PAGE1第09講解題技巧專題：全等三角形模型之一線三等角模型與手拉手模型目錄TOC\o"1-1"\h\u【模型一全等三角形模型之一線三等角模型】 1【模型二全等三角形模型之手拉手模型】 6【過關(guān)檢測】 11【模型一全等三角形模型之一線三等角模型】【常見模型及證法】1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（24-25八年級上·山西忻州·期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖1，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到________，________．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖2，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有________（填“、、”）【答案】（1），，（2）見解析，（3），理由見解析【知識點(diǎn)】直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形綜合問題【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作于點(diǎn)H，于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得，然后可證，則有，進(jìn)而可得，通過證明可求解問題；（3）過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作交延長線于由題意易得，，然后可得，則有，，進(jìn)而可得，通過證明及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴，故答案為，（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作于點(diǎn)H，于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理可知，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作交延長線于∵四邊形與四邊形都是正方形∴，，∵，，∴，，，又∵，∴，∴，∴，，同理可以證明，∴，，∴，∵，，，∴，∴．∵，∴，∴即，故答案為：．例2．（24-25七年級上·山東泰安·期中）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：（1）如圖（1），為等邊三角形，，，則________【模型應(yīng)用】（2）如圖（2），正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長為________【模型變式】（3）如圖（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的長．【答案】（1）；（2）3；（3）【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的定義【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得，由全等三角形的性質(zhì)即可求得的長；（3）由三個垂直及等腰直角三角形可證明，由全等三角形的性質(zhì)即可求得的長．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，故答案為：；（2）∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：3；（3）∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴【模型二全等三角形模型之手拉手模型】【常見模型及證法】1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。例1．（24-25八年級上·湖南婁底·期中）小茗同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形．小茗把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖所示的“手拉手”圖形中，和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)在同一直線上，連接，為中邊上的高．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)三線合一證明、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、斜邊的中線等于斜邊的一半、等邊對等角【分析】（）由可得，再根據(jù)即可證明；（）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（）由全都三角形的性質(zhì)可得，由等于直接三角形的性質(zhì)可得，即得，進(jìn)而即可得到；本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全都三角形的判定和性質(zhì)，直接三角形的性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，即，∴．例2．（24-25八年級上·廣東湛江·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1、兩個等腰三角形和中，連接、、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2、兩個等腰直角三角形和中，連接，，兩線交于點(diǎn)，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，連接，，兩線交于點(diǎn)，請直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．【答案】(1)，(2)且，理由見解析(3)，【知識點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（3）由三角形與三角形都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，兩三角形的內(nèi)角都為，利用等式的性質(zhì)得到，利用可得出得，，求出，即可根據(jù)求解．【詳解】（1）解：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是．故答案為：，；（2）且；理由如下：∵，∴．∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，綜上所述：且．（3）和都為等邊三角形，，，，，即，在和中，，；，，∴，∴．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（22-23八年級上·吉林長春·期中）如圖1，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得.又，可以推理得到，進(jìn)而得到，，我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型：[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，由“字”模型可知，，，則有，，，，然后根據(jù)割補(bǔ)法求面積即可；【詳解】解：由“字”模型可知，，，，，，，，圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為：．故選：B；二、填空題2．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，在中，以，為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接，為邊上的高線，延長交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（寫上序號）【答案】①③④【知識點(diǎn)】垂線模型(全等三角形的輔助線問題)、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，先作，交于點(diǎn)H，，交延長線于點(diǎn)K，構(gòu)造三對全等三角形：，，，根據(jù)全等三角形的面積相等，即可得出，，，根據(jù)，即可得出結(jié)論③；最后根據(jù)，得出即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，故①正確；∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯誤；作，交于點(diǎn)H，，交延長線于點(diǎn)K，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，同理可得：，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，故③正確；∵，∴，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題3．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，三點(diǎn)在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)當(dāng)滿足__________時，？【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】垂線模型(全等三角形的輔助線問題)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．（1）根據(jù)證明，得出，即可證明；（2）根據(jù)，得出，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得出，得出，根據(jù)平行線的判定得出．【詳解】（1）證明：在和中，∴；∴，∵，∴．（2）解：當(dāng)時，．理由如下：∵，∴，∵，∴．∴．∴．4．（24-25七年級上·山東青島·期中）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若和均是頂角為的等腰三角形，，分別是底邊，從圖中找出一對全等三角形并說明理由；(2)【拓展探究】如圖2，若和和均為等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【知識點(diǎn)】等邊對等角、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，進(jìn)而利用判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出，得出，最后用角的差，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：．理由如下：和均是頂角為的等腰三角形，，．，即．．（2）為等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，．．

由（1）知，

為等邊三角形，．

．5．（23-24八年級上·廣東潮州·期中）如圖，在中，，，為射線上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角三角形，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，求點(diǎn)到直線的距離；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的延長線上時，連接，交直線于點(diǎn)，求證：；(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，連接，交直線于點(diǎn)，若，則的長為_____．【答案】(1)點(diǎn)到直線的距離為1；(2)證明見解析；(3)或6．【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、垂線模型(全等三角形的輔助線問題)、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法證明，再利用全等三角形對應(yīng)邊相等，即可求解；（2）作交直線于，先利用證出，得到，再利用證出，即可完成證明；（3）由圖可知，在射線運(yùn)動過程中，在射線上運(yùn)動，分2類情況討論：①若在線段上；②若在延長線上，由，得出，設(shè)，則，利用（2）中的全等三角形結(jié)論，用表示出、，再利用列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：作交于，則，，，，，，又，，，點(diǎn)到直線的距離為1．（2）作交直線于，則，，，，，，，，，，，，，，即．（3）由圖可知，在射線運(yùn)動過程中，在射線上運(yùn)動，下面分2類情況討論：①若在線段上，同（2）作輔助線，由（2）得，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得：，；②若在延長線上，同（2）作輔助線，同①可得：，設(shè)，則，，，，解得：，．綜上所述，的長為或6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、作垂線輔助線構(gòu)造全等、三角形的面積問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，學(xué)會作垂線構(gòu)造全等三角形并證明，以及學(xué)會將三角形面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系并通過方程思想解決問題，本題綜合性較強(qiáng)，適合有能力解決難題的學(xué)生．6．（24-25八年級上·云南玉溪·期中）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．(1)如圖1，在“手拉手”圖形中，，若，則(2)如圖2，和是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)O，求的度數(shù)；(3)如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)40(2)(3)【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求解即可；（3）延長到P，使，先證明是等邊三角形，再證明，進(jìn)而證明即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，故答案為：40；（2）解：∵和是等邊三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：，證明如下：如圖，延長到P，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴．7．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）我們把有公共頂點(diǎn)且形狀相同的兩個三角形組成的圖形稱為“手拉手”圖形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)對“手拉手”圖形進(jìn)行了探究．(1)初步探究：如圖，與的頂點(diǎn)重合，，，，連接，他們通過測量發(fā)現(xiàn)在和繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中，，請你證明他們的結(jié)論；(2)大膽猜想：如圖，在（）的條件下，連接，他們猜想的面積與的面積相等，請證明他們的猜想是正確的；(3)拓展延伸：如圖，在（）的條件下，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)，，的面積為，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)他們的猜想正確，證明見解析；(3)．【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】（）由，得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（）過作于，過作交延長線于點(diǎn)，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)性質(zhì)得，然后由，，，即可得到結(jié)論；（）過作交的延長線于，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)性質(zhì)得，，再證明，則有，又，即，求出，再根據(jù)線段和差得出，從而求解；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用及正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在與中，，∴，∴；（2）證明：過作于，過作交延長線于點(diǎn)，則，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴；（3）解：過作交的延長線于，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，即，∴（負(fù)值舍去），∵，∴，∴．8．（21-22八年級上·貴州遵義·期末）央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問題．(1)【模型探究】如圖1，和中，，，且，連接，．這一圖形稱“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：，．即．在和中（________）．(2)【模型指引】如圖2，中，，，以為端點(diǎn)引一條與腰相交的射線，在射線上取點(diǎn)，使，求的度數(shù)．小亮同學(xué)通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在上找一點(diǎn)，使，最后使問題得到解決．請你幫他寫出解答過程．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，為任意角度，若射線不與腰相交，而是從端點(diǎn)向右下方延伸．仍在射線上取點(diǎn)，使，試判斷與有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡要說明．【答案】(1)，；(2)見解析(3)；見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（1）由全等三角形的判定