第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的翻折問題》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，在中，點(diǎn)E在上，將沿翻折，得到，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一直線上．求證：．2．已知在中，，點(diǎn)在邊上，連接．(1)如圖1，若平分，在上取一點(diǎn)，使，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若，點(diǎn)在邊上，連接，取中點(diǎn)，連接，，求證：；(3)如圖3，若，將線段沿翻折得到線段，連接，，則四邊形的面積為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)．連接，將線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，請(qǐng)直接寫出線段的最小值．3．在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接、，且．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，求證：；(3)如圖3，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)得到，連接交于點(diǎn)，連接、，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．4．如圖1，四邊形是一張矩形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲．游戲1

折出對(duì)角線，將點(diǎn)A沿過點(diǎn)B的直線翻折到上，折痕BE交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．展開后如圖2所示．（1）若E恰好為的中點(diǎn)，證明：，并求與之間的數(shù)量關(guān)系．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與重合，折痕為，展開后將點(diǎn)A沿過點(diǎn)E的直線翻折到上的點(diǎn)G處，展開后如圖3所示．（2）在（1）的條件下，連接，求的度數(shù)．游戲3

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與先重合，展開后得到新折痕交于點(diǎn)N，如圖4所示，Q是的中點(diǎn)，連接．（3）設(shè)，，的面積分別為，若，，求的長(zhǎng)．5．綜合與探究問題情景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．猜想證明：（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（2）將圖1中沿射線平移，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，）．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上的某一位置時(shí)，將沿所在直線翻折，得到，設(shè)線段，分別與線段交與點(diǎn)．猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在射線上的某一位置時(shí)，重復(fù)①中操作，設(shè)直線，分別與直線交于點(diǎn)，連接．請(qǐng)直接寫出是直角三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)．6．已知四邊形內(nèi)接于，平分．(1)如圖1，求證：(2)如圖2，若，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接．若，，，將直線沿翻折交于點(diǎn)F，連接，求的長(zhǎng)．7．已知，中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，點(diǎn)在邊上，，與分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)在邊的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若，，將沿翻折到所在平面內(nèi)，得到，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．直接寫出的最小值．8．在等邊中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接．(1)證明：；(2)如圖2，以為邊在右側(cè)作等邊，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．若，求證：；(3)如圖3，，點(diǎn)K為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接．點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，為直角邊，在上方作，連接，當(dāng)線段取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．9．菱形中，，點(diǎn)E是內(nèi)部一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得線段．(1)如圖1，若三點(diǎn)共線，平分，．求的長(zhǎng)；(2)如圖2，三點(diǎn)共線，取的中點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若，猜想線段應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)H為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，連接，，若，，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出的最小值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形．(1)如圖1，若點(diǎn)，點(diǎn)D在邊上，將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處，①點(diǎn)E的坐標(biāo)為：________；②線段的長(zhǎng)為：________；(2)如圖2，在（1）的前提下，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，若點(diǎn)，，點(diǎn)F是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線交直線于點(diǎn)H，交直線于點(diǎn)G，求的最小值．11．在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接平分，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段．(1)如圖1，在線段上時(shí)，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若與點(diǎn)重合，點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求證：；(3)如圖3，若射線過中點(diǎn)，將沿翻折到同一平面內(nèi)得到，過作垂直于直線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)與的乘積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．12．如圖1，在中，，，是線段上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接、，為延長(zhǎng)線和延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積；(2)如圖2，連接，若、分別是、的中點(diǎn)，連接、，猜想和的關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，當(dāng)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將沿著翻折，得到，連接，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．13．如圖1，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，E是上方一點(diǎn)，連接，，，且．(1)求證：；(2)如圖2，若，將沿直線翻折得到，連接和，與交于點(diǎn)，．求證：是的中點(diǎn)；(3)如圖3，若，將沿直線翻折得到，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．14．已知是等邊三角形，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，點(diǎn)在的左上方，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，滿足，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．15．在等邊中，，垂足為D，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接交于點(diǎn)G．(1)如圖1，若的延長(zhǎng)線恰好過點(diǎn)B，且，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，在上取一點(diǎn)H，使，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)K，連接，且滿足，求證：；(3)如圖3，，點(diǎn)M為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，點(diǎn)T是線段中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)P為線段中點(diǎn)，連接，直線與直線交于點(diǎn)Q，當(dāng)取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的面積．參考答案1．見解析【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，．由平行四邊形的性質(zhì)可得，．證明，得出，即可推出，即可得證．【詳解】證明：∵是由翻折得到的，∴．∴，．∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．即．2．(1)8(2)見解析(3)【分析】（1）如圖：過E作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而證明可得；設(shè)，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可；（2）如圖：取的中點(diǎn)M，連接，由三角形中位線的性質(zhì)可得、，再證明；由、可得，運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形可得，即為等腰直角三角形可得，進(jìn)而證明結(jié)論；（3）如圖：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，先證明可得是繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，進(jìn)而說明點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)與點(diǎn)C重合時(shí)，取最小值，即；由可得，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得的的高為4，最后根據(jù)三角形的面積公式求得即可解答．【詳解】（1）解：如圖：過E作于點(diǎn)F，∵，∴，∵、，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，在中，，在中，，∴，即，解得：，∴．（2）解：如圖：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）可得：，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理：，∴，∵，，∴，∵，，即∴，∴在中，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴．（3）解：如圖：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，在和中，，∴，∴是繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∵線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與點(diǎn)C重合時(shí)，取最小值，即，∵，∴．由翻折的性質(zhì)可得：A到的距離等于A到的距離，即的的高為4，∴，解得：．∴線段的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）勾股定理得出，進(jìn)而可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而即可求解；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，證明，即可得證；（3）先證明得出，在中，，得出，進(jìn)而得出當(dāng)最小時(shí)，則最小，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)如圖所示，連接，證明是直角三角形，得出，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，則得證明得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，即，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，在中，，∴，而是定值，∴當(dāng)最小時(shí)，則最小，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)如圖所示，連接，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵折疊，∴，，∴，∴是直角三角形，即，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，正切的定義，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（1）

（2）

（3）【分析】（1）證明，結(jié)合E恰好為的中點(diǎn)可得；（2）在中，，∴，∴證明得，，設(shè)，則，，由勾股定理得，證明得，在中，利用銳角三角函數(shù)求出即可求解．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，證明得，證明得，由求出，證明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，∴，∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴∴，∴，即∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴在矩形中，，∴，∴，∴（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，又，∴，∴，∵，∴，∴又Q是的中點(diǎn)，∴，∴又，∴，∴∴∵，即，∴∵，，，∴∴，，∴，，在和中，，，解得或（舍去）∴，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題．5．（1）平行四邊形是菱形（2）①，理由見詳解；②線段的長(zhǎng)為或【分析】（1）根據(jù)題意得到，則，又，得四邊形是平行四邊形，又，得到平行四邊形是菱形，由此即可求解；（2）①根據(jù)平移得到，，即，根據(jù)翻折得到，則，所以，即，由此即可求解；②根據(jù)題意得到，分類討論：如圖所示，點(diǎn)在線段上時(shí)，，是直角三角形；如圖所示，點(diǎn)在射線上時(shí)，，是直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)；根據(jù)銳角三角函數(shù)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合分析求解即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，理由如下，∵四邊形是矩形，∴，∵，即，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形；（2）①，理由如下，∵沿射線平移，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，），∴∴，即，∵將沿所在直線翻折，得到，∴，，∵，∴，即，∴，且，∴，∴，∴，即，∴；②∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，如圖所示，點(diǎn)在線段上時(shí)，，是直角三角形，∵，∴，設(shè)，，∴，根據(jù)平移折疊，及（1）證明可得，，，∴是等腰三角形，，由（1）可知，，，∴，即點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，解得，，∴；如圖所示，點(diǎn)在射線上時(shí)，，是直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理，，∴，設(shè)，∴，，則，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得，，∴；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，圖形平移的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)，圖形變換的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算方法是關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義可得，再根據(jù)等量代換可得，即，然后根據(jù)等弦所對(duì)的圓周角相等即可證明結(jié)論；（2）如圖：延長(zhǎng)到，使，過作于點(diǎn)，先證明可得，；再在中解直角三角形可得，然后根據(jù)線段的和差即可解答；（3）如圖：過A作于，于，過作于，過作于，連、，先說明，設(shè)，根據(jù)解直角三角形、勾股定理以及線段的和差可得、、、、、，，；在中運(yùn)用勾股定理可得，再運(yùn)用等面積法可得、、；根據(jù)余弦的定義可得，由折疊的性質(zhì)以及垂徑定理可得，，再在中解直角三角形可得，，進(jìn)而完成解答．【詳解】（1）解：∵平分，∴又∵，．∴，∴，∴．（2）解：如圖：延長(zhǎng)到，使，過作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，，∵，，，∴在中，，∴，∴．（3）解：如圖：過A作于，于，過作于，過作于，連，，∵將直線沿翻折交于點(diǎn)F，連接，∴,∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，，同理：、，∵，∴，∴，，在中，∴，解得：，∴，利用等積法，∴，，，在中，，，∴，∵由翻折的性質(zhì)可得：，∴在的角平分線上，∴，∴，，，在中，，∴，解得：；∴．7．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，得出，由三角形外角的定義及性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出為等腰直角三角形，即可得出，求出，最后由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合對(duì)頂角相等即可得解；（2）連接、，作交的延長(zhǎng)線于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，，，證明，得出，證明，得出，證明是的中位線，得出，即可得出，證明點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得，從而得出為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得證；（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意得出，由題意結(jié)合由折疊的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，即，，作等腰直角，則，，，證明，得出點(diǎn)在定直線上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，作交于，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，從而可得，推出當(dāng)、、在同一直線上，且時(shí)，取得最小值，為，作交的延長(zhǎng)線于，證明為等腰直角三角形，得出，從而求出，證明四邊形為矩形，得出，即可得解．【詳解】（1）解：∵中，，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：，證明如下：如圖，連接、，作交的延長(zhǎng)線于，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴為等腰直角三角形，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵為等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴為等腰直角三角形，∴；（3）解：∵中，，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，由題意可得，為等腰直角三角形，由折疊的性質(zhì)可得：為等腰直角三角形，∴，，如圖，作等腰直角，則，，，∴，即，∴，∴，∴點(diǎn)在定直線上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，作交于，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，∴，∴當(dāng)、、在同一直線上，且時(shí)，取得最小值，為，作交的延長(zhǎng)線于，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓周角定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．8．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，進(jìn)而得到，利用即可證明；（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，結(jié)合，求出，同理（1）可得，得到，由等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，易證，得到，求出，證明是等邊三角形，得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，得到，，再求出，易證，得到，得到，即可證明；（3）在上取點(diǎn)，使得，連接，由翻折的性質(zhì)得到為定值，即可得到點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由，求出，再證明是的中位線，得到，，推出到點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，證明，即可得到點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，利用相似三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合圖形得到當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，線段取最大值，此時(shí)最大值為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，求出，進(jìn)而求出，即可求出此時(shí)的面積．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∴，∴，

在和中，，∴；（2）證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：，，，，同理（1）可得，，∵等邊中，于點(diǎn)，∴垂直平分，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴是等邊三角形，，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，在和中，，∴，，，，，，，，，，（3）解：在上取點(diǎn)，使得，連接，如圖：由翻折的性質(zhì)得到為定值，∴點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，，，∴點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，即，，，，，即，，∴點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，線段取最大值，此時(shí)最大值為：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：由（2）知垂直平分，，，，∴此時(shí)的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的幾何變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)；理由見解析(3)【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可證，和是等邊三角形，即可得出，，根據(jù)平分，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即是等邊三角形，，再根據(jù)三角函數(shù)可得．（2）作，交于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和是的中點(diǎn)，可證，，，由和是等邊三角形，可得，，，進(jìn)而可得，，，，根據(jù)角的和差可得，判定，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可得，即可得．（3）由和是等邊三角形，可得，，再結(jié)合四邊形是菱形，可得，點(diǎn)在上，故當(dāng)時(shí)，最小，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，取的中點(diǎn)O，連接，作于G，根據(jù)三角函數(shù)可得，，，再用勾股定理可得，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，即，從而可得當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，，，和是等邊三角形，，，平分，，線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得線段，，，是等邊三角形，∴，又，，即．（2）解：，理由如下：作，交于G，如圖1，∵，，，是的中點(diǎn)，，∴，，，由知，和是等邊三角形，，，，，，，∴，，，，，，，∴，，，，，．（3）解：由知，和是等邊三角形，，，由折疊知，，，四邊形是菱形，，，，點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，最小，又∵，，，取的中點(diǎn)O，連接，作于G，如圖2，又∵，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．(1)①；②(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或(3)【分析】本題考查矩形與折疊問題，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)；（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊得到，，，則，即可求出；②設(shè)，則，在中利用勾股定理列方程求解即可；（3）作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，則，，，，，當(dāng)、、都在線段上時(shí)，最小，此時(shí)證明，得到，，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：①∵矩形，，∴，，，∵將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處，∴，，，∴，∴，，故答案為：；②設(shè)，則，∵中，，∴，解得，∴，故答案為：；（2）解：在（1）的前提下，，，，設(shè)，∴，，∵為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，即，解得或，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)；綜上所述，若為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；（3）解：∵矩形，點(diǎn)，，∴，，，，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，∴，，，，∴，∴當(dāng)、、都在線段上時(shí)，最小，∵過點(diǎn)F作的垂線交直線于點(diǎn)H，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值為．11．(1)(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證出，即可求出的長(zhǎng)度；（2）連接，并延長(zhǎng)使得，連接、，證明，推出，，即可證明，從而證出，根據(jù)是的中位線，得到，即可證出；（3）連接、，過點(diǎn)作垂線，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，推出，得到，推出，當(dāng)與的乘積最大時(shí)，的面積最大，即的面積最大，根據(jù)是定長(zhǎng)，推出以為底，時(shí)的面積最大，設(shè)，根據(jù)，，即可求出的值，利用勾股定理分別求出、的長(zhǎng)度，求出的長(zhǎng)度，再求出的長(zhǎng)度，即可利用勾股定理求出的值．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，如圖所示∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，，∴，∴，∴，（2）證明：連接，并延長(zhǎng)使得，連接、，如圖所示：∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，在和中∵∴，∴，，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，在和中∵∴，∴，∵點(diǎn)是中點(diǎn)、點(diǎn)是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，（3）解：連接、，過點(diǎn)作垂線，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：∵將沿翻折到同一平面內(nèi)得到，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)與的乘積最大時(shí)，的面積最大，即的面積最大，∵是定長(zhǎng)，∴以為底，時(shí)的面積最大，∵，，∴，，∴，∵，，∴，設(shè)，∵，∴，∵，即，∴，∴，，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、三角形面積最大、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，本題難度比較大，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．12．(1)18.5(2)，理由見詳解(3)【分析】（1）由題意易得，然后根據(jù)勾股定理可得，然后問題可進(jìn)行求解；（2）分別取的中點(diǎn)M、N，連接，然后根據(jù)三角形中位線可得，進(jìn)而可得，最后通過證明進(jìn)行求證即可；（3）由折疊可知，分別過點(diǎn)E、作，垂足分別為R、Q，根據(jù)“K型全等”可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，∴；（2）解：，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，∵分別是的中點(diǎn)，，∴，分別取的中點(diǎn)M、N，連接，如圖所示：∴，∵點(diǎn)M、N、O分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，根據(jù)沿著翻折，得到，可知：，∴，分別過點(diǎn)E、作，垂足分別為R、Q，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形中位線、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．13．(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）結(jié)合條件中角的關(guān)系，由三角形外角的性質(zhì)，得，根據(jù)證出即可；（2）同（1）證出，由翻折得，結(jié)合易得，即，由三線合一得F是的中點(diǎn)；（3）先利用折疊的性質(zhì)，證明，易得，利用三角形內(nèi)角和可得，由角的轉(zhuǎn)化得到，最后證明，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，在與中，，；（2）證明：，，，，在與中，，，，，將沿直線翻折得到，，，，即．由三線合一，得：F是的中點(diǎn)；（3）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，，，，∵，∴，在與中，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形翻折變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，其中能夠利用全等三角形的性質(zhì)與翻折性質(zhì)得到的邊、角相等進(jìn)行等量代換是解題關(guān)鍵．14．(1)(2)證明見解析(3)和【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，由等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)得到，由即可求解；（2）如圖所示，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，可得，，，證明，得到，再證，得到，，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，分類討論：第一種情況，如圖所示，，是等邊三角形即為等腰三角形，分別求出的值即可；第二種情況，如圖所示，，是等腰三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)是中點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合分析即可；由含角的直角三角形，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算綜合運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合分析即可求解．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，