重難點(diǎn)13幾何最值問(wèn)題2種題型

（將軍飲馬與螞蟻爬行，16種模型）

目錄

重難點(diǎn)即型突破、

題型01將軍飲馬

題型02螞蟻爬行

重難點(diǎn)題型突破

兩點(diǎn)位于線段兩側(cè)

兩點(diǎn)位于線段同側(cè)

?（兩點(diǎn)之間線段最短）

一點(diǎn)位于兩線段的內(nèi)側(cè)

一線段位于兩線段的內(nèi)側(cè)t模型一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

［模型二專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

一點(diǎn)位于兩線段的外側(cè)

-（垂線段最短.）【模型三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

幾一點(diǎn)位于兩線段的內(nèi)側(cè)［模型四專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

【模型五與模型六專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

何兩點(diǎn)在同側(cè)，求IPA-PBI的最大值

在二角形中兩邊【模型七與模型八專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

最兩點(diǎn)在異側(cè)，求|PA-PB|的最大值之差小于第三邊【模型九專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

值【模型十與模型十一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

在直線L上求一點(diǎn)P,線段垂直平分線上的點(diǎn)

2求|PA-PB|的最小值到線段兩端距離相等

種

1廠平行四邊形的性質(zhì)+兩

類(lèi)將軍過(guò)橋（2種）JI點(diǎn)之而藪葭最短

型

16螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面爬行

種

【模型一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

模螞蟻沿著圓柱表面爬行

【模型二專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

型螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題【模型三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

【模型四專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

螞蟻爬樓梯問(wèn)題

［模型五專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

螞蟻爬圓錐問(wèn)題

題型01將軍飲馬

模型的概述：唐朝詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含

著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng).

問(wèn)如何行走才能使總的路程最短.

模型一-模型四的理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.

模型一（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿

營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

BB

方法：如右圖，連接AB,與線段L交于點(diǎn)此在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng).

【將軍飲馬之模型一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2021?海南?？?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，AB=AC,分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧分別交于E,F,作直線ER。為8C的中點(diǎn)，M為直線所上任意一點(diǎn).若BC=4,△ABC面積

為10,則長(zhǎng)度的最小值為（）

C.4D.5

2.（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形4BCD的面積為12,△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正

方形4BCD內(nèi)，在對(duì)角線4C上有一點(diǎn)尸，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）

A.4V3B.2V3C.V6D.V3

3.（2020?山東泰安?中考真題）如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為4（2,0）,8（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),BC=1,

點(diǎn)M為線段4C的中點(diǎn)，連接。M,貝UOM的最大值為（）

A.V2+1B.V2H-iC.2V2+1D.2V2-

4.（2022?安徽蚌埠?統(tǒng)考一模）如圖，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=6,尸是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，滿足NP4B=NPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

C.2V13-6D.2V13-4

5.（2020?廣東深圳.南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)?？家荒＃┤鐖D,4C,BD在4B的同側(cè),AC=2,BD=8,AB=8,

點(diǎn)M為4B的中點(diǎn)，若NCMD=120。，貝UCD的最大值是

模型二（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，需先走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B

點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B，，連接AB，,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為

線段AB，的長(zhǎng).

【將軍飲馬之模型二專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2022?湖南湘潭?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖,菱形草地力BCD中,沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路G4c<BD）,

M、N分別是草地邊BC、CD的中點(diǎn)，在線段8。上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)P,若要使PM+PN的距離最短，則最

短距離是一米.

2（2021下?河南省直轄縣級(jí)單位.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,2）,C（4,4）是第

一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,且區(qū)4=磁，在y軸上取一點(diǎn)連接AB,BC,AD,CD,

使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則這個(gè)周長(zhǎng)的最小值為

3.（2022下?廣東湛江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在。C上，且。M=l,N是

AC上一動(dòng)點(diǎn)，則。N+MV的最小值為（）

A.4B.4V2C.2V5D.5

4.（2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊A/IBC中，4B=10,點(diǎn)E為高力。上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作

等邊4BEF,連接DF,CF,則NBCF=,FB+FD的最小值為.

5.（2022上?福建莆田?八年級(jí)莆田二中校考期末）如圖，在RtAABC中，41cB=90。，AC=BC,點(diǎn)C在直

線MNEKBCN=30°,點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,8P.當(dāng)4P+8P的值最小時(shí),NC8P的度數(shù)為度.

6.（2020.全國(guó).九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與久軸交于2（1,0）、8（4,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,

點(diǎn)D為。C的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為x軸正半軸和拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、EF、CF,求四邊形CDEF周

長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

7.（2015?貴州貴陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊，使點(diǎn)

C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE,此時(shí)PD=3.

(2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,且不與點(diǎn)A,B重合.當(dāng)AF等于多少時(shí)，AMEF的周長(zhǎng)最小？

(3)若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,B重合，GQ=2.當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，

求最小周長(zhǎng)值.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

8.(2022?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考一模)問(wèn)題提出：在一平直河岸/同側(cè)有A,8兩個(gè)村莊，A,2到/的距離分別是4km

和3km,AB=akm(a>l),現(xiàn)計(jì)劃在河岸/上建一抽水站P,用輸水管向兩個(gè)村莊供水.如何鋪設(shè)使得管

道長(zhǎng)度較短？

方案設(shè)計(jì):某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案:圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為刈，

且曲=PB+BA(km)(其中BP12于點(diǎn)尸)；圖2是方案二的示意咨圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d2,且d2=

P4+PB(km)(其中點(diǎn)4與點(diǎn)A關(guān)于/對(duì)稱，4B與/交于點(diǎn)P).

B

P

圖1

(1)在方案一中，￡=km(用含。的式子表示)；

(2)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算心的長(zhǎng)，作了如圖3所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，

d2=km(用含a的式子表示).

(3)①當(dāng)a=4時(shí)，比較大小：d1d2(填或“<”)；

②當(dāng)a=7時(shí)，比較大?。簝?cè)d2(填“>”、"=”或“<”)；

(4)請(qǐng)你參考方框中的方法指導(dǎo)，就。(當(dāng)a>1時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短,

應(yīng)選擇方案還是方案二？

方法指導(dǎo)

當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)m與n的大小時(shí)，可以對(duì)它們的平方進(jìn)行比較：

m2—n2=(m+n)(m—n),m+n>0,

?*.(m2-吟與(m-ri)的符號(hào)相同.

當(dāng)Hi?一九？>。時(shí)，m—n>0,即m>n；

當(dāng)血2—幾2=。時(shí)，m—n=0,即m=幾；

當(dāng)時(shí)，m—n<0,即ni<n；

模型三：如圖，將軍同部隊(duì)行駛至P處，準(zhǔn)備在此駐扎，但有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB、BC的交匯處，為

防止敵軍在對(duì)岸埋伏需派偵察兵到河邊觀察，再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問(wèn)偵察兵在AB、BC何處偵查

M、N,最短距離為線段P'P”的長(zhǎng).

【將軍飲馬之模型三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.(2020?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四邊形4BCD中，zB=ZD=90°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),

連接力E,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,^BAD=120°,^EAF=60°.求證：EF=BE+DF；

圖③

(2)如圖②,Z.BAD=120°,當(dāng)A2EF周長(zhǎng)最小時(shí)，求乙4EF+N4FE的度數(shù);

(3)如圖③，若四邊形4BCD為正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD±,且NE4F=45°,若BE=3,DF=2,

請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度.

2.(2019下?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末)(1)【問(wèn)題解決】已知點(diǎn)P在乙4。8內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于。4、0B的

對(duì)稱點(diǎn)B、P2.

①如圖1,若4A0B=25。，請(qǐng)直接寫(xiě)出“1。22=；

②如圖2,連接PF?分別交。4、。8于C、D,若NCPD=98。，求N40B的度數(shù)；

③在②的條件下，若4CPD=戊度（90<a<180）,請(qǐng)直接寫(xiě)出42。8=度（用含a的代數(shù)式表示）.

（2）【拓展延伸】利用“有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形”這個(gè)結(jié)論，解答問(wèn)題：如圖3,在ZL4BC

中，/.BAC=30。，點(diǎn)P是ZL4BC內(nèi)部一定點(diǎn)，AP=8,點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出使4PEF

周長(zhǎng)最小的點(diǎn)E、F的位置（不寫(xiě)畫(huà)法），并直接寫(xiě)出4PEF周長(zhǎng)的最小值.

3.（2021上?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=5Q°,ZB=ZD=90°,在

BC、a）上分別取一點(diǎn)M、N,使AAMN的周長(zhǎng)最小，則/〃AN=°.

模型四如圖，深夜為防止敵軍在對(duì)岸埋伏，將軍又派一隊(duì)偵察兵到河邊觀察，并叮囑觀察之后先去存糧位

置點(diǎn)Q處查看再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問(wèn)偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離.

數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點(diǎn)M、N,使得四邊形PQNM周長(zhǎng)最小.

方法：如右圖，分別作點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于直線AB、BC的對(duì)稱點(diǎn)F、Q\連接FQ，，與兩直線的交點(diǎn)即為所

求點(diǎn)M、N,最短距離為線段(PQ+P'Q')的長(zhǎng).

【將軍飲馬之模型四專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，點(diǎn)A(a,3)、B(6,1)都在雙曲線上，點(diǎn)C、。分別是x,y

軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形ABC。的周長(zhǎng)最小值為

2.(2023下?陜西西安?七年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí))如圖，正方形中，點(diǎn)G是BC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、

F、“分別是邊血孫⑶上的動(dòng)點(diǎn)，若％=部=1,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小時(shí)G昨一.

3.(2023上?黑龍江大慶?九年級(jí)?？计谥?如圖，以矩形O4BC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，。4所在的直線為x軸，。。所

在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知。4=3,OC=2,點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，在。4上取一點(diǎn)D,WABDA

沿BD翻折，使點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)F處.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

(2)連接EF交BD于點(diǎn)G,求ABGE的面積.

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?，求出周長(zhǎng)的最小值和直

線MN的函數(shù)解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4(2019?天津西青?校聯(lián)考一模)如圖①，將一個(gè)矩形紙片04BC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)是(3,0),

點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,0),點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，在。4上取一點(diǎn)。，將ABDA沿BD翻折，使點(diǎn)4落

在BC邊上的點(diǎn)尸處.

（2）如圖②，若點(diǎn)P是線段D4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D,4重合），過(guò)點(diǎn)P作PH1DB于點(diǎn)H,設(shè)0P的長(zhǎng)

為x,的面積為S,請(qǐng)求出S關(guān)于x的關(guān)系式；

（3）如圖③，在久軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出四邊

形MNFE周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

模型五、模型六的理論依據(jù)：垂線段最短.

模型五：已知點(diǎn)P在直線AB、BC的外側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點(diǎn)M、N,求PM+PN的最小值

N,最短距離為線段PN的長(zhǎng).

方法：如右圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P1過(guò)點(diǎn)P，作PNLBC,垂足為點(diǎn)N,P'N與AB相交于點(diǎn)

M,與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N,最短距離為線段P'N的長(zhǎng).

【將軍飲馬之模型五與模型六專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2015?山東泰安?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAABC中，NACB=90，AC=6,BC=8,4。平分/CAB交3c于D

點(diǎn)，E、尸分別是A。、AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝UCE+EF的最小值為

A

E

CD

18.（2022?湖南婁底?統(tǒng)考一模）已知在出△ABC中，zC=90°,zXBC=75°,AB=5.點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊力B上的動(dòng)點(diǎn)，則線段FE+EB的最小值是.

2.（2020?新疆烏魯木齊??？家荒＃┤鐖D，在矩形4BCO中，BC=10,^ABD=30°,若點(diǎn)M、N分別是線

段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝U4M+MN的最小值為.

3.（2023.廣東東莞.東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線y=1x+4交兩坐標(biāo)軸于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)

P為直線4B上一點(diǎn)，則線段OP的最小值是.

4.（2023?新疆烏魯木齊?烏魯木齊八一中學(xué)?？家荒＃┝庑?BCD的邊長(zhǎng)為2,N71BC=45。，點(diǎn)P、Q分別是

BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為.

5.（2022下?四川德陽(yáng)?八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是菱形A8CD的邊BC的

中點(diǎn)，P為對(duì)角線8。上的動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,ZA=120°,則PM+PC的最小值為（）

D

BMC

A.2B.V3C.V2D.1

6.（2021上.河南南陽(yáng)?八年級(jí)南陽(yáng)市第十三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在AABC中，AB=AC,直線

EF是的垂直平分線，。是8C的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△力BC的面積為12,BC=4,則ABDM周

長(zhǎng)的最小值是

模型七、模型八的理論依據(jù)：在三角形中兩邊之差小于第三邊.

模型七（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求IPA-PBI的最大值

方法：如右圖，延長(zhǎng)射線AB,與直線L交于點(diǎn)P,IPA-PBI最大值為AB

模型八（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求IPA-PBI的最大值.

A

L

B

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B，，延長(zhǎng)射線AB，，與直線L交于點(diǎn)P,IPA-PBI最大值為AB，

【將軍飲馬之模型七與模型八專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2020上.貴州黔東南.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF是BC的垂

直平分線.點(diǎn)P是EF上的動(dòng)點(diǎn)，則IPA-PBI的最大值為

29.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ZBCD中，N4BC=120。，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,BD=8,

點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，點(diǎn)F為A8上一點(diǎn)，5.AF=3BF,點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF,則|PF—PE|的最大

值為.

2.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，直線為=/?+2與反比例函數(shù)%=5的圖象交于點(diǎn)2（犯3）,與坐標(biāo)軸

分別交于3，C兩點(diǎn).

（1）若乃〉%>0，求自變量尤的取值范圍；

（2）動(dòng)點(diǎn)P（71,O）在無(wú)軸上運(yùn)動(dòng).當(dāng)〃為何值時(shí)，|P4-PCI的值最大？并求最大值.

3.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)丫=&/一25+。的圖象與乂軸交于4、B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸

相交于點(diǎn)C（0,—3）.

y

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PB-PC|有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.(2020?廣東東莞?東莞市長(zhǎng)安培英初級(jí)中學(xué)?？级?如圖，點(diǎn)A(―2,n),B(1,-2)是一次函數(shù)y

=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y="的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

JX

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出，當(dāng)kx+b<2時(shí)，x的取值范圍；

X

(3)若C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)1=?8—CA,求t的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).

5.(2016?廣東揭陽(yáng)?統(tǒng)考二模)如圖，拋物線丫=產(chǎn)+6久過(guò)點(diǎn)4(3,0),B(i,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是該拋

物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向力點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)4重合)，過(guò)點(diǎn)P作PD||y軸交直線4C于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|M2-MC|最大?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

6.(2021上?四川自貢.八年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)

頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,3),8(3,1),C(—2,—2).

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△4BC關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形仆DEF(4B,C的對(duì)稱點(diǎn)分別是D,E,F),并直接寫(xiě)出D,E,F的坐

標(biāo)；

(2)求AaBC的面積.

(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使IPA-PBI最大.(在圖中標(biāo)出點(diǎn)P,保留作圖痕跡).

模型九在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最小值.

d4

**:

:

:

.........

方法：如右圖，作線段AB的垂直平分線與直線L相交于點(diǎn)P,|PA-PB|最小值為0.

模型九的理論依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等.

【將軍飲馬之模型九專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，DC=5BD=5,且△ADC的面積

為10,則△ABC的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.10B.12C.14D.16

2.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形力BC的底邊BC長(zhǎng)為6,腰力C的垂直平分線EF分別交

邊4C、48于點(diǎn)E,F,若。為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長(zhǎng)的最小值為13,則

等腰三角形ABC的面積為（）

A.78B.39C.42D.30

3.（2022?安徽六安?校考模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)探究小組探究一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，如圖，在AABC中，尸為邊47上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊4B上，已知竽==,ZC=90°,乙4=30°,

BD5

請(qǐng)完成下列探究:

⑴當(dāng)PD=4D時(shí)，塞的值為;

（2）連接PB,若4B=12,則APB。周長(zhǎng)的最小值為.

4.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，在A48C中，Z.BAC=60°,BC邊上的高4。為4,則A4BC周長(zhǎng)的最

小值為?

模型十：如圖，一條寬度相同的河流兩側(cè)有A、B兩個(gè)營(yíng)地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋

梁MN,使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務(wù)呢?

方法：如右圖，將點(diǎn)A向下平移MN的單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A"連接A，B,交n于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作MNLm,

垂足為點(diǎn)M,點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為AB+MN

模型H^一：線段MN在直線L上可移動(dòng)，且MN=a,當(dāng)MN移動(dòng)到什么位置時(shí)，求AM+MN+NB最小值.

方法：如右圖，將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)A工作B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B，，連接交直線L

于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)M,點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，：最短距離為A，B，+MN

模型十、十一的理論依據(jù)：平行四邊形的性質(zhì)+兩點(diǎn)之間線段最短.

【將軍飲馬之模型十與模型十一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）如圖，在固4BCD中，AB=4,AD=9,4/、N分別是AD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn),

且乙4BC=乙MNB=60°,貝IBM+MN+ND的最小值是______.

AMD

2.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，EL4BCD中，AB=3,AD=2,4DAB=60°,DF1AB,BE1CD；

垂足分別為點(diǎn)歹和E.點(diǎn)G和H分別是。尸和BE上的動(dòng)點(diǎn)，GH||AB,那么4G+GH+的最小值為.

3(2022上.廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=4,8c=8,點(diǎn)尸、。為邊上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)(點(diǎn)尸位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、。均不與頂點(diǎn)重合)，尸。=2

(1)如圖①，若點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，當(dāng)。移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP=QE-,

(2)如圖②，若點(diǎn)E為CO邊上的中點(diǎn)，在P。的移動(dòng)過(guò)程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng);

(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(V、N均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)BP=3,且四邊形

PQW的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQVM的面積.

4.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0AC8的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、8分別

在x軸、y軸的正半軸上，A(3,0),B(0,4),。為邊的中點(diǎn).

⑴若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求4CDE的周長(zhǎng)最小值；

(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且￡尸=1,當(dāng)四邊形CDEE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、E的坐標(biāo).

5(2023?陜西西安?西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在回ABCD中，AB，AC,點(diǎn)石在邊4。上，連接8E.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,AC交BE于點(diǎn)G,GH1AE,若BE平分N48C,且2口4c=30。，CG=4,請(qǐng)求出四邊形EGCD的

面積；

(2)如圖2,點(diǎn)尸在對(duì)角線4c上，且2F=4B,連接BF,過(guò)點(diǎn)尸作尸”1BE于點(diǎn)〃，連接力“，求證:+7^4”=

BH；

(3)如圖3,線段PQ在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在8C上，連接CQ,PR.若BE平分乙4BC,ADAC=30°,AB=V3,

4C=BE=2PQ=3,BC=4BR.求線段CQ+PQ+PR的和的最小值.

題型02螞蟻爬行

螞蟻爬行模型的概述：螞蟻在某幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)，爬行到另外一個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)去吃食物，求所走的最短

路徑是多少。

螞蟻爬行模型的實(shí)質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。

模型一：螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面爬行，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離:

解題方法：在長(zhǎng)方體問(wèn)題中，我們需要將長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短畫(huà)圖求解。如果長(zhǎng)方體

的長(zhǎng)、寬、高各不相同，一般分三種情況討論。

分類(lèi)討論示意圖展開(kāi)圖最短距離小結(jié)

__________B____________B

AB=Ja2+(b+c)2=

前+上

Va2+ft2+c2+2bc

Aa

B

/AB=Jb2+(a+c)2=

最小值取決于

a

左+上

ab,be,ac

/

cVa2+&2+c2+Zac

Ab的大小

AB=Jc2+(a+b)2=

B

1c

刖+右

4ab

Va2+&2+c2+2ab

【螞蟻爬行之模型一專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇常州??？家荒＃┤鐖D，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒，若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面,

從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（）

A.V3B.2C.V5D.3

2.（2020?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)EF為3cm,寬4E為2cm,高CE為4cm,B是G尸的中點(diǎn),

一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)。爬到點(diǎn)8,那么它需要爬行的最短距離是（）

A.5cmB.V29cmC.（2V2+3）cmD.（2+V13）cm

3.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾.統(tǒng)考二模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2,B為一條棱的中點(diǎn).已知螞蟻沿正方體的

表面從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)，則它運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，CD的長(zhǎng)是（）

111

A.1B.-C.-D.-

234

4.（2014?全國(guó)?九年級(jí)統(tǒng)考專(zhuān)題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,

一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,需要爬行的最短距離是（）

15

A.5何B.25C.10V5+5D.35

5.（2019?山東?山東省青島第二十六中學(xué)?？贾锌寄M）棱長(zhǎng)分別為4cm,3cm兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)尸

在E」Fi上,且?「三目死,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P,需要爬行的最短距離是.

Ci

京Fi

/DF

—BE

6.（2021?山東棗莊?校考一模）如圖，一個(gè)無(wú)蓋的正方體，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到盒頂?shù)?/p>

點(diǎn)B,經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，它的最短路徑是20cm,則這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為—cm.

7.（2012?湖南衡陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和3cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)

開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為—cm.

8.（2024上?山西晉城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校門(mén)口有一個(gè)底面為等邊三角形的三棱柱（如圖），學(xué)校計(jì)劃在

三棱柱的側(cè)面上，從頂點(diǎn)A繞三棱柱側(cè)面一周到頂點(diǎn)4安裝燈帶，己知此三棱柱的高為5m,底面邊長(zhǎng)為1m,

則燈帶的長(zhǎng)度至少為m.

A'

9.（2023上?貴州貴陽(yáng)?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其中長(zhǎng)2B=80cm,寬BH=

60cm,高力D=60cm,水深力E=30cm,在魚(yú)缸內(nèi)水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚(yú)餌，G在水面線上，且FG=

40cm.一只小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的4點(diǎn)沿魚(yú)缸壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)壁G處吃魚(yú)餌，小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)為cm.

10.（2019?浙江臺(tái)州??？级＃┤鐖D1是長(zhǎng)方體模型，棱長(zhǎng)如圖所示，圖2是它的一種表面展開(kāi)圖.

圖3

（1）①在圖2中，表示出C'可能的位置；

②在圖3中畫(huà)出長(zhǎng)方體的一種展開(kāi)圖（不同于圖2）；

（2）圖1中，一只在頂點(diǎn)A的螞蟻，要吃到C'處的甜食，求它沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短距離；

（3）在滿足AB+BC+BB=9的條件下，當(dāng)AB為何值時(shí)，螞蟻從A沿長(zhǎng)方體表面爬行到C'距離最短,

并寫(xiě)出其中的一種方案.

模型二：螞蟻沿著圓柱表面爬行，求最短距離：

解題方法：在圓柱體中爬行，要分兩種情況，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，可能爬行了長(zhǎng)方形的一

半，也有可能爬行了整個(gè)長(zhǎng)方形

分類(lèi)討論示意圖展開(kāi)圖最短距離

RI(B2

m

爬行半圈最短距離=[(nr)2+h2

Al7tr[)A2

【螞蟻爬行之模型二專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

55.（2021?湖南株洲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=6,現(xiàn)在有一只螞蟻想要

從A處沿圓柱側(cè)面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）

A.3"+兀2B.6V1+7T2C.9D.6V2

56.（2021?山東.統(tǒng)考三模）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的4點(diǎn)，沿圓柱側(cè)面爬到與2相對(duì)的上底面的B

點(diǎn)，圓柱底面直徑為4,母線為6,則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（）

A.V36+16TT2B.V36+4TT2

C.V36+7T2D.10

57.（2022上.九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm,AB是底面圓的直徑，在圓柱表面的高

上有一點(diǎn)D,且BC=10cm,DC=2cm.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)D的最短路程

是（）cm.

A.14B.12C.10D.8

模型三（螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題）：求螞蟻從點(diǎn)A沿著外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點(diǎn)B蜂蜜處的最短距離。

不意圖展開(kāi)圖作法最短距離

點(diǎn)A，為點(diǎn)A關(guān)于圓柱上沿的

對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)A，與點(diǎn)B的垂AB=J(Ilr)2+h2

直距離為h,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將

軍飲馬問(wèn)題求解

【螞蟻爬行之模型三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

58.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B