第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《旋轉(zhuǎn)綜合》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．綜合與實(shí)踐在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究與角的度數(shù)、線段長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題．操作探究：將三角形紙片進(jìn)行如下操作：(1)第一步：如圖①，折疊三角形紙片使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開(kāi)鋪平，則____________度，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________；(2)第二步：如圖②，將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)E、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、G，直線與邊交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊交于點(diǎn)N，試寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如圖③所示，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．2．（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，C上，若，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______________；（提示：以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°）解決問(wèn)題：（2）如圖2，若把（1）中的正方形改為等腰直角三角形，，，是底邊上任意兩點(diǎn)，且滿足，試探究，，之間的關(guān)系；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，若把（1）中的正方形改為菱形，，菱形的邊長(zhǎng)為，，分別為邊，上任意兩點(diǎn)，且滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．3．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)D、E分別在線段上，．(1)觀察猜想：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)，①的值為；②的度數(shù)為度；(2)類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)E不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．4．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，延長(zhǎng)至點(diǎn)，滿足，然后連接．(1)實(shí)踐猜想：圖1中的與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，位置關(guān)系為_(kāi)__________；(2)拓展探究：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．5．小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．(1)猜測(cè)探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB．①如圖1，若M是線段BC上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是，NB與MC的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上點(diǎn)，若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點(diǎn)，連接MC，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)拓展應(yīng)用：如圖3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意點(diǎn)，連接A1P，將A1P繞點(diǎn)A1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)75°，得到線段A1Q，連接B1Q．求線段B1Q長(zhǎng)度的最小值．6．問(wèn)題背景：如圖，已知的頂點(diǎn)在的邊所在直線上（不與，重合），交所在直線于點(diǎn)，交所在直線于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，初步嘗試：如圖，當(dāng)是等邊三角形，，，且，時(shí)，則(1)類比探究：在上述條件下，先將隨點(diǎn)沿平移，使，再將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置，求的值．(2)延伸拓展：當(dāng)是等腰三角形，時(shí)，設(shè)．①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，，求的表達(dá)式（結(jié)果用，和的三角函數(shù)表示）；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，，直接寫(xiě)出的表達(dá)式，不必寫(xiě)出解答過(guò)程．7．如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．8．【題目】如圖①，在矩形中，，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)E，連接．試判斷線段與的位置關(guān)系．【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，垂直平分，并展示了如下的證明方法：證明：∵，∴．∵，∴．∵四邊形是矩形，∴．∴（依據(jù)1）∵，∴，∴，∵，∴（依據(jù)2），∴垂直平分．(1)【反思交流】上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”是；“依據(jù)2”是；(2)小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖②，連接圖①中的，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，求證：點(diǎn)G在線段的垂直平分線上；【拓展應(yīng)用】如圖③，將圖②中的繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．分別以點(diǎn)B、C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接，若，直接寫(xiě)出m的值．9．[發(fā)現(xiàn)]如圖，在中，，，點(diǎn)在斜邊上、點(diǎn)在直角邊上，若．求證：；探究如圖．在矩形中，，．點(diǎn)在上，連接，過(guò)點(diǎn)作交（或的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．（1）若．求的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；拓展如圖，在矩形中，，．點(diǎn)在上，且．已知，將繞點(diǎn)從在上時(shí)開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)．交邊（或）于點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)至上時(shí)，的旋轉(zhuǎn)隨即停止，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．10．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，將以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，若當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，與相交于點(diǎn)F，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(1)解決問(wèn)題：請(qǐng)你解決老師提出的問(wèn)題．(2)數(shù)學(xué)思考：“興趣小組”的同學(xué)們受到老師所提問(wèn)題的啟發(fā)，將按圖2所示的方式，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，與交于點(diǎn)M．求此時(shí)的長(zhǎng)度．(3)拓展探究：“智慧小組”又提出問(wèn)題，如圖3，將以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)度為多少？請(qǐng)你思考該問(wèn)題，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．11．如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)猜想：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是______________；(2)探究：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎?說(shuō)明理由；(3)拓展：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長(zhǎng)是_______________．12．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊、上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．13．已知，，．

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將的頂點(diǎn)放在的邊上（不與，重合），繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，使交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)總有，請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)【類比學(xué)習(xí)】如圖2，將的頂點(diǎn)放在的邊的延長(zhǎng)線上，交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖3，若，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．14．在等腰中，，，，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)，M為中點(diǎn)．(1)如圖（1），若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，解決如下問(wèn)題：①【猜想證明】與的關(guān)系是_________；②【探究應(yīng)用】求周長(zhǎng)的最小值；③【探究應(yīng)用】當(dāng)取最小值時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)【拓展提升】如圖（2），若為線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的度數(shù)．15．和均為等邊三角形，O分別為和的中點(diǎn)，連接，，．

(1)【特例發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在上時(shí)，可以得出結(jié)論：______；直線與直線的位置關(guān)系是______．(2)【探究證明】如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在線段上，連接．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展運(yùn)用】如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)：①連接，判斷四邊形的形狀，并給予證明；②直接寫(xiě)出的值．參考答案1．(1)90；(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，即軸對(duì)稱性質(zhì)求解即可；（2）連接，證，則全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）先由勾股定理求出BC=10，從而求得BD=5，由旋轉(zhuǎn)志折疊可求出DF=DE=3，AE=4，再在Rt△DFB中，再由勾股定理，求得BF=4，由（2）問(wèn)可得ME=MF，所以設(shè)ME=MF=x，則AM=4-x，BM=4+x，然后在Rt△ABM中，由勾股定理，得，即，求解得x=，則可求出AM長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由折疊可知，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，∴DE⊥AC，AE=CE，∴∠EDC=90°，∴∠BAC=∠DEC=90°，∴DEAB，∴，∴CD=BD，故答案為：90，；（2）解：證明：∵折疊三角形紙片使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，∴．∴．連接，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：．又∵∴∴．（3）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=，由（1）知，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，∴BD=BC=5，DE=AB=×6=3，AE=CE=AC=×8=4，由旋轉(zhuǎn)得：∠DFM=∠DEC=90°，DF=DE=3，∴∠DFB=90°，在Rt△DFB中，由勾股定理，得BF=，由（2）知：ME=MF，設(shè)ME=MF=x，則AM=4-x，BM=4+x，在Rt△ABM中，由勾股定理，得，即，解得：x=，∴AM=4-x=4-=．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)與折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，三角形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，本題屬幾何變換綜合題目，熟練掌握旋轉(zhuǎn)與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）（2）見(jiàn)解析（3）【分析】（1）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，可得，，，然后證明，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，，，然后證明，可得進(jìn)而證得，再根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，是等邊三角形，然后證明，可得，然后根據(jù)等邊三角形的面積即可解決問(wèn)題．【詳解】（1），理由如下：如圖，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，，，四邊形是正方形，，，，，，，（2）如圖，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，．由題知，，，．．．，．．是等腰直角三角形，．．，．（3）．如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3．(1)，45(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）如圖所示，設(shè)與交于O，求得，，，證明，據(jù)此求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）分兩種情形：如圖3-1和圖3-2所示，分別求出，根據(jù)（1）（2）的方法求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)與交于O，∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，，，即，∴，∴，∴，，∵，∴，由于點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴，故答案為：，45；（2）解：設(shè)與交于O，∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，，，即，∴，∴，∴，，∵，∴；（3）解：如圖3-1所示，當(dāng)于O時(shí)，∵和都是等腰直角三角形，，，∴同（1）可得，∵，∴，∴，∴，同理可證，∴，∴；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于O．同理可得，，，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵在于能找到相似三角形進(jìn)行求解．4．(1)，(2)成立，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）和等腰直角三角形，證明即可；（2）根據(jù)和都是等腰直角三角形，證明即可；（3）分類討論，如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵和等腰直角三角形，∴，延長(zhǎng)至點(diǎn)，∴，且，∴，∴，，，如圖所示，延長(zhǎng)交于，在中，，∵，∴在中，，即，∴，即，故答案為：，．（2）解：成立，理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴．（3）解：旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線，①如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，∵是等腰三角形，，，∴，，在中，，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線時(shí)，；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，同理，，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線時(shí)，；綜上所述，當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．(1)①∠NAB＝∠MAC，BN＝MC；②成立，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB，判斷出△CAM≌△BAN，即可得出結(jié)論；②由旋轉(zhuǎn)知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB，判斷出△CAM≌△BAN，即可得出結(jié)論；（2）在A1C1的截取A1O=A1B1，過(guò)點(diǎn)A1作AE⊥B1C1于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出A1P=A1Q，∠QA1P=75°，可證△PA1O≌△QA1B1（SAS），得出OP=B1Q，要線段B1Q長(zhǎng)度的最小，則線段OP長(zhǎng)度最小，而點(diǎn)O為A1C1上定點(diǎn)，當(dāng)OP⊥A1C1時(shí)，OP最小，先求∠C1=180°-∠A1B1C1-∠B1A1C1=45，，再利用30°直角三角形性質(zhì)求出B1E=，利用勾股定理求出，利用等腰直角三角形求出即可．【詳解】（1）解：①結(jié)論：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．由旋轉(zhuǎn)知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，即：∠MAC=∠NAB，∵AB=AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC=NB，故答案為∠NAB=∠MAC，MC=NB；②（1）中結(jié)論仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，即：∠MAC=∠NAB，∵AB=AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC=NB；（2）解：如圖3，在A1C1的截取A1O=A1B1，過(guò)點(diǎn)A1作AE⊥B1C1于E，由旋轉(zhuǎn)知，A1P=A1Q，∠QA1P=75°，∴∠B1A1C1=∠QA1P=75°，，∴∠PA1C1=∠B1A1Q，在△PA1O和△QA1B1中，∵A1O=A1B1，∠PA1O=∠B1A1Q，A1P=A1Q，∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），∴OP=B1Q，要線段B1Q長(zhǎng)度的最小，則線段OP長(zhǎng)度最小，而點(diǎn)O為A1C1上定點(diǎn)，當(dāng)OP⊥B1C1時(shí)，OP最小，在Rt△OPC1中，∠C1=180°-∠A1B1C1-∠B1A1C1=45，在Rt△A1B1E中∵A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A1E=90°-60°=30°，B1E=，，在Rt△A1EC1中，∵∠C1=45°，∴A1E=C1E=，，∴C1O=A1C1-A1O=，∴OP最小=即：線段B1Q長(zhǎng)度的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出△PA1O≌△QA1B1是解本題的關(guān)鍵．6．(1)12(2)①；②【分析】（1）設(shè)AM=x，BN=y，根據(jù)一線三等角證明△AMD∽△BDN，得xy=8，再表示出S1和S2的值，從而得出答案；（2）①由（1）同理解決問(wèn)題；②設(shè)AM=x，BN=y，由∠AMD=∠BDN，∠MAD=∠DBN，知△AMD∽△BDN，同理可得答案．【詳解】（1）如圖，設(shè)，，，，，，∽，，，，作于，于，，，，，；（2）①如圖，設(shè)，，同法可知∽，，，，；②如圖，設(shè)，，同法可知∽，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握一線三等角模型相似是解題的關(guān)鍵．7．(1)，垂直(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；（2）結(jié)論不變，證明，推出，，可得結(jié)論；（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)求出，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴，此時(shí)，故答案為：，垂直；（2）結(jié)論成立．理由：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．∵，，∴，∴．∵，∴，，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．(1)平行線分線段成比例定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)(2)見(jiàn)解析；或【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)直接得出結(jié)論；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，得出，由知，即可得出結(jié)論；過(guò)點(diǎn)H作于N，連接CM，證明，得出，判斷出四邊形為矩形，則，分兩種情況利用勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）[反思交流]解：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”是平行線分線段成比例定理；“依據(jù)2”是等腰三角形三線合一的性質(zhì)．故答案為：平行線分線段成比例定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，

∴，由[探究展示]知，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G在線段的垂直平分線上；[拓展應(yīng)用]過(guò)點(diǎn)H作于N，連接，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）知，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴是的垂直平分線，∴m的值為的長(zhǎng)，∵，∴或，∴或，∴m的值為或．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．9．發(fā)現(xiàn)：見(jiàn)解析；探究：（1）；（2）的長(zhǎng)或；拓展：的值是定值，，理由見(jiàn)解析【分析】發(fā)現(xiàn)：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)的得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可證明；探究：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而證明，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可得出；（2）若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合，即，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出方程，解方程即可求解；拓展：①當(dāng)交于，交于時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，證明，②當(dāng)交于，交于時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：∵在中，，∴，∵，，

又，

∴，

∴，探究：（1）∵在矩形中，∴，，，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，∴，

∵

∴，，

即，

∴；（2）若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合，即，

∴，設(shè)，則，

∴，

整理得：，

解得：，，

∴BE的長(zhǎng)或．拓展：的值是定值．①當(dāng)交于，交于時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，，∴由（2）證明過(guò)程可得，

∴；②當(dāng)交于，交于時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則，同理可證，∴，

∴的值是定值，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，還考查了解一元二次方程．10．(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，進(jìn)而得到，由旋轉(zhuǎn)得到，從而，由“等角對(duì)等邊”可得；由，，，得到，由“等角對(duì)等邊”可得，所以；（2）根據(jù)勾股定理，三角形的面積可求出，，再利用的三角函數(shù)，求得；求得由旋轉(zhuǎn)得到，易證，根據(jù)“平行線分線段成比例”得到，代入即可求出；（3）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N，由可求得，由求得，在中，根據(jù)勾股定理可得，因此．【詳解】（1）與的數(shù)量關(guān)系：理由：∵于點(diǎn)E∴∵∴∴∵將逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到∴∴∴∵于點(diǎn)D∴，即∵，∴∴∴（2）在中，，，根據(jù)勾股定理得，由得在和中，即，解得在和在中，即，∵將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到∴，∴∴，即∴（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N

在和中易知，即∴，即∴在中，，根據(jù)勾股定理可得∴【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是找到角與邊之間的關(guān)系．11．(1)，；(2)成立，見(jiàn)解析；(3)或．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再作差，得出，再用，即可得出結(jié)論；（2）先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出，得出，，與交于M，與交于N，利用全等的性質(zhì)和對(duì)頂角相等進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用線段的加減即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，，利用線段的加減即可得出結(jié)論．【詳解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，故：，；（2）成立；如圖2，與交于M，與交于N，由題意可知：，，，在與中：，，，又，，在中，，，，所以結(jié)論成立；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作于M，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作于N，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，綜上，的長(zhǎng)為或，故答案為:或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．12．(1)，(2)是等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）先判斷出最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，而最小是，由此即得答案．【詳解】（1）解：點(diǎn)是，的中點(diǎn)，∴，，點(diǎn)是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，；故答案為：，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，同（1）的方法，利用三角形的中位線得，，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，最小即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)在上，且，，的周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，是一道中考?？碱}．13．(1)證明見(jiàn)解析(2)上述結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)相似得出，進(jìn)而得出，，，即，，設(shè)，則，得出，過(guò)點(diǎn)作于，則，，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理得出，解方程