2021年江西省高考文科數(shù)學(xué)模擬考試試卷

一.選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.（5分）已知集合4={川<2AW4},3={巾=及（x-1）},則（）

A.{.r|0<x<l}B.{x|lVxW2}C.{x\0<x^2］D.{x|0<x<2}

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（?2?i）z=|3+4f|（，為虛數(shù)單位），則5=（）

A.-2十，B.2-iC.-2-iD.2十，

3.（5分）某社區(qū)組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的市民中抽出40人，將其成

績(jī)分成以下6組：第1組［40,50）,第2組［50,60）,第3組［60,70）,第4組［70,80）,

第5組［80,90）,第6組［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)采用分層抽樣

的方法，從第2,3,4組中按分層抽樣抽取8人，則第2,3,4組抽取的人數(shù)依次為（）

A.I,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,6

4.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）=〃/-/△（其中常數(shù)aKO）的圖象在點(diǎn)處的切線為/,

則/在y軸上的截距為（）

A.1B.2C.ae-\D.1-2ae

5.（5分）《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深

刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)占代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方

法.我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“■”當(dāng)作數(shù)字解”,把陰爻“■■”當(dāng)作數(shù)字“0”,

則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

坤==0000

■■

■■

震■■0011

坎■■0102

第1頁(yè)共18頁(yè)

兌SJ0113

依此類推，則六十四卦中的“井”卦，符號(hào)“三”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）

A.11B.18C.22D.26

6.（5分）設(shè)直線/為平面a外的一條直線，則/_La的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與/垂直

B.a內(nèi)有兩條相交直線都與/垂直

C./,a垂直于同一條直線

D./,a垂直于同一平面

CQ

7.（5分）已知a、p都是銳角，cos（a+p）=宜，sin（a-p）=耳，則sina=（）

A.---V130B.---V130C.—,V6SD.-V6B

1301306565

8.（5分）將函數(shù)/（%）=sm（3x+看）的圖象向右平移/〃（〃?>（））個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上

各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（外為

奇函數(shù)，則m的最小值為（）

n2TCnn

A.-B.—C.—D.一

991824

9.（5分）已知函數(shù)/（公的定義域?yàn)镽,且滿足下列三個(gè)條件：

①對(duì)任意的制，.12日4,8],且加#%2，都有‘（/）一”"2）K）；

“1一必

@/（x+8）=f（x）；

③y=/（X+4）是偶函數(shù)；

若a=f（-7）,Z?=/（ll）,c=/（2020）,則4,b,c的大小關(guān)系正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

x2v2

10.（5分）設(shè)Q,&是雙曲線和一W=1（4>0,b>0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右

支上存在一點(diǎn)P,使（b+。》）?F〉=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且|PFI|=H|P&I，貝!雙曲

線的離心率為（)

V2+1V3+1

A.----B.V2+1C.----D.V3+1

22

11.（5分）2012年莫言獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)，其所著作品變得緊銷，可謂“一書難求”，若某

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圖書銷售網(wǎng)站將莫言的一套14本不同圖書中的9本價(jià)格上調(diào)20%,另外5本價(jià)格上調(diào)

36%,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.整套圖書價(jià)格上漲了28%

B.整套圖書價(jià)格上漲了36%

C.整套圖書的價(jià)格約上漲了25.7%

D.整套圖書價(jià)格上漲百分比不確定

12.（5分）已知點(diǎn)"為拋物線』=2〃），（p>0）的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角a為鈍角的直

線與拋物線交于人，B兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為-8cos3a,線段人B的垂

直平分線與），軸交于點(diǎn)M，則|FM]=（）

A.4B.2C.V2D.1

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

2XIy2<0/

x-y-l>0,則z=x+7y的最大值為

!y+1>0,

14.（5分）已知向量工I滿足面=1,向=2,|a-^|=V3,則.

15.（5分）設(shè)△A8C內(nèi)角A、8、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、5、c.已知（4a?c）cosB=AcsC,

則cosB=.

16.（5分）己知矩形4ACD中，點(diǎn)44=8,AD=6,沿對(duì)角線“。折整成空間四邊形/WCQ,

則空間四邊形相C。的外接球的表面積為

三.解答題（共5小題，滿分60分，每小題12分）

17.(12分)己知數(shù)列｛〃〃｝滿足。3=1，ati-a,t+\=2an*a,j+\(//GN+).

（1）求m，并證明數(shù)列｛；｝為等差數(shù)列;

計(jì)算加+歷+…+為2的值:

（3）設(shè)％=&贏數(shù)列｛5｝前〃項(xiàng)和為S”證明：Slt<l，

18.（12分）2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷

項(xiàng)目迅速炒“熱”.北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)

的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興

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趣的占“而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額.

(1)完成2X2列聯(lián)表，并I可答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”?

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男55

女

合計(jì)

(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率.

附表：

P(犬2女0)0.1500.1000.0500.0250.010

ka2.0722.7063.8415.0246.635

2

“2_n{ad—bd)

K=(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐P-/WCQ中，平面尸CO_L平面4BCZ),

PD=CD=3,PC=30

(1)求證：平面以。，平面A8CQ：

<2)設(shè)點(diǎn)七是出的中點(diǎn)，若BD工CD,BD=2,求三棱錐4-CD￡的體積.

20.(12分)已知“6R,函數(shù)/(x)=(7+or)?(.v6R).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(工)在(-1,1)上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓。的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,1),li(0,-1),焦距為26.

(I)求橢圓C的方程；

(II)已知直線)，=〃?與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,設(shè)。為直線4N上一點(diǎn)，且直

線3。，8W的斜率的積為一分證明：點(diǎn)。在工軸上.

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四.解答題（共1小題，滿分10分，每小題10分）

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，曲線Ci的參數(shù)方程為F=^COS（P（<p為參數(shù)）.以

坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P=注.

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)P是曲線。上一點(diǎn)，此時(shí)參數(shù)（p=*將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g交

曲線C2于點(diǎn)Q,記曲線C1的上頂點(diǎn)為7,求△07Q的面積.

五.解答題（共1小題）

23.己知函數(shù)/（x）=|x-3|-2k|.

（I）求不等式/（x）W2的解集；

（2）若/（x）的最大值為〃b正數(shù)a,h,c滿足a+2>+c=〃?，求證：?2+/>2+c2>3.

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2021年江西省高考文科數(shù)學(xué)模擬考試試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.（5分）已知集合4={川V2AW4},B={A^=M（x-I）},則4GB=（）

A.{.v|0<x<l}B.{x|lVxW2}C.{A|0<X<2}D.{A|0<X<2}

【解答】解：：集合A=31V2、W4}=30VxA2},

B={x\y=ln（x-1）}={x|x>1）,

：,AnB={x\\<x^2］.

故選：B.

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（-2-i）z=|3+4/|（，為虛數(shù)單位），則2=（）

A.-2+iB.2-zC.-2-iD.2+i

【解答】解：由（-2-i）z=|3+4/|=5,得z==（,言？八=-2+i,

Az=-2-i.

故選：C.

3.（5分）某社區(qū)組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的市民中抽出40人,將其成

績(jī)分成以下6組:第1組［40,50）,第2組［50,60）,第3組［60,70）,第4組［70,80）,

第5組［80,90）,第6組［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)采用分層抽樣

的方法，從第2,3,4組中按分層抽樣抽取8人，則第2,3,4組抽取的人數(shù)依次為（）

A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,6

【解答】解：采用分層抽樣的方法，從第2,3,4組中按分層抽樣抽取8人,

則第2抽取的人數(shù)為：8叼君耍用=2人,

U.AO?U?JLD?V.O

0.15

第3組抽取的人數(shù)為：8x=2人,

0.15+0.15+0.3

第4組抽取的人數(shù)為；=4人.

U?JLDIU?，。?U?

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故選：c.

4.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=〃/-/小(其中常數(shù)〃#0)的圖象在點(diǎn)(I,/(I))處的切線為/,

則/在)，軸上的截距為()

A.1B.2C.ae-\D.1-2ae

【解答】解：由/(x)-/心，得f'(x)=ae*-；，

:(1)=ae-1,又x=l時(shí)，/(1)=ae,

???/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為)，-(ae)=(ae-1)(x-1),

取x=0,得在y軸上截距y=(ae-I)(0-I)+ae=1.

故選：A.

5.(5分)《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深

刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方

法.我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻"一''當(dāng)作數(shù)字“1”,把陰爻“■■”當(dāng)作數(shù)字“0”,

則八卦所代表的數(shù)表示如卜.：

卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

坤0000

■■

■■

震■,()011

坎■■0102

兌三0113

依此類推，則六十四卦中的“井”圭卜，符號(hào)”表示的十進(jìn)制數(shù)是()

A.11B.18C.22D.26

【解答】解：六十四卦中符號(hào)“三”表示二進(jìn)制數(shù)的010110,

轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為0X20+lX2'+lX22+0X23+lX24+0X25=22.

故選：C.

6.(5分)設(shè)直線/為平面a外的一條直線，則LLa的充要條件是()

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與/垂直

B.a內(nèi)有兩條相交直線都與/垂直

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C.I,a垂直于同一條直線

D.I,a垂直于同一平面

【解答】解.：直線/為平面a外的一條直線，若a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與/垂直，則/〃a

或/與a相交，故A錯(cuò)誤；

a內(nèi)有兩條相交直線都與/垂直，貝U/J_a,反之成立，故4正確；

/,a垂直于同一條直線，貝U/〃a,故。錯(cuò)誤；

I,a垂直于同一個(gè)平面，則/〃a,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

7.(5分)已知a、6都是銳角，cos(a+p)=正，sin(a-p)=耳，則sina=()

A.----V130B.-----V130C.-V6SD.—V65

1301306565

【解答】解：a、0都是銳角，cos(a+p)=育sin(a-0)=可，

12

x

+p)--

z13

則cos2a=cos[(a+B)+(a-B)J=cos(a+B)cos(a-B)-sinsin(a+p)sin(a-p),

45

X312-16

5X=_-

135T365-

)16

〈cos2a=1-2sin-a=一次，

..81

..sin2a=

Vsina>0,

,.97130

??sm=F?F.

故選：A.

8.(5分)將函數(shù)/'(%)=si/(3%+看)的圖象向右平移〃i(/n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上

各點(diǎn)的橫坐標(biāo)仲長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若"8(/)為

奇函數(shù)，則/〃的最小值為()

7127171Tl

A.-B.—C.—D.—

991824

【解答】解：將函數(shù)/(%)=s出(3%+弱的圖象向右平移〃？(相>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得)，

=sin(3x-3/M+5)的圖象：

第8頁(yè)共18頁(yè)

再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)=sin(%

-3〃?+/)的圖象，

o

若g(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)/〃的最小時(shí)，-3/〃+卷=0,卷

故選：C.

9.(5分)已知函數(shù)/的定義域?yàn)镽,且滿足下列三個(gè)條件：

①對(duì)任意的工1，4日4,8],且加#及，都有"")一""2)>0；

X1-X2

(x+8)=/(x)；

@y=f(x+4)是偶函數(shù)；

若a=/(-7),c=/(2020),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【解答】解：由①對(duì)任意的甩，X244,8],且甩WX2,都有二巧)一”"2)X)可得/(X)

X1~X2

在[4,8]上單調(diào)遞增，

由②y(x+8)=/(x)可得函數(shù)的周期7=8,

由③y=/a+4)是偶函數(shù)可得/J)關(guān)于工=4對(duì)稱，

故。=/(-7)=/(1)=/(7),b=f(II)=/(3)=/(5),(?=/(2020)=/(4),

則/(7)>/(5)>/(4),BPa>b>c.

故選：D.

42y2

10.(5分)設(shè)為，尸2是雙曲線與-77=1(a>0,b>D)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右

azbz

支上存在一點(diǎn)P,使(后+。務(wù))?尸〉=()(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且|PF||二V5|P&|,見雙曲

線的離心率為()

^2+1

A.----B.e+1C.丁D.6+1

2

【解答】解：取尸產(chǎn)2的中點(diǎn)A，則辦+。否=2后

,?(OP+OF2)*F^P=0,：.20A*F^P=0

：.OA-LF^P

???。是尸1尸2的中點(diǎn)

：.OA//PF\,

第9頁(yè)共18頁(yè)

APF|±PF2，

V|PFI|=V3|PF2|,

：.2a=\PF\\-\PF2\=（A/3-1）-

V|PFI|2+|PF2|2=4C2,

???C=|PF2|，

,T=7h=6-

故選：D.

11.（5分）2012年莫言獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)，其所著作品變得緊銷，可謂“一書難求”，若某

圖書銷售網(wǎng)站將莫言的一套14本不同圖書中的9本價(jià)格上調(diào)20%,另外5本價(jià)格上調(diào)

36%,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.整套圖書價(jià)格上漲了28%

B.整套圖書價(jià)格上漲「36%

C.整套圖書的價(jià)格約上漲了25.7%

D.整套圖書價(jià)格上漲百分比不確定

【解答】解：設(shè)其中的9本圖書的平均價(jià)格為有，另外5本圖書的平均價(jià)格為石，

則上調(diào)后這14本圖書的價(jià)格共上漲了9X20%XX7+5X36%XX^,

但石與石的關(guān)系不確定，

故上漲的百分比為里罕*的值也不確定，

9三+5%2

故選：。.

12.（5分）已知點(diǎn)/為拋物線/=2〃），（p>0）的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角a為鈍角的直

線與拋物線交于4,8兩點(diǎn)，AOAB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為-8cos3a,線段48的垂

直平分線與），軸交于點(diǎn)M,則匹M=（）

A.4B.2C.y/2D.1

【解答】解：拋物線『=2〃.y（p>0）的焦點(diǎn)廠（0,今，

設(shè)直線"的方程為y=h+塔代入拋物線/=2〃.y,得？-2p6-p2=（）,

設(shè)A,8的橫坐標(biāo)分別為用，必則Xi+Q=2pk,x\X2=-p1,

所以△044的面積為5=-X2|=；?々?/。1+?。?-

=?’4p2k2+4P2=號(hào)"十H=^-Vl+La/i2a=

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Q?|1+sm|￡=^^=_8cos3a>

2Ncos，a2-cosa

則p=4cos%,又人8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（pk,p必十分,

所以48的中垂線方程為y-plc-=一/（x-pk）,

令x=0,則），=〃乒+§+〃，即M（0,〃F+§+〃），

所以|五M=pF+P=〃（1+F）=4cos2a*（l+tan2a）

=4（cos2a+sin2a）=4,

故選:A.

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

2x+y-2<0,

x-y—1>0,則z=x+ly的最大值為I.

!y+1>0,

2x+y-2<0,

x-y-l>0,,

（y+1>0,

不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

由《二匕；：%。，可得A（1，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+7y,可得產(chǎn)一%十%

當(dāng)直線y=-5+；z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上截距最大，

此時(shí)z取得最大值：1+7X0=1.

故答案為：1.

14.（5分）已知向量Z力滿足向=1,|b|=2,\a-b\=V3,則鼠匕=1

第11頁(yè)共18頁(yè)

【解答】解：向量工b滿足|a|=1,聞=2,\a-b\=V3,

可得小—2Q?b+廣=3,

所以：I-2：?b+4=3,

所以a-Z?=1.

故答案為：1.

15.（5分）設(shè)△ABC內(nèi)角A、8、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、仄c.已知（4a?c）cosB=AcsC,

則cosB=_3_.

【解答】解：由于（4a-c）cos^=/x:osC,

由正弦定理可得:sinBcosC=（4sinA-sinC）cos由

化簡(jiǎn)可得：sinBcosC+sinCcosfi=4sirL4cosB,

可得：sin（8+C）=sim4=4siiiAcosB,

因?yàn)椋篛VAVTBsinAWO,

所以：cos^=7.

故答案為："

4

16.（5分）已知矩形48CQ中，點(diǎn)AB=8,4D=6,沿對(duì)角線8。折疊成空間四邊形A8CD,

則空間四邊形A8CO的外接球的表面積為lOOn.

【解答】解：因?yàn)閷⒕匦沃?，沿?duì)角線3。折疊成空間四邊形4BC。后，始終滿

足：

ADLAB,CDLCB,且8。是公共斜邊，所以8。的中點(diǎn)。到A,B,C,/）的距離相等，

所以。就是外接球的球心，所以半徑R=嗎苗=5,

空間四邊形A8CD的外接球的表面積S=4nR2=4TiX25=100n.

故答案為：100m

第12頁(yè)共18頁(yè)

三.解答題（共5小題，滿分60分，每小題12分）

（分）已知數(shù)列｛如｝滿足。說(shuō)的+（〃€）

17.123?J=-m+1=21N+.

⑴求內(nèi),并證明數(shù)列C"｝為等差數(shù)列;

(2)設(shè)bn=計(jì)算/月+歷+…+加2的值;

（3）設(shè)Cn=（班,數(shù)列｛5｝前〃項(xiàng)和為S”證明：S；,<1.

【解答】解：(1)證明：

?_nn11_

??一2,L、|J——20,

an,an+lan+lan

，數(shù)列｛[｝是以工為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，且二-=—~+2(n-1).

a

n%anQ]

又，?&=i,

A—=—+2X2=5,解得m=l；

a3al

1

(2)解：由(1)知：一=1+2(n-1)=2n—1,

Qn

bn=------2r=2J』=y/2n+1—\]2n-1,

fT+巨42^1+42^+1

扃M+i

+/?2+,,,+/?!2=(V3—y/1)+(V5—V3)+…+(V25—V23)=V25—VT=4；

1

(3)證明：由(1)知：—=2八一1,

an

???0=&)/=(|)

???數(shù)列｛/｝首項(xiàng)為去公比為[的等比數(shù)列，

??S=生￥=如-中"14

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18.（12分）2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷

項(xiàng)目迅速炒“熱”.北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為「解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)

的興趣，隨機(jī)從該校?年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興

2

趣的占3而男生有io人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額.

（1）完成2X2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男55

女

合計(jì)

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率.

附表：

P（犬2如）0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

7

2_n（ad-be）

K-（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【解答】解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表

有興趣沒(méi)有興趣合計(jì)

男451055

女301545

合計(jì)7525100

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到N=1。斜晨/去黑30）=要?3.030

???3.030>2.7（）6所以有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.

（2）記5人中對(duì)冰球有興趣的3人為A、B、C,對(duì)冰球沒(méi)有興趣的2人為〃?、〃，則從

這5人中隨機(jī)抽取3人,共有（A?m,n）（B,m,n）（C,m,n）（A、B、m）（A、B、

〃）（3、C、〃?）（8、C、〃）（A、C>m）（4、C、〃）（A、B、C）10種情況，

其中3人都對(duì)冰球有興趣的情況有（A、B、C）1種，2人對(duì)冰球有興趣的情況有（A、B、

m）（A、B、〃）（B、C、in'）（B、C、〃）（A、C、/〃）（A、C、〃）6種，

第14頁(yè)共18頁(yè)

所以至少2人對(duì)冰球有興趣的情況有7種，

因此，所求事件的概率p=3

19.（12分）如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，平面PCO_L平面ABCD,

PD=CD=3,尸C=3&.

（1）求證：平面以。_1_平面A8CQ：

（2）設(shè)點(diǎn)上是用的中點(diǎn)，若BDLCD,BD=2,求三棱錐3-8￡的體枳.

【解答】（1）證明：在△尸。C中，???PD=CO=3,PC=3式,

:.PD1+DC2=PC1,則PO_LOC,

又平面夕（?。_1_平面48。。，且平面PCQC平面ABCQ=C。，PQu平面PQC,

平面人8c。，

又POu平面附。，，平面布平面4BCD；

（2）解：???PZ）=3,點(diǎn)E是%的中點(diǎn)，

???E至IJ平面ABCD的距離d=亍PD=亍

又BDiCD,BD=2,CO=3,

1133

VB-CDE=VE-BCD=2X2X^X2X2=2,

20.（12分）已知〃ER,函數(shù)/（x）=（?+av）/（.veR）.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求至數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（工）在（-1,I）上單調(diào)遞減，求〃的取俏范圍.

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【解答】解：(1)〃=0時(shí)，f(x)=/，，f(x)=xex(x+2),

令/(x)>0,解得：x>0或xV-2,令，(x)<0,解得：-2VxV0,

:寸(x)在(?8,-2)遞增，在(?2,0)遞減，在(0,+8)遞增；

(2)f(x)="+(。+2)

令g(x)=/+(〃+2)x+a,

若函數(shù)/(x)在(-I,I)上單調(diào)遞減，

則g(x)W0在(-1,1)恒成立，

g(-l)=l-(a+2)+a<0

g(l)=l+(a+2)+a<0

則

△=b2-4ac=(Q+2)2—4a>0,

Q+2

2

解得：-4<t?<—2?

故aE(-4,一引,

21.(12分)已知橢圓。的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,I),B(0,-I),焦距為2冉.

(I)求橢圓。的方程；

(II)已知直線)，=機(jī)與橢圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N,設(shè)。為直線AN上一點(diǎn)，且直

1

線8。，BM的斜率的積為一本證明：點(diǎn)。在x軸上.

【解答】解：(I)由題意可得〃=1,c=V5,???/=扇+召=4,

x2

所以橢圓的方程為：—+/=1：

4

(II)設(shè)M(xi,〃?)，N(HI，〃?)，xiWO,-I<nj<1?

m-(-l)m+1

所以直線8M的斜率為:

工1-0%!

因?yàn)橹本€BD,BM的斜率的積為-；，所以直線8。的斜率為:

4(m+l)'

直線AN的方程為：y=工井戈+1,直線BD的方程為：y=一石磊牙?’

人]■I/<IIJLJ

1-m尢