山東省天成大聯(lián)考2025屆高二下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列關(guān)于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于2；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④2．已知命題：①函數(shù)的值域是；②為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；③當(dāng)或時(shí)，冪函數(shù)的圖象都是一條直線；④已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C．和 D．4．用反證法證明命題“已知為非零實(shí)數(shù)，且，，求證中至少有兩個(gè)為正數(shù)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．中至少有兩個(gè)為負(fù)數(shù) B．中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)C．中至多有兩個(gè)為正數(shù) D．中至多有兩個(gè)為負(fù)數(shù)5．已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．46．在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率為()A．14 B．13 C．17．如圖，梯形中，∥，，，，將△沿對(duì)角線折起，設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，使二面角為直二面角，給出下面四個(gè)命題：①；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)時(shí)，這個(gè)幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．9．已知平面，，直線，滿足，，則下列是的充分條件是（）A． B． C． D．10．用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是（）A．至少有兩個(gè)解 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至多有一個(gè)解11．設(shè)曲線及直線所圍成的封閉圖形為區(qū)域，不等式組所確定的區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對(duì)的概率為，在A題答對(duì)的情況下，B題也答對(duì)的概率為，則A題答對(duì)的概率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到幾何體（圖一），現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱（圖二），其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為_______.圖一圖二14．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品數(shù)量之比為1：2：4：現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取150件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為______．15．設(shè)空間向量，，且，則__________．16．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，并且與圓相切.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)為軌跡內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)？是與無關(guān)的定值，并求出該值定值.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域?yàn)椋骯的取值范圍．19．（12分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程根.(1)求的值；(2)復(fù)數(shù)滿足是實(shí)數(shù)，且，求復(fù)數(shù)的值.20．（12分）“中國(guó)人均讀書4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書），比韓國(guó)的11本、法國(guó)的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó)、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計(jì)在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知直線(t為參數(shù)），圓(為參數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作的垂線，垂足為為的中點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？22．（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）已知，求滿足不等式的的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數(shù)的關(guān)系結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①不正確，②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；正確；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于1；故③不正確；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.正確.故選C.點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線，熟練掌握正態(tài)分布的相關(guān)概念是解答的關(guān)鍵．2、C【解析】

：①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；②根據(jù)三角函數(shù)的圖形關(guān)系進(jìn)行判斷；③根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；④根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷.【詳解】①因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，故①正確；②函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，直線挖去一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖形是一條直線，故③錯(cuò)誤；④作出的圖像如圖所示：所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，又因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)，在上有一個(gè)，不妨設(shè)，則，即，則的范圍即為的范圍，由，得，則有，即的范圍是，所以④正確；所以正確的命題有2個(gè)，故選C.該題考查的是有關(guān)真命題的個(gè)數(shù)問題，在結(jié)題的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖像的平移變換，零指數(shù)冪的條件以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，靈活掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】

求導(dǎo)，令，故或，經(jīng)檢驗(yàn)可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線上，故選C．本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】分析：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題的否定為：“a、b、c中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”，由此得出結(jié)論．詳解：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而：“中至少有二個(gè)為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”．故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面是解題的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．5、B【解析】

計(jì)算，根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】為純虛數(shù)，，，故選：B本題考查復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的理解以及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，審清題干，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

在第一次抽到理科題的條件下，剩余4道題中，有2道理科題，代入古典概型概率公式，得到概率．【詳解】因?yàn)?道題中有3道理科題和2道文科題，所以第一次抽到理科題的前提下，剩余4道題中，有2道理科題，第2次抽到理科題的概率為P=24=本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率公式，分析出基本事件總數(shù)和滿足條件的事件個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，但本題易受到第一次抽到理科題的影響而出錯(cuò)，容易按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解．7、C【解析】

取BD中點(diǎn)O，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直判定定理證得平面以及平面平面；利用錐體體積公式求三棱錐的體積，最后根據(jù)反證法說明不成立.【詳解】因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，因?yàn)椤?，，所?從而為等腰直角三角形，取BD中點(diǎn)O，連接，如圖，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平面，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以平面平?平面,因此平面，所以三棱錐的體積為,②正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?平面，所以平面；即③正確;因?yàn)槠矫妫矫妫凰?；由已知條件得,平面,因此平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面；即④正確；如果，而由平面，平面，所以，因?yàn)?平面，所以平面；因?yàn)槠矫?；?與矛盾,所以①不正確;故選：C本題考查面面垂直性質(zhì)與判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.8、B【解析】

三視圖復(fù)原幾何體是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，設(shè)出棱長(zhǎng)，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．【詳解】解：如圖所示，可知．設(shè)，則，消去得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以．故選：B．本題考查三視圖求體積，考查基本不等式求最值，是中檔題．9、D【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的充分性和必要性，判斷得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，可以，或，或相交，不充分，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可以，或，或相交，不充分，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不能得到，錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，則，充分性；當(dāng)時(shí)，，故，與關(guān)系不確定，故不必要，正確；故選：.本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，充分條件，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.10、C【解析】分析：把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，即為所求．詳解：由于用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

命題：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)解”的否定是：“至少有三個(gè)解”，

故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查用命題的否定，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．11、C【解析】分析：求出兩個(gè)區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計(jì)算可得.詳解：由題意，，∴，故選C.點(diǎn)睛：以面積為測(cè)度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計(jì)算曲邊梯形的面積，這類問題巧妙且自然地將新課標(biāo)新增內(nèi)容——幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點(diǎn)題型．預(yù)計(jì)對(duì)此類問題的考查會(huì)加大力度．12、B【解析】分析：根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.詳解：設(shè)事件A：答對(duì)A題，事件B：答對(duì)B題，則，..故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先利用定積分計(jì)算底面面積，再用體積公式得到答案.【詳解】的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域故答案為本題考查了體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生解決問題的能力.14、【解析】

根據(jù)甲乙丙丁的數(shù)量之比，利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1：2：4：8，用分層抽樣的方法從中抽取150件，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為，故答案為：1．本題主要考查分層抽樣的定義和應(yīng)用，熟練掌握分層抽樣的定義是解決問題的關(guān)鍵．15、-2.【解析】分析：，利用向量共線定理即可得出結(jié)論詳解：，，且即即m4，n2∴點(diǎn)晴：本題主要考察空間向量的平行，注意熟記平面向量平行垂直的計(jì)算，空間向量的平行垂直的計(jì)算16、【解析】

試題分析：令,則,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,又由題設(shè)可得,故,即,答案為．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，求出半長(zhǎng)軸及半焦距的長(zhǎng)度，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）設(shè)，，，直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得、的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和與積，再由是與無關(guān)的定值求得，進(jìn)一步得到該定值．【詳解】（1）由題設(shè)得：|，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，，，，橢圓方程為；（2）設(shè)，，，直線，由，得，由韋達(dá)定理得，，，，，的值與無關(guān)，，解得．此時(shí)．本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法與待定系數(shù)法，是中檔題．18、（1）增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）或【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間以及，時(shí)的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先利用有解求出的大致范圍，再證明在該范圍內(nèi)即可?！驹斀狻浚?）當(dāng)，，所以，由于，可得．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）由題意知必有解，即有解，所以，即直線與曲線有交點(diǎn)．則，令得和；令得和．所以和，為增函數(shù)；和，為減函數(shù)．，當(dāng)時(shí)，恒成立；所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；，即時(shí)，，的圖像如圖所示．直線與曲線有交點(diǎn)，即或，所以或，下證，先證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)時(shí)，若，因?yàn)樵跁r(shí)的值域是，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以：；當(dāng)時(shí)，若，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)；所以時(shí)，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以，綜上，或．本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。19、(1)(2)或.【解析】

（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，得出另一根為，根據(jù)韋達(dá)定理即可得解.(2)設(shè),由是實(shí)數(shù)，得出關(guān)于的方程，又得的另一個(gè)方程，聯(lián)立即可解得的值，即得解.【詳解】（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以由共軛虛根定理另一根是，根據(jù)韋達(dá)定理可得.（2）設(shè)，得又得,所以或，因此或w=.本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的乘法及模的運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、(1)30;(2)54,55;(3)的分布列如下：012數(shù)學(xué)期望【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10，進(jìn)而得出40

名讀書者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．（2）40

名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25