/四川成都2023~2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)試題一1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用兩直線垂直的條件求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即.故選：B.2.若直線為圓的一條對(duì)稱軸，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：C3.已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為，圓可化為，圓心為，半徑為，又與有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得，故選：C4.在三棱錐中，點(diǎn)M是中點(diǎn)，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】表達(dá)出和，得出，，的值，即可求出的值.【詳解】由題意，在三棱錐中，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接，，在中，，在中，，∴,∴，，∴，故選：A.5.有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個(gè)，2克的砝碼一個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，則這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件“這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，故所求的概率為．故選：A.6.在平行六面體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由向量的運(yùn)算得出，進(jìn)而得出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，則，，即，則直線與直線所成角的余弦值為.故選：A7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，結(jié)合已知得，過點(diǎn)B作，由拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H，由O為中點(diǎn)，知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以．過點(diǎn)B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選：C8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，為右焦點(diǎn).延長、交橢圓于、兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、、，推導(dǎo)出四邊形為矩形，設(shè)，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得橢圓的離心率的值.【詳解】解：如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、、，由題意可知，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?因?yàn)?，設(shè)，，則，，所以，，在中，，即，解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)或不選得0分．9.統(tǒng)計(jì)學(xué)是源自對(duì)國家的資料進(jìn)行分析，也就是“研究國家的科學(xué)”．一般認(rèn)為其學(xué)理研究始于希臘的亞里士多德時(shí)代，迄今已有兩千三百多年的歷史．在兩千多年的發(fā)展過程中，將社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象量化的方法是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要特征．為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)有了自己研究問題的參數(shù)，比如：均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差．一組數(shù)據(jù)：（）記其均值為m，中位數(shù)為k，方差為，則（）A.B.C.新數(shù)據(jù)：的均值為mD.新數(shù)據(jù)：的方差為【答案】BD【解析】【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用均值和方差公式可判斷C，D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，不妨令，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，樣本數(shù)據(jù)最中間項(xiàng)為和，由中位數(shù)的定義可知，，B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)的均值為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)據(jù)的均值為：，其方差為，D正確.故選：BD.10.2022年11月29日23時(shí)08分，我國自主研發(fā)的神舟十五號(hào)載人飛船成功對(duì)接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實(shí)現(xiàn)首次太空會(huì)師．我國航天員在實(shí)驗(yàn)艙觀測到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于這條拋物線的焦點(diǎn)．當(dāng)此彗星離地球4千萬公里時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為（單位：千萬公里）（）A. B. C.1 D.3【答案】CD【解析】【分析】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，可設(shè)該拋物線的方程為，彗星離地球4千萬公里時(shí)假設(shè)為A點(diǎn)，作軸于，分在的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行討論，即可求出最短距離【詳解】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，如圖所示，可設(shè)該拋物線的方程為，地球即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)彗星的坐標(biāo)為，當(dāng)彗星離地球4千萬公里時(shí)，設(shè)彗星此時(shí)處于A點(diǎn)，即，作軸于，則，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，，所以，代入拋物線可得，解得則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為1千萬公里，當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，，所以，代入拋物線可得，解得則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為3千萬公里，故選：CD11.在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為【答案】ABC【解析】【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則有，從而求出可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，，設(shè)平面的法向量，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，從而利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則（）A. B.延長交直線于點(diǎn)D，則D，B，Q三點(diǎn)共線C. D.若平分，則【答案】BCD【解析】【分析】由平行于x軸的，且過點(diǎn)，可推出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線的方程，并聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，即可判斷A是否正確；解得點(diǎn)坐標(biāo)，推出，，三點(diǎn)縱坐標(biāo)都相同，即可判斷B是否正確；由弦長公式計(jì)算出，即可得出C是否正確；平分推出，由，計(jì)算的值，即可判斷D是否正確；．【詳解】如圖所示：，，，，由平行于x軸的，且過點(diǎn)，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，由題知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)：由，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，，由光學(xué)性質(zhì)可知平行于x軸，則，，三點(diǎn)縱坐標(biāo)都相同，所以，，三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)B正確對(duì)于C選項(xiàng)：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由光學(xué)性質(zhì)可知平行于x軸，平行于x軸，則，有，平分，有，所以∴，即，得，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，則過線段的中點(diǎn)，且與垂直的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)，且.所以與垂直的直線的斜率為，所以過線段的中點(diǎn)，與垂直的直線方程為，即.故答案為：14.如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，則，，，，則，，設(shè)直線與所成的角為，所以，所以與所成角的余弦值為，故答案為：.15.已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，________．【答案】【解析】【分析】證明出，計(jì)算出的最小值，可得出的最小值，可得出四邊形的面積最小值，可求得的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】如圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，又因?yàn)?，，所以，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且，所以，，所以，，此時(shí)，因此，.故答案為：.16.已知橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，且該圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形，且平行四邊形面積為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切可求得圓的半徑，即，將與橢圓方程聯(lián)立可求得坐標(biāo)，由可構(gòu)造齊次方程求得離心率，從而用表示出，根據(jù)可構(gòu)造方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓長軸長.【詳解】由題意知：，，，直線，即，直線與圓相切，圓的半徑，即，四邊形為平行四邊形，，將代入橢圓方程得：，即，又，，，即，，解得：（舍）或；即，，，解得：橢圓長軸長.故答案為：.四、解答題：本小題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.【答案】（1）0.006；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為；（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評(píng)分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖?概率與頻率關(guān)系?古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時(shí)，注意其表達(dá)的意義，同時(shí)要理解頻率是概率的估計(jì)值這一基礎(chǔ)知識(shí)；在利用古典概型解題時(shí)，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重?漏的情況.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）求直線被圓所截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意判斷為正三角形，即可求得其外接圓圓心，繼而求得半徑，即可得圓的方程；（2）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可求出直線CD的方程，求出圓心到直線CD的距離，根據(jù)直線被圓所截得的弦的計(jì)算公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，故為銳角,故，又，所以為正三角形，由，得，所以外接圓圓心為，即，則半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】由題意得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故，，直線的斜率，直線方程為，即，到距離為，所以被圓：截得的弦長為.19.已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P軌跡的方程；（2）設(shè)與x軸交于點(diǎn)M，直線與交于點(diǎn)G（異于P），求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義求解軌跡方程；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得出，用表示出四邊形的面積，結(jié)合基本不等式求解最值.【小問1詳解】由題意點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，則.如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則易知為的中位線，所以.聯(lián)立，得，，不妨設(shè)，則，四邊形面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為.20.世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美．譬如紙飛機(jī)、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）做輔助線，先證明線面垂直，利用線面垂直證明線線垂直；（2）根據(jù)三棱錐的體積最大，確定平面的垂直關(guān)系，利用空間向量求解平面的夾角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知，所以；因?yàn)槠矫妫云矫妫灰蚱矫?，所?【小問2詳解】由題意可知三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面；在平面內(nèi)作出，且與的延長線交于點(diǎn)，連接；因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，所以平面；根?jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點(diǎn)可知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以；；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則；易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面和平面的夾角為，則.所以平面和平面的夾角的余弦值為.21.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求和的值.（2）若點(diǎn)在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線得定義可求得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求得.（2）設(shè)出的方程及的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在上，且，通過向量數(shù)量積為0建立的關(guān)系，代入方程易證明直線過定點(diǎn).【小問1詳解】，又在拋物線上，.【小問2詳解】證