/搶分專練04導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（2024·浙江嘉興·二模）已知定義在上且無(wú)零點(diǎn)的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．2．（2024·河北·二模）某地計(jì)劃對(duì)如圖所示的半徑為的直角扇形區(qū)域按以下方案進(jìn)行擴(kuò)建改造，在扇形內(nèi)取一點(diǎn)使得，以為半徑作扇形，且滿足，其中，，則圖中陰影部分的面積取最小值時(shí)的大小為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．二、多選題7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上可能（

）A．單調(diào)遞增 B．有零點(diǎn) C．有最小值 D．有極大值10．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．三、填空題11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．12．（2024·河北邢臺(tái)·二模）如圖，四邊形和是兩個(gè)相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個(gè)相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為．13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)恒成立，則的最大值為.14．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D分別為球O的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為E，且，四棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為，此時(shí)．16．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為17．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則的大小關(guān)系為（用“<”號(hào)連接）．18．（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．四、解答題19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)，，C在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P．(1)求的值．(2)若點(diǎn)D是拋物線C上位于直線AB上方的點(diǎn)，點(diǎn)D處的切線與PA，PB分別交于點(diǎn)M，N，求證：．20．（2024·河北·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)；(2)若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，求的最大值．22．（2024·北京東城·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值；(3)若，求實(shí)數(shù)的值.23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）24．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(3)若在區(qū)間存在零點(diǎn)，求的取值范圍.25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間各內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．26．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一的極值點(diǎn)，證明：．27．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求a的值．28．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求證：在上有唯一的極大值點(diǎn)；(2)若恒成立，求a的值；(3)求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．30．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在距離為的兩條平行直線和，使得對(duì)任意的都有，則稱函數(shù)有一個(gè)寬度為的通道，與分別叫做函數(shù)的通道下界與通道上界．(1)若，請(qǐng)寫出滿足題意的一組通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方程；(2)若，證明：存在寬度為2的通道；(3)探究是否存在寬度為的通道？并說(shuō)明理由．

搶分專練04導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（2024·浙江嘉興·二模）已知定義在上且無(wú)零點(diǎn)的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由變形得，從而有，，所以，因?yàn)?，所以，則，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，又，而，所以，綜上，.故選：D.2．（2024·河北·二模）某地計(jì)劃對(duì)如圖所示的半徑為的直角扇形區(qū)域按以下方案進(jìn)行擴(kuò)建改造，在扇形內(nèi)取一點(diǎn)使得，以為半徑作扇形，且滿足，其中，，則圖中陰影部分的面積取最小值時(shí)的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，則圖中陰影部分的面積，因?yàn)?，，所以，所以，令，則，由，得，因?yàn)椋?，令，得，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最小，即圖中陰影部分的面積取最小值.故選：A.3．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，即，A錯(cuò)誤，B正確，，即，即，CD錯(cuò)誤.故選：B.4．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故選：C5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】方法一：，顯然在上單調(diào)遞增，故存在唯一的，使得，即，且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，因此的最小值為，則，即.對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，則，代入得.設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減且，可知不等式的解為，因此.又，則.方法二：即，即，而與互為反函數(shù)，根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，問題轉(zhuǎn)化為即可，即恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，故，即得.方法三：，構(gòu)造，則轉(zhuǎn)化為.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以有極小值，且，則轉(zhuǎn)化為，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，故，即得.故選：C6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，，，由，令得，令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以；因?yàn)椋?，所以；令，且，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，所?故選：B二、多選題7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形【答案】BD【詳解】A：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；D：，而，則，所以點(diǎn)為的對(duì)稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故D正確.故選：BD．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，所以，即，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以選項(xiàng)B正確．又因?yàn)椋?，即函?shù)的周期為4，所以．因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C正確．由為奇函數(shù)可知，即的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，不妨取，則滿足周期為4，關(guān)于成中心對(duì)稱的條件，因?yàn)?，可知選項(xiàng)A，D錯(cuò)誤．故選：BC．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上可能（

）A．單調(diào)遞增 B．有零點(diǎn) C．有最小值 D．有極大值【答案】AD【詳解】因?yàn)?，，所以，且，由圖象可知，函數(shù)在上不可能有零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)取不到最低點(diǎn)，故無(wú)最小值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上先遞增后遞減，有極大值，故D正確，故選：AD．10．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．【答案】BC【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則由，可得，又，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，所以，即，即函數(shù)的周期為4，由，可得，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，則，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，所以，因?yàn)榈闹芷跒?，所以的周期也為4.由，可得，所以，故C正確；由，可得，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)的最小正周期為T，則由圖象知，所以，則，由在處取得最小值，可得，，得，．因?yàn)椋?，所以；（或由題意可得，，亦可得），由，得，所以由題意得，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故答案為：.12．（2024·河北邢臺(tái)·二模）如圖，四邊形和是兩個(gè)相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個(gè)相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為．【答案】【詳解】由題意設(shè)，因?yàn)槊娣e為，所以，根據(jù)題意有：，所以，則長(zhǎng)方體的體積為，，令，有，所以時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)恒成立，則的最大值為.【答案】7【詳解】當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以為正奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，只需研究時(shí)，恒成立即可，當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)小于0，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)闉檎鏀?shù)，所以的最大值為7.故答案為：714．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩解，即在上有兩解，令且，可得，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，不符合題意，（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，要使得在上有兩解，則滿足，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，即，設(shè)，其中，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，所以不等式，可得，由可得，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D分別為球O的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為E，且，四棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為，此時(shí)．【答案】1【詳解】因?yàn)?，則平面過球O的球心O．又的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E是以為直徑的球截面的小圓圓心，連接，如圖，則，四邊形為梯形．令球O的半徑為R，設(shè)，則，

四棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)梯形的面積最大，并且點(diǎn)D到平面的距離最大，顯然球面上的點(diǎn)D到平面的最大距離為R．梯形面積，令，，求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，于是四棱錐體積的最大值為，解得，所以球O的表面積為．故答案為：.16．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為【答案】【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，故切線方程為，即.故答案為：.17．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則的大小關(guān)系為（用“<”號(hào)連接）．【答案】【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，即，令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即，所以的大小關(guān)系為.故答案為：18．（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．【答案】【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值.故答案為：.四、解答題19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)，，C在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P．(1)求的值．(2)若點(diǎn)D是拋物線C上位于直線AB上方的點(diǎn)，點(diǎn)D處的切線與PA，PB分別交于點(diǎn)M，N，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意，得，解得．所以C的方程為．由于直線AB的斜率必存在，故可設(shè)直線AB的方程為．將其代入中，得，此時(shí)恒成立，所以．（2）由，得，則，所以拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為，即①同理，得拋物線C在點(diǎn)B處的切線方程為．②聯(lián)立①②，得，則，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．設(shè)，則直線MN的方程為．由得，，即．所以．由得，，即．所以．所以．20．（2024·河北·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)；(2)若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，所以切線的斜率.所以切線的方程為，即.令，得，令，得，所以切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為.（2）設(shè)，則，由題意知在的圖象上，所以，所以.由，得，即，因?yàn)榇嬖?，使成立，所以存在，使成立，設(shè)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得，又，所以，由整理得，即，解得，又，所以，即；（2）由余弦定理，得①，由得，即，解得．下面用三種方法求的取值范圍．思路1：用余弦定理切入．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，將①代入得，同理，由，得，故．思路2：用正弦定理切入．因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得，由正弦定理得．思路3：用極限方法求解．因?yàn)闉殇J角三角形，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故．接下來(lái)?yè)Q元構(gòu)造函數(shù)求最值．設(shè)，則．設(shè)，則，由得，又，所以，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故．所以．方法二：思路1，齊次化不等式處理由得，兩邊平方得，令，則，則，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．思路2：正弦定理函數(shù)處理由，得，兩邊平方得．又因?yàn)椋瑒t，代入得．又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，當(dāng)即時(shí)，的最大值為，所以．方法三：設(shè)的中點(diǎn)為外接圓的圓心為O，則，所以，，所以，，所以，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為銳角三角形．22．（2024·北京東城·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值；(3)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），則，所以曲線在處的切線方程為，即；（2），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，即，即，由（2）得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，此時(shí)不恒成立，故不符題意；當(dāng)時(shí)，若，則，則，即，即，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得①，若，則，即，即，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得②，由①②可得，綜上所述，.23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，，令，則，解得，令，則，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則.令，其中，則.令，解得，令，解得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.又，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是.24．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(3)若在區(qū)間存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，由于，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，故；（2）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，令，，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，即，故，所以，則在恒成立，當(dāng)時(shí)，同理可得，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，所以的最大值為；（3），令，當(dāng)時(shí)，，由于恒成立，故無(wú)解，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，，，下面證明,，令，，則，，其中，令，，則，，其中，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故，即,，則，，則，，由于，而，故，則，故在上單調(diào)遞增，又趨向于0時(shí)，趨向于2，故，故令，解得，此時(shí)有解，故存在零點(diǎn)，故的取值范圍是.25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間各內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以．（2）令，有，在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，也即在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則，（i）當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值1，所以，當(dāng)時(shí)，，于是在上遞增，則與在上有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去．（ii）當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，即，使，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，，故，使，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，使，綜上，．所以的取值范圍為．26．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一的極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意可知，若存在唯一的極值點(diǎn)，由（1）可知且．因?yàn)?，要證，只需證①．因?yàn)?，所以．將代入①整理可得，只需證．令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即原不等式成立．27．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求a的值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，故，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）方法一：因?yàn)?，所以，顯然單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值，則在上存在零點(diǎn)，即存在唯一的，使得，即．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，因此的最小值就是,令，則易知在上單調(diào)遞減，且，所以由的最小值為，求得，代入得，結(jié)合，解得，此時(shí)．方法二：因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為1，所以，即，解得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，將代換成，得，則當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；綜上，.28．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜