試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)義烏市普通高中2025屆適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，考試時(shí)間120分鐘，試卷總分為150分.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．已知，向量與的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．4．將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑為3cm的圓錐體零件，則該圓錐體零件的高約為（

）（取）A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．7．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．68．狄利克雷函數(shù)定義為：，以下選項(xiàng)中正確的是（

）A．不存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，滿足D．函數(shù)圖象上存在三點(diǎn)，使得是直角三角形二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．有兩組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9和數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)A的平均數(shù)小于數(shù)據(jù)B的平均數(shù)B．?dāng)?shù)據(jù)A的方差小于數(shù)據(jù)B的方差C．?dāng)?shù)據(jù)A的極差小于數(shù)據(jù)B的極差D．?dāng)?shù)據(jù)A的中位數(shù)小于數(shù)據(jù)B的中位數(shù)10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有極大值4 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為1C． D．曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于2非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則公差.13．若，則.14．已知四棱錐的底面為菱形，三棱錐為正四面體，則三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．某手機(jī)廠對(duì)屏幕進(jìn)行兩項(xiàng)獨(dú)立檢測(cè)：亮度檢測(cè)通過(guò)率，色準(zhǔn)檢測(cè)通過(guò)率.產(chǎn)品需通過(guò)兩項(xiàng)檢測(cè)才算合格.隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，設(shè)合格品數(shù)為X.(1)求單件產(chǎn)品為合格品的概率；(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)已知合格品利潤(rùn)100元/件，若改進(jìn)工藝能使亮度檢測(cè)通過(guò)率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改進(jìn)？16．雙曲線的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左支、右支分別交于點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.(1)求雙曲線的方程；(2)點(diǎn)滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形的面積.17．如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，，點(diǎn)為的重心.(1)證明：平面；(2)若平面平面，求二面角的平面角的正切值.18．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在區(qū)間上存在零點(diǎn)（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，.19．給定正整數(shù)，考慮集合的所有排列，對(duì)每個(gè)，定義：，并規(guī)定.記為所有排列中的最大值.(1)對(duì)于排列，計(jì)算，再直接寫出和的值，并分別給出一個(gè)滿足的排列和一個(gè)滿足的排列；(2)對(duì)任意整數(shù)，證明：；(3)證明：.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，集合，而，所以.故選：D2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法直接求出z.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A3．B【分析】利用及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出.【詳解】由題意可得，，解得或（舍）.故選：B4．D【分析】利用正方體和圓錐的體積相等即可求出.【詳解】由題意可知，正方體的體積為，設(shè)圓錐的高為，則圓錐的體積為，則，得cm，則該圓錐體零件的高約為24cm.故選：D5．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)值恒大于或等于0，再利用分離參變量思想即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，要滿足函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)?，所以，即，故選：B.6．D【分析】根據(jù)正弦定理可求解或，即可判斷AB,根據(jù)三角形內(nèi)角和以及正弦定理求解，即可判斷CD.【詳解】由正弦定理可得，由于,故或，故AB錯(cuò)誤，若時(shí)，則,此時(shí)，若時(shí)，則,此時(shí)為三角形中最小的內(nèi)角，故，故C錯(cuò)誤，D正確，故選:D7．A【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，分直線斜率存在與不存在，建立方程，利用基本不等式，可得答案.【詳解】由拋物線，則焦點(diǎn)，設(shè)，，易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，即，解得；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，代入，整理可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得.綜上所述的最大值為.故選：A.8．D【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義可知當(dāng)時(shí)，恒成立，即可判斷選項(xiàng)A；分析可知對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不成立，即可判斷選項(xiàng)B；令，，即可判斷選項(xiàng)C；取點(diǎn)，，，利用勾股定理即可即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)，可知：當(dāng)時(shí)，若，則，，所以；若，則，，所以，故時(shí)，恒成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令，，則，此時(shí)，，不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；取函數(shù)圖象上點(diǎn)，，，此時(shí)，，，所以，所以是直角三角形，故選項(xiàng)D正確.故選：D.9．ABC【分析】依次算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)即可比較大小.【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為，數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．AD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值判斷A，舉反例即可求解B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解C，利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，在，單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極大值4，故A正確，對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，取，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，但由于，故與的大小關(guān)系不確定，因此無(wú)法判斷,C錯(cuò)誤，對(duì)于D,，當(dāng)時(shí)，故，因此，所以，故D正確，故選：AD11．ACD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式以及點(diǎn)到直線距離可得點(diǎn)的軌跡方程為，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可判斷A，根據(jù)，結(jié)合，即可求解C,根據(jù)不等式，進(jìn)而可得的范圍，根據(jù)矩形的面積可求解BD.【詳解】設(shè)，則．由，得，故點(diǎn)的軌跡方程為（※），對(duì)于A,關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則也滿足方程（※），故C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，A正確．對(duì)于C,由于，結(jié)合，所以，故，C正確，對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)位于直線上時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，且或，此時(shí)與重合，因此點(diǎn)的軌跡為直線上點(diǎn)到之間的線段，故長(zhǎng)度為2，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D,由于，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故，進(jìn)而，故，同理可得，由于和圍成的矩形面積為，而曲線位于該矩形內(nèi)，所以曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于2，故D正確，故選：ACD12．2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，建立方程組，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.13．##【分析】利用平方公式配方，利用兩角差正弦公式展開，再結(jié)合齊次式弦化切，即可求解.【詳解】由，故答案為：14．##【分析】作出輔助線，得到三棱錐的外接球球心為，三棱錐的外接球球心為，設(shè)，利用半徑相等，求出兩個(gè)三棱錐外接球半徑，得到答案.【詳解】設(shè)的中心為G，三棱錐的外接球球心為，因?yàn)槿忮F為正四面體，所以三點(diǎn)共線，設(shè)，取的中點(diǎn)為，則，所以，同理，由勾股定理得，設(shè)，則，由勾股定理得，因?yàn)?，所以，解得，所以三棱錐的外接球半徑為，設(shè)的中心為H，則四點(diǎn)共線，三棱錐的外接球球心為，且，則，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，設(shè)，則，其中，其中，，因?yàn)?，所以，解得，所以三棱錐的外接球半徑為，即三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為故答案為：.15．(1)(2)分布列見解析，(3)值得改進(jìn)【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式，可得答案；（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，可得答案；（3）由（2）所求的期望，結(jié)合題意，可得改進(jìn)前的利潤(rùn)，利用二項(xiàng)分布的期望，結(jié)合題意，可得改進(jìn)后的利潤(rùn)，通過(guò)比較，可得答案.【詳解】（1）設(shè)合格的概率為，則：（亮度通過(guò)）（色準(zhǔn)通過(guò)）.（2），易知，，，，，所以X的分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望.（3）改進(jìn)前：每件產(chǎn)品的合格概率.對(duì)于3件產(chǎn)品，期望合格數(shù).總期望利潤(rùn)元.改進(jìn)后：每件產(chǎn)品的合格概率，對(duì)于3件產(chǎn)品，新的期望合格數(shù).總期望利潤(rùn)元.凈期望利潤(rùn)元.改進(jìn)前的期望利潤(rùn)是210元，改進(jìn)后是213元，改進(jìn)后利潤(rùn)增加了3元.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸以及離心率求解的值，即可得解，（2）聯(lián)立直線與曲線方程可得韋達(dá)定理，結(jié)合相似比可得，即可利用弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，求解，由三角形面積公式求解，即可利用相似比求解四邊形的面積.【詳解】（1）由直線與軸垂直時(shí)，，故，故，又離心率為，則，所以，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)直線l的方程是，，.由得，，.因?yàn)?，所以，從?所以，，消去得，解得，它滿足，.,故到直線的距離為，所以，由于，所以,17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)重心的性質(zhì)得到，即可得證；（2）方法一：延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，即可證明平面平面，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；方法二：直接建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用面面垂直求出點(diǎn)坐標(biāo)，其余同一.【詳解】（1）連接，并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.為的重心，，因此，則，從而，又平面，平面，平面.（2）方法一：延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，是正三角形，.在平面中，過(guò)點(diǎn)作，平面平面，平面平面，平面，，平面，又平面，所以，又，AC，平面；平面，又平面，平面平面，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由平面平面可知，，，所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，平面ABD的一個(gè)法向量為，所以，設(shè)二面角為，則，所以，，所以二面角的平面角的正切值為.方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，,設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，平面平面，即，則，，下同法一.18．(1)極小值，無(wú)極大值(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（?。├梅诸愑懻撍枷?，借助，把兩類單調(diào)的可能性排除，進(jìn)而來(lái)求出參數(shù)的范圍；（ⅱ）利用上一問(wèn)的結(jié)論，把要證的不等式轉(zhuǎn)化證明新的不等式，然后再借助條件消去參數(shù)，從而變成僅關(guān)于的函數(shù)不等式，再借助導(dǎo)數(shù)思想來(lái)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，有極小值，無(wú)極大值；（2）（?。?，當(dāng)時(shí)，由于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于，故，所以在上單調(diào)遞減，又，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有，故在上單調(diào)遞減，，有，故在上單調(diào)遞增，所以有，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，；綜上；（ⅱ）由（ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，，，且，要證，只要證，即證，只需證，令，在上單調(diào)遞增.又，即，由上式不等式成立可知原不等式恒成立.19．(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義寫出、和的值，并確定對(duì)應(yīng)排列；（2）構(gòu)造排列將集合分為兩部分，前個(gè)元素和后個(gè)元素，并利用交叉排列或最優(yōu)子排列，使得中間的差值貢獻(xiàn)，即可證結(jié)論；（3）通過(guò)多次應(yīng)用（2）的遞推關(guān)系，將分解為多個(gè)較小的，并累積項(xiàng)，最終證明結(jié)論.【詳解】（1）排列，則，，，，所以，對(duì)應(yīng)排列為，對(duì)應(yīng)排列為.（2）設(shè)原排列為，交換最后兩項(xiàng)得到新排列.顯然，即交換排列的最后兩項(xiàng)不改變的總和.考慮一般情況：設(shè)原排列為，交換1和的位置后得到新排列.顯然，對(duì)于或的項(xiàng)，有，因此只需比