九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題：二次函數(shù)綜合壓軸題（相似三角形問(wèn)題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．拋物線L：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與它的對(duì)稱(chēng)軸直線交于點(diǎn)B．(1)求拋物線L的解析式；(2)拋物線L與x正半軸交于點(diǎn)N，E在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，求的最大值；(3)如圖2，將拋物線L向上平移（，當(dāng)時(shí)，表示向下平移）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)D，F(xiàn)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段上一點(diǎn)．若與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)P為線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，交于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)過(guò)點(diǎn)C作直線l，F(xiàn)為垂足，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，連接，請(qǐng)問(wèn)的面積S能否取得最大值？若能，請(qǐng)求出最大面積S，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，連接．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出b，c的值；(2)若動(dòng)點(diǎn)在邊（不與O，A兩點(diǎn)重合）上，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，連接．①設(shè)線段的長(zhǎng)為h，求h與m的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在下方的拋物線上時(shí)，以P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與是否相似？若相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且，拋物線的頂點(diǎn)為D，直線經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，得到，求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)直線交線段于點(diǎn)H，若以點(diǎn)O，B，H為頂點(diǎn)的三角形與相似，求k的值．6．已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接．當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖①，拋物線與x軸交與、兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q．使得的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)M從B點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿BA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從C點(diǎn)以每秒個(gè)單位沿方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值，以B，M，N為頂點(diǎn)的三角形與相似?8．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：是直角三角形；(3)若點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接、，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，線段與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)與、點(diǎn)不重合．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①求證：；②求的最小值；10．綜合與探究如圖，拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)．(2)是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是BC線段上一點(diǎn)，已知，求直線的解析式．(3)若C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，連接，N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P，交直線于點(diǎn)Q，當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，設(shè)拋物線與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)記為點(diǎn)．且．(1)求的值和拋物線的解析式；(2)已知過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)．若點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，的外接圓半徑等于．（直接寫(xiě)答案）12．如圖，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若恰好在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過(guò)點(diǎn)P作軸分別交直線，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接．若以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，（在的左側(cè)），與軸交于，若，且．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)，過(guò)作軸于，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，已知拋物線（且與軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左邊，與y軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于E點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，；(2)若，連接，①求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②在軸上找點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若在直線上存在唯一的一點(diǎn)，連接、，使，求的值．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求出拋物線的解析式；(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)N，若的面積滿(mǎn)足，求出的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，且．(1)試求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的面積；(3)如圖3，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于第四象限的點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記，請(qǐng)判斷是否有最大值，如有請(qǐng)求出取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．17．已知菱形的邊長(zhǎng)為5，且點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E的拋物線與邊交于點(diǎn)D，(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，將沿著翻折痕．①當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，，若與相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)拋物線二次項(xiàng)系數(shù)______．18．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與直線交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)d為點(diǎn)P到直線的距離，當(dāng)d有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)F為直線上一點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．參考答案：1．(1)(2)點(diǎn)P到直線距離為，此時(shí)(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或2．(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或3．(1)(2)(3)能，，的面積的最大值為84．(1)，(2)①，②相似，或5．(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；直線的函數(shù)表達(dá)式為(2)面積最大值為3，(3)的值為3或26．(1)拋物線的解析式為；(2)(3)存在，，7．(1)(2)存在，(3)秒或8．(1)(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或9．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②10．(1)；(2)直線的解析式為(3)點(diǎn)的坐