2.1向量的線性運算

2.1.4數(shù)乘向量

學(xué)習(xí)目標1.掌握數(shù)乘向量的定義，并理解其幾何意義．2．掌握數(shù)乘向量的運算律．3．了解向量線性運算性質(zhì)及其幾何意義．課前自主學(xué)案溫故夯基1．平行四邊形法則適用于____________向量求和，而_____________適用于任意向量求和．2．實數(shù)運算滿足乘法對于加法的分配律，即λ(a＋b)＝____________，其中λ，a，b∈R.3．實數(shù)乘法滿足結(jié)合律，即λ(μa)＝________，其中λ，a，b∈R.兩個不共線三角形法則λa＋λb(λμ)a知新益能1．實數(shù)與向量的積(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個_______，記作________.(2)它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝___________；②當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0，方向任意．向量λa|λ||a|2．實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)λ、μ∈R，則：(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝__________；(3)λ(a＋b)＝___________.3．向量的線性運算向量的________、減法和___________的綜合運算，通常叫做向量的線性運算．(λμ)aλa＋μaλa＋λb加法數(shù)乘向量思考感悟1．?dāng)?shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)的積有何不同？提示：數(shù)乘向量λa仍是向量，既有大小，又有方向，與向量a同方向或反方向，即a∥λa；而實數(shù)的乘積仍是實數(shù)，只有大小，沒有方向．2．實數(shù)與向量可以進行加減法運算嗎？提示：不可以．如λ＋a，λ－a是無法運算的．課堂互動講練考點突破向量數(shù)乘運算的概念對于數(shù)乘運算，要把握好方向，任意實數(shù)λ與任意向量a的乘積λa仍是向量，另外應(yīng)弄清數(shù)乘向量的模之間的關(guān)系．例1【思路點撥】根據(jù)數(shù)乘向量與相反向量的定義即可判斷．(3)正確．按照相反向量的定義可以判斷．(4)錯誤．法一：因為－(b－a)與b－a是一對相反向量，而a－b與b－a是一對相反向量，故a－b與－(b－a)為相等向量．法二：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b與－(b－a)為相等向量．【點評】首先要意識到向量線性運算的結(jié)果仍是向量，然后要明確判斷兩向量的關(guān)系，應(yīng)從兩個方面入手，一是方向，二是長度．變式訓(xùn)練1試判斷下列說法的正誤，并說明理由．(1)若λa＝0，則λ＝0；(2)若非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ＞0，則λa與μb同向；(3)對于實數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b；(4)對于實數(shù)m、n和向量a，若ma＝na，則m＝n.解：(1)錯誤．λa＝0，則λ＝0或a＝0.(2)錯誤．由|a－b|＝|a|＋|b|知a與b反向．由λμ＞0知λ與μ同號，所以λa與μb反向．(3)錯誤．當(dāng)m＝0時，雖有0a＝0b＝0，但a與b不一定相等．(4)錯誤．當(dāng)a＝0時，雖有m0＝n0＝0，但m與n不一定相等．向量的線性運算可類比實數(shù)、代數(shù)式運算，但要注意它們的意義的差別．

(1)化簡：①8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；②(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．(2)設(shè)x是未知向量，①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；②解方程(x－a)－(a－x－2b)＝0.向量的線性運算例2【思路點撥】根據(jù)向量加、減、數(shù)乘的運算法則和運算性質(zhì)即可得到答案．【解】

(1)①原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.②原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.【點評】

(1)向量的初等運算類似于實數(shù)的運算，其化簡的方法與代數(shù)式的化簡類似，可以進行加、減、數(shù)乘等，也滿足運算律，可以進行去括號、移項、合并同類項等變形手段．(2)向量方程的解法可類比于代數(shù)方程的解法，解題過程中應(yīng)注意向量線性運算的綜合應(yīng)用，特別是不應(yīng)忽視符號問題．?dāng)?shù)乘向量在平面幾何中的應(yīng)用數(shù)乘向量的主要應(yīng)用是將平面幾何問題和實際問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量的運算來解決．例3【點評】向量線性運算幾