直角三角形；②存在點，使四面體是正三棱錐；③存在無數(shù)個點，使點在四面體的外接球面上；④存在點，使與垂直且相等，且.其中真命題的序號是.11．（2023北京門頭溝高三一模）在正方體中，棱長為，已知點、分別是線段、上的動點（不含端點）.①與垂直；②直線與直線不可能平行；③二面角不可能為定值；④則的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號是.12．（2023北京平谷高三一模）如圖，矩形ABCD中，，M為BC的中點，將沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐，N為的中點，則在翻折過程中，①對于任意一個位置總有平面；②存在某個位置，使得；③存在某個位置，使得；④四棱錐的體積最大值為．上面說法中所有正確的序號是．三、解答題13．（2025北京通州高三一模）如圖1，將邊長為2的正六邊形沿翻折，使平面與平面垂直，如圖2.點M在線段上，平面.

(1)證明：M為線段中點；(2)求二面角的余弦值.14．（2024北京門頭溝高三一模）如圖，在四棱錐中，平面，，為棱的中點．(1)求證：//平面；(2)當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案1．B【分析】若平面平面，是的中點，連接，從而得到是平面與平面所成角的平面角，即為所求角，結(jié)合已知求其正切值.【詳解】若平面平面，則平面與平面所成角，即為平面與平面所成角，由題意有，即是等腰三角形，腰長約為8米，，易知，若是的中點，連接，則，且平面，由平面，則，都在平面內(nèi)，所以平面，則是平面與平面所成角的平面角，其中，，則.

故選：B2．D【分析】依據(jù)線面平行判定定理，棱錐體積公式，等體積法求點到面的距離等知識對選項逐一判斷即可.【詳解】在正方體中，連接可知相交于點，且被互相平分，故四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正確；因為正方體棱長為2，所以四邊形是正方形且，面,，所以八面體的體積等于棱錐體積的2倍，而棱錐體積等于，故八面體的體積為，B正確；因為為棱上一點，將和展開成一個平面，由題和均為正三角形，且邊長為，由三角形兩邊之和大于第三邊知最小值為，在中由余弦定理可知，故C正確；對于D選項：設(shè)點到平面的距離為,由等體積法知：，故錯誤.故選：D.3．A【分析】根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)及充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時得不到，直線可能與平面斜交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．B【分析】對于結(jié)論①，作出經(jīng)過點，，的截面即可判斷；對于結(jié)論②，由分析可得，即可判斷；對于結(jié)論③，作出經(jīng)過點且與直線垂直的平面，判斷平面與是否有交點即可判斷；對于結(jié)論④，分析點與點重合時與點從上靠近點的三等分點向點運動時兩種情況的截面面積的變化情況即可判斷.【詳解】對于結(jié)論①，取中點為，連接，，，，因為正方體，為的中點，所以，所以，，，四點共面，如圖確定的平面與線段有且僅有一個交點，故結(jié)論①正確；對于結(jié)論②，因為，求的最小值，即求的最小值，因為正方體，所以，，，四點共面，所以與會相交于一點，設(shè)為，此時，因為，所以的最小值為錯誤，故結(jié)論②錯誤；對于結(jié)論③，取，中點分別為，，連接，設(shè)交于點，若平面，在平面中，易知，所以，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，

所以.所以存在點，使得，故結(jié)論③正確.對于結(jié)論④，當(dāng)點與點重合時，截面為矩形，截面面積為，當(dāng)點為上靠近點的三等分點時，取中點為，連接，，，，，，此時四邊形即為平面截正方體所得截面，證明如下：已知平面，求證點為上靠近點的三等分點，因為，所以，所以點為上靠近點的三等分點，得證.又因為，且，，所以四邊形為等腰梯形，面積為，所以當(dāng)點為上靠近點的三等分點時，截面面積為，當(dāng)點趨近于點時，截面面積趨近于3，因為，，點從上靠近點的三等分點向點運動時，截面面積的變化是連續(xù)的，所以點從上靠近點的三等分點向點運動時存在某點，使得截面面積為，故線段上至少存在兩個點使得截面面積為，故結(jié)論④不正確故選：B.5．C【分析】結(jié)合點M在正方體的棱上，可分點M在棱和棱上，在棱，棱，棱，棱上兩類討論即可【詳解】因為，所以點M不在棱，棱上，所以當(dāng)點M在棱上時，設(shè)，連，在中，，由余弦定理可得，，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個點M；由對稱性可知在棱，棱，棱上各存在一個點M；因為，所以點M不在平面內(nèi).所以當(dāng)點M在棱上時，設(shè)，連，在直角三角形中，，所以，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個點M；由對稱性可知在棱上也存在一個點M；綜上可知滿足題意的點M共6個.故選：C.6．C【分析】找出點軌跡后，再借助線面垂直的性質(zhì)得到直線在平面的投影，結(jié)合正弦函數(shù)定義計算即可得.【詳解】取中點，連接，，由三角形為正三角形，故在線段上，且，即，則在以為原點，為半徑的圓上，由題意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直線在平面的投影為直線，即，則當(dāng)與該圓相切，即時，有.故選：C.

7．C【分析】由已知可得面，可得上任意一點到平面的距離相等，即可判斷（1）；點P在直線上運動時，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，即可判斷（2）；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可判斷（3）；由線面垂直的判定定理可證平面，即可判斷（4）【詳解】對于（1），因為，面，面，所以面，所以上任意一點到平面的距離相等，又，所以三棱錐的體積不變，故正確；對于（2），點P在直線上運動時，直線AB與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故錯誤；對于（3），設(shè)，則，又面，所以，又，所以平面,又平面，所以，所以點P在直線上運動時，直線與直線所成的角的大小不變，故正確；對于（4），因為為正方體，則平面，且平面，則，又，且，平面，所以平面，且平面，所以，又平面，且平面，所以，又，且，平面，所以平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，且平面，所以，故正確；故選：C8．D【分析】過點作，垂足為，連接，當(dāng)，高度一樣，即時，一定有，進(jìn)而求解.【詳解】過點作，垂足為，連接，當(dāng)，高度一樣，即時，一定有，理由如下：在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，且平面，所以，即.所以當(dāng)，高度一樣，即時，一定有，此時滿足條件的直線有無數(shù)條.故選：D.9．【分析】根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面積公式求解.【詳解】,所以為銳角，所以，該四角粽的表面積，取中點為，連接，則,所以,即，且，平面，所以平面，內(nèi)含食物的體積為.故答案為：；.10．②③④.【分析】對于①，可構(gòu)造四棱錐與四面體一樣進(jìn)行判定；對于②，使，此時存在點D，使，使四面體是正三棱錐；對于③，四面體的外接球的球心為P，半徑為為r，只需，可判定真假；對于④，取，，此時滿足CD與AB垂直并且相等.【詳解】如圖所示：對于①，∵四面體的三條棱兩兩垂直，，，∴，．當(dāng)四棱錐與四面體一樣時，即取，，四面體的三條棱、、兩兩垂直，此時點D，使四面體有三個面是直角三角形，故①不正確；對于②，由①知，，使，此時存在點D，使，則四面體是正三棱錐，故②正確；對于③，四面體的外接球的球心為P，半徑為為r，只需即可，∴存在無數(shù)個點D，使點O在四面體的外接球面上，故③正確；對于④，由，，取，，AB的中點為E，則有，，平面，，平面，平面，，即存在點，使與垂直且相等，且，故④正確.故答案為∶②③④【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何圖形有構(gòu)造法，圍繞線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、長方體與外接球的性質(zhì)、特殊的四面體性質(zhì)，需要較強的空間想象能力、推理能力，運用好數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵.11．①④【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷①；取、分別為、的中點，利用中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性可判斷②；利用二面角的定義可判斷③；將和延展至同一平面，分析可知當(dāng)時，取最小值，根據(jù)三角形邊與角的關(guān)系可求得的最小值，可判斷④.【詳解】對于①，因為，則、、、四點共面，因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，①對；對于②，當(dāng)、分別為、的中點時，，又因為，此時，②錯；對于③，因為、，平面即為平面，平面即為平面，所以，二面角即為二面角，而二面角為定值，故二面角為定值，③錯；對于④，因為平面，平面，則，同理可得，因為，同理可得，，將和延展至同一平面，如下圖所示：在中，，，因為，，，所以，，所以，，故，所以，，當(dāng)時，取最小值，且最小值為，④對.故答案為：①④.12．①④【分析】證明，結(jié)合線面平行判定判斷①；由結(jié)合與不垂直，判斷②；由線面垂直的判定得出點與點重合，從而判斷③；取的中點為，連接，當(dāng)平面時，四棱錐的體積最大，從而判斷④.【詳解】分別取的中點為，連接.因為的中點分別為，所以，且.即四邊形為平行四邊形，故，由線面平行的判定可知對于任意一個位置總有平面，故①正確；因為，所以與不垂直，由可知，與不垂直，故②錯誤；由題意，若，則由線面垂直的判定可得平面.則，因為，所以與全等，則，此時點與點重合，不能形成四棱錐，故③錯誤；取的中點為，連接，，當(dāng)平面時，四棱錐的體積最大，最大值為，故④正確；故答案為：①④13．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，即可結(jié)合正邊形的性質(zhì)求證，（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得的補角即為二面角的平面角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）由于平面，平面，平面平面,故,又,故四邊形為平行四邊形，故,由于，故,故M為線段中點，（2）過作于,過作于，連接,由于平面與平面垂直,且交線為,平面，故平面，平面，故,又，平面，故平面平面，故,故的補角即為二面角的平面角，由于故為的中點，則，由于為等邊三角形，為的中點，故,在直角中，故二面