2025年IOI圖論算法競賽模擬試卷：最短路徑與最小生成樹技巧精講一、單選題要求：選擇最合適的答案。1.在無向圖中，若頂點(diǎn)數(shù)有n，邊數(shù)有e，則該圖的最長路徑長度至少為：A.nB.n-1C.n(n-1)/2D.n(n-1)2.在Dijkstra算法中，如果圖中所有邊的權(quán)重相等，則算法的時(shí)間復(fù)雜度為：A.O(n^2)B.O(nlogn)C.O(n^2logn)D.O(n)3.Kruskal算法在處理邊時(shí)，優(yōu)先選擇權(quán)重最小的邊，直到形成最小生成樹。以下哪個(gè)選項(xiàng)不是Kruskal算法中的關(guān)鍵步驟：A.按照權(quán)重對邊進(jìn)行排序B.檢查添加邊是否會(huì)形成環(huán)C.計(jì)算最小生成樹的權(quán)重D.選擇最小權(quán)重的邊4.在Floyd-Warshall算法中，如果圖中所有邊的權(quán)重相等，則算法的時(shí)間復(fù)雜度為：A.O(n^2)B.O(nlogn)C.O(n^2logn)D.O(n)5.下列哪個(gè)算法不是用于求解最短路徑的算法：A.Dijkstra算法B.Bellman-Ford算法C.A*搜索算法D.Kruskal算法二、填空題要求：根據(jù)題意，填入合適的詞語或數(shù)字。6.在Dijkstra算法中，使用一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列來存儲(chǔ)當(dāng)前未處理的頂點(diǎn)，優(yōu)先隊(duì)列中的元素按照其______（填入詞語）來排序。7.在Floyd-Warshall算法中，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，將問題分解為______（填入數(shù)字）個(gè)小問題。8.Kruskal算法在處理邊時(shí)，使用并查集數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來檢查添加邊是否會(huì)形成環(huán)，并查集的初始化時(shí)間復(fù)雜度為______（填入詞語）。9.在A*搜索算法中，啟發(fā)式函數(shù)的值越小，表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)越接近目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，啟發(fā)式函數(shù)的值稱為______（填入詞語）。10.在圖論中，如果一個(gè)圖的所有頂點(diǎn)的度數(shù)都是2，則該圖稱為______（填入詞語）。三、判斷題要求：判斷下列說法是否正確。11.在Dijkstra算法中，如果一個(gè)圖中存在負(fù)權(quán)邊，則該算法無法正確求解最短路徑。（）12.Kruskal算法在處理邊時(shí)，總是選擇權(quán)重最小的邊，直到形成最小生成樹。（）13.Floyd-Warshall算法可以求解任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑。（）14.A*搜索算法在求解最短路徑時(shí)，總是選擇當(dāng)前最優(yōu)的路徑。（）15.在圖論中，一個(gè)圖的最小生成樹不一定是唯一的。（）四、簡答題要求：根據(jù)所學(xué)知識，簡述以下概念的定義和特點(diǎn)。16.簡述最短路徑算法的基本思想及其適用場景。17.解釋最小生成樹的概念，并說明其在圖論中的應(yīng)用。18.簡要描述并查集數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在Kruskal算法中的應(yīng)用。五、編程題要求：根據(jù)以下問題描述，編寫相應(yīng)的算法程序。19.編寫一個(gè)Dijkstra算法的實(shí)現(xiàn)，要求能夠處理帶有負(fù)權(quán)邊的圖，并輸出從指定起點(diǎn)到所有其他頂點(diǎn)的最短路徑長度。20.實(shí)現(xiàn)一個(gè)Kruskal算法，輸入為無向圖中的邊列表，輸出為該圖的最小生成樹。六、綜合分析題要求：根據(jù)所學(xué)知識，分析并回答以下問題。21.分析Dijkstra算法和A*搜索算法在求解最短路徑時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)，并討論它們在實(shí)際情況中的應(yīng)用。22.針對稀疏圖和稠密圖，比較Floyd-Warshall算法和Kruskal算法的適用性，并給出理由。本次試卷答案如下：一、單選題1.答案：C解析：在無向圖中，最長路徑長度至少為頂點(diǎn)數(shù)減去1，因?yàn)槿绻许旤c(diǎn)都連接起來，則至少有一個(gè)頂點(diǎn)不被包括在路徑中。2.答案：D解析：Dijkstra算法的時(shí)間復(fù)雜度主要取決于優(yōu)先隊(duì)列的操作，由于每次操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，因此總的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。3.答案：C解析：Kruskal算法的關(guān)鍵步驟包括排序邊、檢查邊是否形成環(huán)和選擇邊，但它不涉及計(jì)算最小生成樹的權(quán)重，這是算法執(zhí)行過程中的一個(gè)輔助步驟。4.答案：A解析：Floyd-Warshall算法通過遞歸地計(jì)算所有頂點(diǎn)對之間的最短路徑，其時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)。5.答案：D解析：Kruskal算法是用于最小生成樹的算法，不是用于求解最短路徑的算法。二、填空題6.答案：距離或估計(jì)距離解析：在Dijkstra算法中，優(yōu)先隊(duì)列中的元素按照其從起點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的距離或估計(jì)距離來排序。7.答案：n^2解析：Floyd-Warshall算法通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，將問題分解為n^2個(gè)小問題，每個(gè)問題計(jì)算兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑。8.答案：O(n)解析：并查集的初始化時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，因?yàn)樗枰獮槊總€(gè)頂點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)集合。9.答案：啟發(fā)式因子解析：在A*搜索算法中，啟發(fā)式因子用于估計(jì)從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離。10.答案：歐拉圖解析：如果一個(gè)圖的所有頂點(diǎn)的度數(shù)都是2，則該圖是歐拉圖，它具有一個(gè)歐拉回路。三、判斷題11.答案：×解析：Dijkstra算法可以處理帶有負(fù)權(quán)邊的圖，只要起點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的路徑上沒有負(fù)權(quán)邊。12.答案：×解析：Kruskal算法在處理邊時(shí)，不是總是選擇權(quán)重最小的邊，而是選擇不會(huì)形成環(huán)的最小權(quán)重邊。13.答案：√解析：Floyd-Warshall算法可以求解任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑。14.答案：×解析：A*搜索算法在求解最短路徑時(shí)，不一定總是選擇當(dāng)前最優(yōu)的路徑，因?yàn)樗蕾囉趩l(fā)式函數(shù)。15.答案：√解析：在圖論中，一個(gè)圖的最小生成樹不一定是唯一的，可能有多個(gè)最小生成樹。四、簡答題16.答案：最短路徑算法的基本思想是通過迭代地更新所有頂點(diǎn)到起點(diǎn)的最短路徑長度，并逐步排除已處理的頂點(diǎn)。適用場景包括網(wǎng)絡(luò)流、路徑規(guī)劃等。17.答案：最小生成樹是由圖中的所有頂點(diǎn)和一個(gè)子圖構(gòu)成，該子圖中的邊數(shù)最少，且包含所有頂點(diǎn)，沒有環(huán)。最小生成樹在圖論中的應(yīng)用包括通信網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、電路設(shè)計(jì)等。18.答案：并查集數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在Kruskal算法中的應(yīng)用是用于檢查添加邊是否會(huì)形成環(huán)。通過將頂點(diǎn)分組，并檢查要添加的邊是否連接了同一組的頂點(diǎn)，可以判斷是否會(huì)形成環(huán)。五、編程題19.答案：略（此處省略Dijkstra算法的編程實(shí)現(xiàn)）20.答案：略（此處省略Kruskal算法的編程實(shí)現(xiàn)）六、綜合分析題21.答案：Dijkstra算法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易實(shí)現(xiàn)，適用于無負(fù)權(quán)邊的圖。缺點(diǎn)是當(dāng)圖中存在負(fù)權(quán)邊時(shí)，算法可能會(huì)失敗。A*搜索算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)合了啟發(fā)式搜索和最佳優(yōu)先搜索，適用于有啟發(fā)式信息的圖。缺點(diǎn)是啟發(fā)式函