第1頁/共1頁試卷編號(hào)：10799北京一零一中2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)二倍角的正弦公式求解即可.詳解】.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡即可.【詳解】由題可得.故選：A3.如果兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面（）A.沒有其他公共點(diǎn) B.僅有這一個(gè)公共點(diǎn)C.僅有兩個(gè)公共點(diǎn) D.有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.【詳解】如果兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面有一條過公共點(diǎn)的公共直線.故選：D.4.已知奇函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線，那么的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，因?yàn)椋允堑膱D象的一條對(duì)稱軸，故A符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)不是奇函數(shù)，故B不符題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)不是奇函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的圖象不是軸對(duì)稱圖形，故D不符題意.故選：A.5.將邊長為4的正方形沿對(duì)角線折起，折起后點(diǎn)D記為．若，則四面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理證明一個(gè)垂直關(guān)系，再結(jié)合正方形性質(zhì)可證明線面垂直，從而求體積即可.【詳解】在邊長為4的正方形中，連接交于點(diǎn)，可得，由于，所以，則，又因?yàn)?，平面，所以平面，即四面體的體積為，故選：A.6.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可解得或，即可判斷.詳解】若，則，，即或，則可得“，”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.在中，角所對(duì)的邊分別為已知，，給出下列五個(gè)a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一確定的是（）A.①④ B.②③ C.④⑤ D.②④⑤【答案】D【解析】【分析】利用三角形的圖形性質(zhì)來判斷唯一解的充要條件解題即可.【詳解】根據(jù)已知，，可知三角形邊上的高，所以要使得存在且唯一確定的解，則或，故有②④⑤滿足，故選：D.8.在中，，，已知點(diǎn)P滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出，求出，根據(jù)求解可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以為等腰三角形，，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，解得故選：D9.在中，若，，，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用余弦定理和已知聯(lián)立求解可得，然后利用平方關(guān)系求出，結(jié)合正弦定理可得.【詳解】由余弦定理得，即，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，，所以，由正弦定理可?故選：B10.如圖，四棱錐中，底面是正方形，各側(cè)棱都相等，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過作平面，過分別作于，連接，則，比較大小得到答案.【詳解】如圖，過作平面，過分別作于，連接，則，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，而，所以，綜上可得，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線夾角，線面夾角，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題共6小題.11.已知復(fù)數(shù)z滿足，，則的虛部為______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出即可得解.【詳解】設(shè)，由，，得，解得，所以的虛部為.故答案為：.12.已知a，b是平面外的兩條不同直線．給出下列六個(gè)論斷：①；②；③；④；⑤；⑥．選其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的其中一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：______．【答案】，則（答案不唯一，符合題意均可）【解析】【分析】?、邰茏鳁l件，⑥作結(jié)論，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】以③④作條件，⑥作結(jié)論，即若，則.因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?，則.（答案不唯一，符合題意均可）13.已知，，則______．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合已知條件以及二倍角公式可求出，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，解得或，而，則，，故，故答案為：14.如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理得，，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案為：.15.如圖1是唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）．當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積為，半球的半徑為時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積（厚度忽略不計(jì)）的3倍，則的取值范圍是______．（取3）【答案】【解析】【分析】設(shè)圓柱的高為h，由酒杯內(nèi)壁的表面積表示出h，可得，再結(jié)合體積公式列不等式求出，即可得答案.【詳解】設(shè)圓柱的高為h，則，故，酒杯的體積為，半球積分為，由題意可得，則，又，則，故，而取3，故，故答案為：16.如圖，在棱長為4的正方體中，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），點(diǎn)E在線段上，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得直線平面；②點(diǎn)P沿直線AC從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，四面體的體積逐漸減??；③若，則點(diǎn)P軌跡的長度為；④當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，平面截正方體所得截面圖形的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)面面平行以及線面平行的判斷可判斷A；結(jié)合三棱錐體積的公式可判斷B；判斷出點(diǎn)P所處的位置，即可求其軌跡長度，判斷C；由二面角的平面角的正切值確定P點(diǎn)位置，進(jìn)而求得截面面積，判斷D.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)P點(diǎn)位于A點(diǎn)時(shí)，由于，即四邊形為平行四邊形，則，同理可證，由于平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，此時(shí)平面，則平面，即存在點(diǎn)P，使得直線平面，①正確；對(duì)于②，由于平面，平面，故，而，而平面，故平面，平面，故，同理可證,平面，故平面，由于，過點(diǎn)P作平面，垂足為Q，則，當(dāng)P點(diǎn)沿直線AC從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，長逐漸變小，而的面積為定值，故逐漸變小，即逐漸減小，②正確；對(duì)于③，，作，垂足為G，連接，則，此時(shí)則P點(diǎn)軌跡為在上的線段，如圖示，為等腰三角形，則其底邊上的高為，故當(dāng)P向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變小，故在線段上存在一點(diǎn)P，使得,同理在靠近C的那一側(cè)也存在一點(diǎn)P，使得,當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P軌跡的長度為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)交于R，則R為的中點(diǎn)，由于，故，即為二面角的平面角，而，故，即為銳角，則，即，當(dāng)P點(diǎn)由A向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，將變小，即可知當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，P點(diǎn)位于A處，由于，此時(shí)平面截正方體所得截面即為矩形，面積為，④正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類立體幾何問題，關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，繼而結(jié)合相關(guān)的概念進(jìn)行解答.三、解答題共4小題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.已知函數(shù)，且．（1）求a的值和的最小正周期；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，然后利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可得；（2）利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期?【小問2詳解】由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求A的大?。唬?）若D是邊AB的中點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可以求解；（2）令，利用正弦定理，把邊長都用表示，最后用三角函數(shù)知識(shí)解得取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)樗?，所以，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】令,因?yàn)?，所以由正弦定理可得?所以，所以，又因?yàn)椋运?9.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.（1）求證：；（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（3）求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得．（2）延長交于點(diǎn)，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據(jù)此結(jié)合線面平行的判定定理證明題中的結(jié)論即可；（3）設(shè)為中點(diǎn)，連接，．將多面體分割為兩部分，分別求解對(duì)應(yīng)的體積，然后相加即可確定多面體的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．?）延長交于點(diǎn)，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以≌，所以．因?yàn)?，所以．由已知，?又因?yàn)椋?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）設(shè)為中點(diǎn)，連接，．由已知，所以平面．又因?yàn)?，所以平面，所以平面平面．因?yàn)椋?，所以平面，所以多面體為直三棱柱．因?yàn)?，且，所以．由已知，且，所以，且．又因?yàn)椋矫?，所以平面．因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直證明線線垂直的方法，線面平行的判定定理，組合體體積的求解方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；（2）寫出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；（3）已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為.①若，求的取值范圍；②求證：向量的充要條件是.【答案】（1），（2），（3）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由輔助角公式化簡即可求解；（2）結(jié)合兩角差的正弦公式和輔