第八章實數(shù)（培優(yōu)卷）

考試時間：120分鐘，滿分：150分

一、選擇題：共10題，每題4分，共40分。

1.下列實數(shù)中的無理數(shù)為（）

5L

A.2B.—C.3.14D.

7

【答案】D

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵；

根據(jù)無理數(shù)的形式，開方開不盡的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)，含有兀的數(shù)，找出無理數(shù)的選項，即可求解；

【詳解】解：A、2是有理數(shù)

B、|■是分數(shù)，是有理數(shù)；

C、3.14是有限小數(shù)，是無理數(shù)；

D、豆是無理數(shù)；

故選：D

2.如圖所示的數(shù)軸上，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為近，點8到點A的距離為1個單位長度，則點8所表示的

數(shù)為（）

A

_______II??>

-10婢

A.73-1B.73+1C.豆_1或百+1D.1-G或1+6

【答案】C

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)到點A的距離為1的數(shù)分別位于A點的左側(cè)或右側(cè)，即可求解.

【詳解】到點A的距離為1的數(shù)分別位于A點的左側(cè)或右側(cè)，比A點表示的數(shù)大1或小1,

點所表示的數(shù)為四+1或如-1.

故選：C.

3.現(xiàn)在定義一種運算，其規(guī)則為一〃，根據(jù)此規(guī)則，如果x滿足2x*5=T,那么x的值為（）

A.y/6B.-y/6C.±^/6D.—1±>/6

【答案】C

【分析】本題考查了新定義下的運算，平方根的應用，理解新運算是關(guān)鍵；由規(guī)定的新運算得：4/-25=-1,

整理后用平方根的定義即可求解

【詳解】解：“田―

2X*5=（2X）2-52=-1,

即4尤2-25=—1

解得：x=+y[6,

故選：C.

4.如果（x-41+j3+y=0,那么2x-y的值為（）

A.-11B.11C.-1D.1

【答案】B

【分析】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)和求代數(shù)式的值，掌握當幾個非負數(shù)相加和為0時，則其中的每一項都

必須等于0是解題的關(guān)鍵；

本題根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得到3+y=0,x-4=0,求解得到尤、丁的值；再將它們的值代入2x-y中計算

即可.

【詳解】y滿足（x-4『+7^7=。，

3+y=0,x-4=0,

y=-3,x=4.

把y=-3,x=4代入2x-y=2?4（-3）=11.

故選:B.

5.小麗家有一塊140n?的正方形菜地，估計這塊菜地的邊長在（）

A.9m~10m之間B.llm~12m之間C.12m~13m之間D.13m~14m之間

【答案】B

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的估算，先求出這塊菜地的邊長為師11,再進行估算即可得解.

【詳解】解：,??小麗家有一塊140m2的正方形菜地，

這塊菜地的邊長為阿m,

V121<140<144<

/.7121<V140<y/144,BP11<7140<12,

,估計這塊菜地的邊長在llm~12m之間，

故選：B.

6.若2m-4和-3機為同一^正數(shù)的不同平方根，則根的值為（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】B

【分析】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵.正數(shù)有兩個不同的平方根，

它們是互為相反數(shù)，0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根.

【詳解】解：；2m-4和-3根為同一個正數(shù)的不同平方根，

2m—4—3m—0,

.

故選B.

7.下列說法正確的是（）

A.（-3『的平方根是±3B.J話的平方根是±4

C.T的平方根是2D.9的立方根是3

【答案】A

【分析】本題考查了立方根、平方根，乘方運算，算術(shù)平方根，根據(jù)相關(guān)運算法則進行逐項分析，即可作

答.

【詳解】解：A、（-3）2=9,9的平方根是±3,故該選項是符合題意的；

B、716=4,4的平方根是±2,故該選項是不符合題意的；

C、T沒有平方根，故該選項是不符合題意的；

D、9的立方根是出，故該選項是不符合題意的；

故選：A.

8.關(guān)于無理數(shù)，下列說法正確的有（）

①無理數(shù)都是無限小數(shù)；②無限小數(shù)都是無理數(shù)；③無理數(shù)也能用數(shù)軸上的點表示；④無理數(shù)與有理數(shù)的

和是無理數(shù)；⑤無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)；

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②⑤

【答案】B

【分析】本題主要考查了無理數(shù)，實數(shù)、數(shù)軸的應用，熟練掌握相關(guān)知識的定義是解題的關(guān)鍵.無限不循

環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，無理數(shù)是指無限不循環(huán)小

數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.

【詳解】解：①無理數(shù)都是無限小數(shù)，原說法正確；

②無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，原說法不正確；

③無理數(shù)也能用數(shù)軸上的點表示，原說法正確；

④無理數(shù)與有理數(shù)的和是無理數(shù)；原說法正確；

⑤無理數(shù)與無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)；原說法不正確；

,正確的有①③④，

故選：B.

9.若數(shù)字。有兩個平方根，貝I］。一定是（）

A.正數(shù)B.負數(shù)C.整數(shù)D.分數(shù)

【答案】A

【分析】本題主要考查了平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根定義.根據(jù)一個正數(shù)有2個平方根,

一個負數(shù)沒有平方根，。的平方根是0,進行解答即可.

【詳解】解：數(shù)字。有兩個平方根，貝心一定是正數(shù)，故A正確.

故選：A.

10.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第〃個圖中的4=168,則p的值為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索、運用平方根解方程等知識點，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的排列規(guī)律成為解題

的關(guān)鍵.

觀察可知第左個圖右上角的數(shù)為鼠左上角的數(shù)為左2,下方的數(shù)為伍+1）2-1,由此可得方程優(yōu)+1）2-1=168,

解方程求出上=12,則°=二，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：第1個圖左上方的數(shù)為1,下方的數(shù)為（1+1）2-1=3,

第2個圖左上方的數(shù)為4,下方的數(shù)為（2+1）、1=8,

第3個圖左上方的數(shù)為9,下方的數(shù)為（3+以_1=15,

第左個圖左上方的數(shù)為P=%2,下方的數(shù)為4=（左+1）2-1,

q=168,

；.（女+1）2—1=168,解得：左=12,

:.p=H=122=144.

故選A.

二、填空題：共4題，每題5分，共20分。

11.-新的相反數(shù)是—，絕對值等于0的數(shù)是—，|3-句=—

【答案】A/6±72萬一3/—3+萬

【分析】本題考查了實數(shù)、相反數(shù)和絕對值，根據(jù)相反數(shù)和絕對值的概念即可得出答案.

【詳解】解：-新的相反數(shù)是卡,絕對值等于&的數(shù)是±0,|3-萬|=i-3,

故答案為：網(wǎng),土應，.7-3.

12.若x是4的算術(shù)平方根，y是-8的立方根，則孫的值為.

【答案】-4

【分析】本題考查算術(shù)平方根與立方算，根據(jù)算術(shù)平方根的運算求得x=2；根據(jù)立方根運算求得＞=

進而得出結(jié)果.

【詳解】解：是4的算術(shù)平方根，

%=2,

是-8的立方根，

y=-2,

/.xy=2x(—2)=—4,

故答案為：-4.

13.如圖，這是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，當輸入的x值為25時，輸出的y值是

是有理數(shù)

【答案】6

【分析】本題考查了程序設計與實數(shù)運算，求一個數(shù)的算術(shù)平方根等知識點，當輸入的X值為25時，25的

算術(shù)平方根為5,且5為有理數(shù)；5的算術(shù)平方根為迷，且行為無理數(shù)；據(jù)此即可求解；

【詳解】解：當輸入的x值為25時，25的算術(shù)平方根為5,且5為有理數(shù)；

5的算術(shù)平方根為6,且百為無理數(shù)；

二輸出的y值是

故答案為：百

14.有一列數(shù)按一定規(guī)律排列：———，'-—，~~~，—'.…，則第〃個數(shù)是____.

24681012

【答案】(一1)"，巫亙

I72/7

【分析】本題考查規(guī)律探索問題，根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律可知第〃個數(shù)的符號為(-1)向，分母為2”,

分子為反萬，即可得出答案.

2

【詳解】解：第1個數(shù)：-=(-1)X^EEI:

22x1

第2個數(shù)：—旦(TP’J2x2T；

42x2

第3個數(shù)：^=(-1)4X^2X3~1；

62x3

第〃個數(shù)是(-1廣，，察；

故答案為：庠L

三'解答題：共9題，共90分，其中第15?18題每小題8分，第19~20題每小題10分，第

21~22題每小題12分，第23題14分。

15.將下列各實數(shù)按照分類將序號填入下面對應的橫線上：

①-回,②16,③4@3.14,⑤0,⑥手，⑦彳.

整數(shù)：—；

分數(shù)：—；

負數(shù)：—；

無理數(shù)：—.

【答案】②③⑤；④⑥；①③；①⑦

【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類，有理數(shù)的定義，無理數(shù)的定義等知識點，熟練掌握實數(shù)的分類方法

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)的定義進行分類即可.

【詳解】解：整數(shù)：②③⑤；

分數(shù)：④⑥；

負數(shù)：①③；

無理數(shù)：①⑦；

故答案為：②③⑤；④⑥；①③；①⑦.

16.計算：

(1)-14-|X[-2-(-1)2]+>/25

⑵(-24)x[*+：]

【答案】(1)5

⑵-1

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是：

(1)先計算乘方和開方，然后計算括號內(nèi)，再計算乘法，最后計算加減；

(2)根據(jù)乘法的分配律計算即可.

【詳解】(1)解：原式=-1-9(-2-1)+5.

=T_gx(-3)+5

=-1+1+5

=5；

(2)解：原式=(-24)xg_(_24)xg+(-24)x；

=-3+8-6

=—1

17.已知2a+l的算術(shù)平方根是5,10+3萬的平方根是±4,c是M的整數(shù)部分，求a-56+c的平方根.

【答案】±76

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根確定。=12,b=2,再由估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分確定c=4,將其代

入代數(shù)式，然后計算平方根即可.

【詳解】解：?.?2a+l的算術(shù)平方根是5,

/.2〃+1=25,

解得：々=12.

???10+36的平方根是±4,

.?.10+38=16,

解得：b=2.

??.C是M的整數(shù)部分，而4VM<5,

/.c=4,

a-5b+c

=12-5x2+4

=6,

,a+5b-c的平方根為土指.

【點睛】此題題目主要考查算術(shù)平方根及平方根，估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分，求代數(shù)式的平方根，熟練

掌握這些基本運算是解題關(guān)鍵.

18.將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用號把它們連接起來.

-5,-3，,卜2|,也.

-5-4-3-2-1012345

【答案】畫圖見解析，-3</豆<-；〈卜2|〈囪

【分析】本題考查的是實數(shù)的性質(zhì)，求解算術(shù)平方根與立方根，利用數(shù)軸表示實數(shù)，先化簡能夠化簡的各

數(shù)，再在數(shù)軸上表示即可.

【詳解】解：vO=-2，|-2|=2,79=3,

各數(shù)在數(shù)軸上表示如下：

-3汽I-2IV9

—I----1-----1:11I---1-----，▲I-----1-----1-----1---->

-5-4-3-2-101234567

/.-3<O<-1<|-2|<A/9.

19.已知正數(shù)。的兩個不同的平方根分別是2x-2和6-3x,a-4b的算術(shù)平方根是4.

⑴求a,。的值；

(2)求°一從-2的平方根.

【答案】(l)a=36,b=5

(2)+3

【分析】(1)一個數(shù)尤的平方等于a,則這個數(shù)x即為〃的平方根，其中正的平方根是這個數(shù)的算術(shù)平方根,

根據(jù)平方根性質(zhì)列得方程解得x值后即可求得。的值，再由算術(shù)平方根的定義求得b的值即可；

(2)將。，6的值代入a-〃-2中計算后求其平方根即可.

【詳解】(1)解：?正數(shù)。的兩個不同的平方根分別是2x-2和6-3彳，

2x—2+6—3x=0,

解得：x=4,

貝I」2%—2=8-2=6,

那么a=6?=36,

??力-劭的算術(shù)平方根是4,

:.a—4b=16,

解得：b=5；

(2)解：

=36-52-2

=36-25-2

=9,

那么其平方根為±3.

【點睛】本題考查平方根的定義及性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

20.解方程：

⑴丁-9=0;

(2)3(%+1)3=-24.

【答案】⑴片如

⑵x=-3

【分析】此題主要考查了平方根與立方根，掌握其定義是解題關(guān)鍵.

(1)先移項，然后利用平方根定義求解即可.

(2)先變形為(X+1)3=-8,然后利用立方根的定義求解即可.

【詳解】(1)解：/_9=0，

%2=9,

；?x=i3；

(2)解：3(%+I)3=-24,

(X+1)3=-8,

x+1=—2,

x=-3.

21.小明有一個大正方體鐵塊，其體積為125cm3.

(1)求這個大正方體鐵塊的棱長；

(2)小明要將這個大正方體鐵塊熔化，重新鍛造成兩個小正方體鐵塊，其中一個小正方體鐵塊的體積為98cm3,

求另一個小正方體鐵塊的棱長.

【答案】⑴5cm

(2)3cm

【分析】本題考查立方根的應用、正方體的體積，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正方體的體積公式和立方根的定義進行解答；

(2)根據(jù)題意先求得另一個小立方體鐵塊的體積，再根據(jù)立方根的定義進行計算即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，鐵塊的棱長為恒=5(cm),

答：這個鐵塊的棱長為5cm.

(2)解：根據(jù)題意，另一個小立方體鐵塊的體積為125-98=27(cn?),

???另一個小立方體鐵塊的棱長為西=3(cm).

答：另一個小立方體鐵塊的棱長為3cm.

22.如圖①所示是一個長為2m，寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②

的方式拼成一個正方形.

⑴按要求填空:

①你認為圖①中的陰影部分的正方形的邊長等于一

②請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：方法1：一方法2：

③觀察圖②，請寫出代數(shù)式(加+冷2,(7"-")2,加7這三個代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系：

(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①若(〃?+〃—6)~+「加1—4|=0,求值；

②若已知(2024-o)(a-2023)=-12,求(2024-a)-(a-2023)的值.

【答案】⑴①;②一Ai)。；(m+n)2-4mn；(3)(m-n)2={m+n)2-4mn

(2)?20；②±7

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵.

(1)①觀察可得陰影部分的正方形邊長是加一〃；

②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為加-〃的小正方形的面積；

方法2：邊長為根+〃的大正方形的面積減去4個長為機，寬為，的長方形面積；

③根據(jù)以上相同圖形的面積相等可得；

(2)①根據(jù)(加+〃—6)~+「加7—4|=0可得〃z+〃=6、mn=4,利用(1)中結(jié)論(“z-”)？=(m+九『-4^計算

可得；

②設x=2024-a,y=。-2023,由題意可得無+>=1,召=T2,根據(jù)(x-y)?=(%+y)2一4孫，求出(x-yp的

值即可.

【詳解】(1)解：①陰影部分的正方形邊長是

②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為〃L”的小正方形的面積，即(加-〃)2,

方法2：邊長為根+”的大正方形的面積減去4個長為加，寬為〃的長方形面積，即(根+九--4根九；

③(m—ri)2=(m+n)2—4mn.

(2)(1),.?(m+M—6)-+|/7777-4|=0,

.'.m+