第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省名校聯(lián)盟高二（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列求導(dǎo)運算結(jié)果正確的是(

)A.(ln(?x))′=1?x B.(xax2.在正項等比數(shù)列{an}中，已知a2=1，aA.1 B.2 C.4 D.83.已知{an}是遞增數(shù)列，則{aA.an=?n2+10n B.an4.已知{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，a2=2，a5=14A.?12 B.?2 C.3 5.若函數(shù)f(x)=3x+1x?3(x>0)的圖象與函數(shù)g(x)=txex的圖象有公切線l，且直線l與直線y=?A.1e B.e2 C.1e或2e6.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm).若a=C201?2+C20A.2018 B.2020 C.2022 D.20247.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲20飛機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有(

)A.18種 B.24種 C.36種 D.48種8.盒子里有8個除顏色外完全相同的小球，其中2個黑色，6個白色.現(xiàn)每次不放回地抽取2個小球，直到2個黑球全部取出為止，則共有(????)種不同的取法．A.10 B.4 C.16 D.20二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知f(x)=x(ex+2)，g(x)=(x+2)lnx，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)g(x)在(0,+∞)上存在極大值

B.f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f′(x)?m=0有兩個不同實根，則實數(shù)m的取值范圍是(2?e?2,2)

C.若對任意x≥e，不等式f(ax)≤f((x2+2x)lnx)恒成立，則實數(shù)a的最大值為2+e

D.10.某大學(xué)的3名男生和3名女生利用周末到社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，當(dāng)天活動結(jié)束后，這6名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是(

)A.若要求3名女生相鄰，則這6名同學(xué)共有144種不同的排法

B.若要求女生與男生相間排列，則這6名同學(xué)共有96種排法

C.若要求3名女生互不相鄰，則這6名同學(xué)共有144種排法

D.若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這6名同學(xué)共有480種排法11.如圖，P1是一塊半徑為1的圓形紙板，在P1的左下端前去一個半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓(其直徑為前一個前掉半圓的半徑)得圖形P3，P4，?，Pn，?，記紙板Pn的周長為LA.L3=74π+12 B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道，本地臺8個頻道和其他省市40個頻道的節(jié)目.若有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一個節(jié)目，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，則一臺電視可以選看的不同節(jié)目共有

個.13.已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項和Sn=?14.若函數(shù)f(x)=ex(x?4)?23四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某學(xué)校組織游戲活動，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結(jié)果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為23，摸到2分球的概率為13．

(1)若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；

(2)學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵.已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．16.(本小題15分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N?)．

(1)17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+2x,a∈R．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間18.(本小題17分)

假設(shè)你是一個不算太差的一般人，crus?喜歡你的概率是25%；如果ta喜歡你，第一次能約出來的概率是70%；如果ta不喜歡你，第一次能約出來的概率是20%．

(1)如果第一次能約出來，ta有多大可能喜歡你呢？

(2)如果第一次約會后crus?喜歡你，則第二次能約出來的概率為85%；如果ta不喜歡你，則第二次能約出來的概率為5%.如果crus?連著兩次都能約出來，ta有多大可能喜歡你呢？19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x3eax?1(a≠0)．

(1)當(dāng)a=?1時，求f(x)的極值；

(2)設(shè)g(x)=ln[f(x)+1]，不等式g(x)<(x+3)lnx+x+a對x∈(1,+∞)恒成立，求整數(shù)a的最大值；

(3)當(dāng)a=2時，不等式f(x)≥mx+3lnx參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.B

8.A

9.BCD

10.ACD

11.ABD

12.58

13.(?2,+∞)

14.[0,e15.解：(1)由題意知學(xué)生甲摸球2次總得分X的取值為2，3，4，

P(X=2)=23×23=49，X234P441所以E(X)=2×49+3×49+4×19=83；

(2)記Am=甲最終得分為m分，m=8，9，10，B=乙獲得獎勵，

P(A9)=C21×23×13=49，

P(A8)=C22(16.解：(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)公差為d，

由S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N?)，可得4a1+6d=4(2a1+d)，

a2=2a1+1，即a1+d=2a1+117.解：(1)由f′(x)=ax?2x2，x>0，

當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時，有0<x<2a，f′(x)<0，x>2a，f′(x)>0，即f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)由(1)，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,3]上單調(diào)遞減，∴f(x)min=f(3)=aln3+23，

當(dāng)0<a≤23，即2a≥3時，函數(shù)f(x)在(0,3]上單調(diào)遞減，18.解：(1)設(shè)A=“crus?喜歡你”，B=“第一次能約出來”，

則根據(jù)題意可得P(A)=25%=14，P(A?)=75%=34，

P(B|A)=70%=710，P(B|A?)=20%=15，

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)

=14×710+34×15=1340，

所以所求為P(A|B)=19.解：(1)當(dāng)a=?1時，f(x)=x3e?x?1，易知x∈R，又f′(x)=3x2e?x?x3e?x=x2e?x(3?x)，

所以當(dāng)x∈(?∞,3)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(3,+∞)時，f′(x)<0，

即f(x)=x3e?x?1在區(qū)間(?∞,3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)f(x)=x3e?x?1在x=3處取到極大值f(3)=27e?3?1，無極小值．

(2)因為g(x)=ln[f(x)+1]=ln(x3eax)=3lnx+ax，由g(x)<(x+3)lnx+x+a，

得到ax<xlnx+x+a，所以不等式g(x)<(x+3)lnx+x+a對x∈(1,+∞)恒成立，

即ax<xlnx+x+a對x∈(1,+∞)恒成立，整理得到a<x(lnx+1)x?1對x∈(1,+∞)恒成立，

令?(x)=x(lnx+1)x?1(x>1)，則?′(x)=x?lnx?2(x?1)2，

令g(x)=x?lnx?2，則g′(x)=1?1x=x?1x>0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，

所以g(x)=x?lnx?2在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞