2025年考研數學（三）線性代數與概率核心概念解析與綜合試題一、填空題（每空2分，共10分）1.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求矩陣\(\boldsymbol{A}\)的特征值和特征向量。2.若向量\(\boldsymbol{a}=(1,-1,2)^T\)和\(\boldsymbol=(3,2,-1)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)與\(\boldsymbol\)的夾角余弦值。3.設向量\(\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^T\)和\(\boldsymbol{\beta}=(3,1,2)^T\)，求\(\boldsymbol{\alpha}\)與\(\boldsymbol{\beta}\)的線性組合\(\lambda\boldsymbol{\alpha}+\mu\boldsymbol{\beta}\)在向量\(\boldsymbol{\alpha}\)和\(\boldsymbol{\beta}\)所在的平面上的投影向量。4.設向量\(\boldsymbol{a}=(1,1,1)^T\)和\(\boldsymbol=(1,2,3)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol\)的外積\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol\)。5.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1&3\\4&2&1\\1&3&2\end{pmatrix}\)，求矩陣\(\boldsymbol{A}\)的伴隨矩陣\(\boldsymbol{A}^*\)。二、選擇題（每題2分，共10分）1.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，則\(\boldsymbol{A}\)的行列式\(\det(\boldsymbol{A})\)等于（）。A.1B.0C.-1D.無法確定2.向量\(\boldsymbol{a}=(1,1,1)^T\)和\(\boldsymbol=(1,2,3)^T\)的夾角余弦值等于（）。A.0B.1/3C.1/2D.13.設向量\(\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^T\)和\(\boldsymbol{\beta}=(3,1,2)^T\)，若\(\boldsymbol{\alpha}\)和\(\boldsymbol{\beta}\)正交，則\(\lambda=\)（）。A.1B.2C.3D.-34.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，則\(\boldsymbol{A}\)的逆矩陣\(\boldsymbol{A}^{-1}\)等于（）。A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\-4&-5&-6\\7&8&9\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2&3\\4&-5&6\\-7&-8&9\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-2&3\\-4&-5&6\\-7&-8&9\end{pmatrix}\)5.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\)，則\(\boldsymbol{A}^2\)等于（）。A.\(\begin{pmatrix}5&2\\6&5\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}7&3\\8&7\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}5&1\\6&2\end{pmatrix}\)三、計算題（每題10分，共20分）1.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求\(\boldsymbol{A}\)的特征值和特征向量。2.設向量\(\boldsymbol{a}=(1,2,3)^T\)和\(\boldsymbol=(3,1,2)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol\)的外積\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol\)。3.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1&3\\4&2&1\\1&3&2\end{pmatrix}\)，求矩陣\(\boldsymbol{A}\)的逆矩陣\(\boldsymbol{A}^{-1}\)。4.設向量\(\boldsymbol{a}=(1,1,1)^T\)和\(\boldsymbol=(1,2,3)^T\)，求\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol\)的夾角余弦值。四、證明題（每題10分，共10分）1.證明：設\(\boldsymbol{A}\)是一個\(n\)階方陣，若\(\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}\)，則\(\boldsymbol{A}\)的列向量線性相關。五、應用題（每題10分，共10分）2.設線性方程組\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol\)的增廣矩陣為\(\left(\boldsymbol{A}|\boldsymbol\right)\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)。求該方程組的通解。六、綜合題（每題10分，共10分）3.設矩陣\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求矩陣\(\boldsymbol{A}\)的特征值和特征向量，并判斷矩陣\(\boldsymbol{A}\)是否可對角化。如果可對角化，請給出對角化的具體過程。本次試卷答案如下：一、填空題1.特征值：\(\lambda_1=-1,\lambda_2=5\)；特征向量：\(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1)^T\)。2.\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{14}}\)。3.投影向量：\(\frac{1}{\sqrt{14}}\boldsymbol{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{14}}\boldsymbol{\beta}\)。4.外積：\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\)。5.伴隨矩陣：\(\boldsymbol{A}^*=\begin{pmatrix}2&-1&3\\-4&2&-1\\-7&-8&2\end{pmatrix}\)。二、選擇題1.B2.D3.A4.D5.A三、計算題1.特征值：\(\lambda_1=-1,\lambda_2=5\)；特征向量：\(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1)^T\)。2.外積：\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\)。3.逆矩陣：\(\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1&3\\-4&2&-1\\-7&-8&2\end{pmatrix}\)。4.夾角余弦值：\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{14}}\)。四、證明題1.解析：因為\(\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}\)，所以\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}\)。取\(\boldsymbol{A}\)的任意列向量\(\boldsymbol{\alpha}\)，則有\(zhòng)(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{O}\)，即\(\boldsymbol{A}\)的列向量線性相關。五、應用題2.解析：首先將增廣矩陣\(\left(\boldsymbol{A}|\boldsymbol\right)\)進行行簡化操作，得到：\[\begin{pmatrix}1&2&3&|&1\\4&5&6&|&2\\7&8&9&|&3\end{pmatrix}\]通過行變換，得到：\[\begin{pmatrix}1&2&3&|&1\\0&-3&-6&|&-2\\0&-6&-12&|&-6\end{pmatrix}\]繼續(xù)行變換，得到：\[\begin{pmatrix}1&2&3&|&1\\0&1&2&|&\frac{2}{3}\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\]因此，方程組的通解為\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1\\\frac{2}{3}\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\)，其中\(zhòng)(k\)為任意常數。六、綜合題3.解析：計算矩陣\(\boldsymbol{A}\)的特征值，通過求解\(\det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})=0\)，得到特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)。對應每個特征值，求解特征向量：-對于\(\lambda_1=1\)，解方程\((\boldsymbol{A}-\lambda_1\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)，得到特征向量\(\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)。-對于\(\lambda_2=2\)，解方程\((\boldsymbol{A}-\lambda_2\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)，得到特征向量\(\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1