浙江省杭州市杭州第二中學2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析_第1頁
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文檔簡介

浙江省杭州市杭州第二中學2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),若曲線上存在點使得,則的取值范圍是A. B. C. D.2.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的為2,則輸出的值是()A.2 B.1 C. D.-14.在等差數(shù)列中,且,則的最大值等于()A.3 B.4 C.6 D.95.是雙曲線的右焦點,過點向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點,若,則的離心率是()A. B. C. D.6.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()①是周期函數(shù);②三角函數(shù)是周期函數(shù);③是三角函數(shù)A.②③① B.②①③ C.①②③ D.③②①7.下列函數(shù)中,滿足“且”的是()A. B.C. D.8.將點的直角坐標化成極坐標為()A. B. C. D.9.若變量滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知定義在上的奇函數(shù),滿足,當時,,若函數(shù),在區(qū)間上有10個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.若命題:,,命題:,.則下列命題中是真命題的是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若方程有五個不同的實數(shù)根,則的取值范圍是()A.(0,+∞) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(0,)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若是函數(shù)的極值點,則的極小值為______.14.若,且,,則_______.15.已知函數(shù)滿足條件,對于,存在唯一的,使得,當成立時,則實數(shù)__________.16.設(shè)函數(shù)和函數(shù),若對任意都有使得,則實數(shù)a的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了了解學生的身體素質(zhì)情況,現(xiàn)從某校學生中隨機抽取10人進行體能測試,測試的分數(shù)(百分制)如莖葉圖所示,根據(jù)有關(guān)國家標準成績不低于79分的為優(yōu)秀,將頻率視為概率.(1)另從我校學生中任取3人進行測試,求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率;(Ⅱ)從抽取的這10人(成績見莖葉圖)中隨機選取3人,記X表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)已知函數(shù),其中為常數(shù)且.(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點,求的值;(Ⅱ)若函數(shù)有3個零點,求的取值范圍.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,底面,是棱的中點,且.(1)求證:平面;(2)如果是棱上一點,且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.20.(12分)已知函數(shù)(1)當為何值時,軸為曲線的切線;(2)若存在(是自然對數(shù)的底數(shù)),使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若方程在區(qū)間有解,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)對某種書籍的成本費(元)與印刷冊數(shù)(千冊)的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中.為了預測印刷20千冊時每冊的成本費,建立了兩個回歸模型:.(1)根據(jù)散點圖,擬認為選擇哪個模型預測更可靠?(只選出模型即可)(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)和(1)中的模型選擇,求關(guān)于的回歸方程,并預測印刷20千冊時每冊的成本費.附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

法一:考查四個選項,發(fā)現(xiàn)有兩個特殊值區(qū)分開了四個選項,0出現(xiàn)在了A,B兩個選項的范圍中,出現(xiàn)在了B,C兩個選項的范圍中,故通過驗證參數(shù)為0與時是否符合題意判斷出正確選項。法二:根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解,分離參數(shù)得到,,利用導數(shù)研究的值域,即可得到參數(shù)的范圍?!驹斀狻糠ㄒ唬河深}意可得,,而由可知,當時,=為增函數(shù),∴時,.∴不存在使成立,故A,B錯;當時,=,當時,只有時才有意義,而,故C錯.故選D.法二:顯然,函數(shù)是增函數(shù),,由題意可得,,而由可知,于是,問題轉(zhuǎn)化為在上有解.由,得,分離變量,得,因為,,所以,函數(shù)在上是增函數(shù),于是有,即,應(yīng)選D.本題是一個函數(shù)綜合題,方法一的切入點是觀察四個選項中與不同,結(jié)合排除法以及函數(shù)性質(zhì)判斷出正確選項,方法二是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用導數(shù)進行研究,屬于中檔題。2、B【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,根據(jù)排列組合進行計算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護士都有,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.3、A【解析】

根據(jù)給定的程序框圖,執(zhí)行循環(huán)體,逐次計算、判斷,即可得到輸出的結(jié)果,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,可得:第一次循環(huán):,滿足判斷條件,;第二次循環(huán):,滿足判斷條件,;第三次循環(huán):,滿足判斷條件,;第四次循環(huán):,滿足判斷條件,;第五次循環(huán):,滿足判斷條件,;第六次循環(huán):,不滿足判斷條件,輸出結(jié)果,故選A.本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題,其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法,一定要先確定是用當型循環(huán)結(jié)構(gòu),還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先判斷再循環(huán),直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先執(zhí)行一次循環(huán)體,再判斷;注意輸入框、處理框、判斷框的功能,不可混用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先由等差數(shù)列的求和公式,得到,再由基本不等式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為在等差數(shù)列中,所以,即,又,所以,當且僅當時,的最大值為4.故選B。本題主要考查基本不等式求積的最大值,熟記等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式即可,屬于??碱}型.5、A【解析】試題分析:由題意得,因此,選A.考點:雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率(取值范圍)的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題.若求離心率的值,需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的方程求解,若求離心率的取值范圍,需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式求解,正確把握c2=a2+b2的應(yīng)用及e>1是求解的關(guān)鍵.6、A【解析】

根據(jù)“三段論”的排列模式:“大前提”“小前提”“結(jié)論”,分析即可得到正確的順序.【詳解】根據(jù)“三段論”的排列模式:“大前提”“小前提”“結(jié)論”,可知:①是周期函數(shù)是“結(jié)論”;②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”;③是三角函數(shù)是“小前提”;故“三段論”模式排列順序為②③①.故選:A本題考查了演繹推理的模式,需理解演繹推理的概念,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)題意知,函數(shù)在上是減函數(shù),根據(jù)選項判斷即可?!驹斀狻扛鶕?jù)題意知,函數(shù)在上是減函數(shù)。選項A,在上是增函數(shù),不符合;選項B,在上不單調(diào),不符合;選項C,在上是減函數(shù),符合;選項D,在上是增函數(shù),不符合;綜上,故選C。本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用以及常見函數(shù)的單調(diào)性的判斷。8、B【解析】分析:求出,且在第三象限,由此能將點M的直角坐標化成極坐標.詳解:點M的直角坐標,,在第三象限,.將點M的直角坐標化成極坐標.故選B.點睛:極坐標與直角坐標的互化,常用方法有代入法、平方法等,還經(jīng)常會用到同乘(同除以)ρ等技巧.9、B【解析】分析:根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域,再將目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為,則為直線的截距,通過平推法確定的取值范圍.詳解:(1)畫直線,和,根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域,如圖所示.(2)將目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為直線,則為直線的截距.(3)畫直線,平推直線,確定點A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,聯(lián)立方程組,解得,B坐標為(4)分別將點A、B坐標代入,,的取值范圍是故選B.點睛:本題主要考查線性規(guī)劃問題,數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.目標函數(shù)型線性規(guī)劃問題解題步驟:(1)確定可行區(qū)域(2)將轉(zhuǎn)化為,求z的值,可看做求直線,在y軸上截距的最值。(3)將平移,觀察截距最大(?。┲祵?yīng)的位置,聯(lián)立方程組求點坐標。(4)將該點坐標代入目標函數(shù),計算Z。10、A【解析】

由得出函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱以及函數(shù)的周期為,由函數(shù)為奇函數(shù)得出,并由周期性得出,然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象,列舉前個交點的橫坐標,結(jié)合第個交點的橫坐標得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且,所以,,所以,函數(shù)的周期為,由于函數(shù)為奇函數(shù),則,則,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:,則,于是得出,,由圖象可知,函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上從左到右個交點的橫坐標分別為、、、、、、、、、,第個交點的橫坐標為,因此,實數(shù)的取值范圍是,故選A.本題考查方程的根與函數(shù)的零點個數(shù)問題,一般這類問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,在畫函數(shù)的圖象時,要注意函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性對函數(shù)圖象的影響,屬于難題.11、C【解析】

先判斷命題p和q的真假,再判斷選項得解.【詳解】對于命題p,,所以命題p是假命題,所以是真命題;對于命題q,,,是真命題.所以是真命題.故選:C本題主要考查復合命題的真假的判斷,考查全稱命題和特稱命題的真假的判斷,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、D【解析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關(guān)系得:方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點,作圖可知,只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得:過原點的直線與相切的直線方程為,即所求的取值范圍為,得解.【詳解】設(shè),則的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱,方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點,由圖可知,只需與曲線在第一象限有兩個交點即可,設(shè)過原點的直線與切于點,,由,則過原點的直線與相切,,又此直線過點,所以,所以,即(e),即過原點的直線與相切的直線方程為,即所求的取值范圍為,故選.本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關(guān)系應(yīng)用及利用導數(shù)求切線方程。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導數(shù),利用極值點,求出a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的極小值即可.【詳解】,是的極值點,,即,解得,,,由,得或;由,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

的極小值為.

故答案為:.本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,屬中檔題.14、0.1【解析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出,可求出的值,再利用可得出答案.【詳解】由于,由正態(tài)密度曲線的對稱性可得,所以,因此,,故答案為.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計算,解題的關(guān)鍵就是充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性,利用已知區(qū)間上的概率來進行計算,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】分析:根據(jù)條件得到在和上單調(diào),得到的關(guān)系式,進而即可求解.詳解:若對于,存在唯一的,使得,所以函數(shù)在和上單調(diào),則且,由,得,即,解得,所以.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,其中根據(jù)題得出函數(shù)為單調(diào)函數(shù),求得的關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,以及推理與論證能力,屬于中檔試題.16、【解析】

先根據(jù)的單調(diào)性求出的值域A,分類討論求得的值域B,再將條件轉(zhuǎn)化為A,進行判斷求解即可.【詳解】是上的遞減函數(shù),∴的值域為,令A=,令的值域為B,因為對任意都有使得,則有A,而,當a=0時,不滿足A;當a>0時,,∴解得;當a<0時,,∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.本題考查了函數(shù)的值域及單調(diào)性的應(yīng)用,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的關(guān)系,運用了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)的分布列見解析,期望【解析】試題分析:(1)由題意結(jié)合對立事件的概率公式可得至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率是;(2)的取值可能為0,1,2,3,結(jié)合超幾何分布的概率公式可得函數(shù)的分布列,然后可求得X的數(shù)學期望為.試題解析:(1)由莖葉圖知,抽取的10人中成績是“優(yōu)秀”的有6人,頻率為,依題意,從我校學生中任選1人,成績是“優(yōu)秀”的概率為,記事件表示“在我校學生中任選3人,至少1人成績是優(yōu)良”,則(2)由題意可得,的取值可能為0,1,2,3,,,0123,∴的分布列為:期望點睛:(1)求解本題的關(guān)鍵在于:①從莖葉圖中準確提取信息;②明確隨機變量X服從超幾何分布.(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是:①考察對象分兩類;②已知各類對象的個數(shù);③從中抽取若干個個體,考查某類個體個數(shù)X的概率分布,超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質(zhì)是古典概型.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(I)由題意把代入導函數(shù),導函數(shù)得0,即可求的值;(II)由題意等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有三個零點問題,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下求極值,列關(guān)于a的不等式求解.【詳解】(Ⅰ)依題意得,所以,是函數(shù)的極值點,得f′(2)=0,解得或(舍去),故,(Ⅱ)函數(shù)有3個零點,即方程有三個不同實根,因為所以有三個不等實根,令,,,令,解得,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以為的極值點,根據(jù)函數(shù)有3個零點,需滿足,解得,的取值范圍為.本題考查函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通常利用轉(zhuǎn)化思想將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化成等價函數(shù)或者方程根的問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)條件列出不等式求解,考查數(shù)學思想方法的靈活應(yīng)用,屬于較難題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:(1)由所以.又因為底面平面;(2)如圖以為原點建立空間直角坐標系,求得平面的法向量和.試題解析:(1)連結(jié),因為在中,,所以,所以.因為,所以.又因為底面,所以,因為,所以平面(2)如圖以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,則.因為是棱的中點,所以.所以,設(shè)為平面的法向量,所以,即,令,則,所以平面的法向量因為是在棱上一點,所以設(shè).設(shè)直線與平面所成角為,因為平面的法向量,所以.解得,即,所以考點:1、線面垂直;2、線面角.20、(1)(2)【解析】

(1)設(shè)曲線與軸相切于點,利用導數(shù)的幾何意義,列出方程組,即可求解;(2)把不等式成立,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)設(shè)曲線與軸相切于點,則,,即,解得,即當時,軸為曲線的切線.(2)由題意知,即,設(shè),則,當時,,此時單調(diào)遞減;當時,,此時單調(diào)遞增.存在,使成立,等價于,即,又,,故,所以.本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及恒成立問題的求解,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.21、(I);

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