2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)新定義》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷帶答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.（2022?湖南長(zhǎng)沙.中考真題）若關(guān)于尤的函數(shù)》當(dāng)l+g時(shí)，函數(shù)y的最大值為M,最小值為N,

M-N

令函數(shù)"=我們不妨把函數(shù)//稱(chēng)之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

⑴①若函數(shù)y=4044%,當(dāng)f=l時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)*的值；

②若函數(shù)y=履+匕（4#0,k,b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)的解析式；

2

（2）若函數(shù)y=—（x>l）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”〃的最大值；

x

⑶若函數(shù)y=-V+4x+k,是否存在實(shí)數(shù)匕使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)*的最小值.若

存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2024.湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè)）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)

關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)，則把該函數(shù)稱(chēng)之為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)叫做一對(duì)“T點(diǎn)”.根據(jù)該約

定，完成下列各題.

一4

/\/\--（無(wú)<°）,

（1）若點(diǎn)A。/）與點(diǎn)3（s,4）是關(guān)于x的“T函數(shù)"yP的圖象上的一對(duì)“T點(diǎn)”，則r=

tx2（xz0,rw0,r是常數(shù)）.

，s=,t=（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）；

（2）關(guān)于x的函數(shù)>=履+。（k,P是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對(duì)“T點(diǎn)”；如果不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若關(guān)于x的“T函數(shù)”>=。尤2+打+。（。>0且。bc是常數(shù)）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且與直線

l-.y=mx+nn>0且優(yōu)”是常數(shù)）交于”（菁,乂）N?,%）兩點(diǎn)當(dāng)4x?滿足

（1-玉尸+9=1時(shí)直線/是否總經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)否則請(qǐng)說(shuō)明理

由.

3.（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）為全面貫徹落實(shí)“雙減”政策減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)提高學(xué)生思維能力數(shù)學(xué)學(xué)科命名

一種“雙減點(diǎn)”定義如下：已知y是尤的函數(shù)若函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)尸（羽尤-2）則稱(chēng)點(diǎn)尸為函數(shù)圖象上

的“雙減點(diǎn)”.

⑴判斷直線y=2x-3上是否有“雙減點(diǎn)”？若有直接寫(xiě)出其坐標(biāo)若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

k

（2）若反比例函數(shù)y=—的圖象上存在兩個(gè)“雙減點(diǎn)”CD且8=4請(qǐng)求出上的值.

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⑶已知拋物線y=J尤2+(加一+1)尤+"+”4上存在唯一的“雙減點(diǎn)”且當(dāng)時(shí)〃的最小值為，

4

求“直.

4.(2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))中考在即三年磨礪鍛鋒芒一朝出鞘定乾坤.在平面直角坐標(biāo)系中我們

不妨約定將橫縱坐標(biāo)和為18的點(diǎn)稱(chēng)為“乾坤點(diǎn)”：例如(-1,19)(-2007,2025)…都是“乾坤點(diǎn)”若某函數(shù)

圖象上存在“乾坤點(diǎn)”則把該函數(shù)稱(chēng)為“乾坤函數(shù)”.根據(jù)該約定解答下列問(wèn)題：

(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中是“乾坤函數(shù)”的請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“十不是“乾坤函數(shù)”的打“x”.

7075

?y=-----()②y=6x+18()(§)y=x2-2x+2025()

x

⑵若函數(shù)了=幺以(2a+lw0,a為常數(shù))圖象上有且只有1個(gè)“乾坤點(diǎn)”試求。的值與相應(yīng)的“乾坤點(diǎn)”的

X

坐標(biāo)

(3)已知拋物線G:y=-―+px+p-18(?<0)關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)的拋物線為C2,c2是“乾坤函數(shù)”且有兩個(gè)“乾坤

點(diǎn)”這兩個(gè)嗡坤點(diǎn)”之間的線段長(zhǎng)為5挺.將拋物線G1繞點(diǎn)K(a0)旋轉(zhuǎn)180。得到新函數(shù)G且新函數(shù)g圖

象上也存在兩個(gè)不同的“乾坤點(diǎn)”請(qǐng)求出〃的取值范圍并用含〃的代數(shù)式表示上的兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”之間

線段的長(zhǎng)度.

5.(2025?湖南長(zhǎng)沙?一模)定義：若一次函數(shù)〉=依+。和反比例函數(shù)丫=-：交于兩點(diǎn)(%,%)和(%,%)滿

足務(wù)=如(可<々)則稱(chēng)>=加+版+。為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的，，人屬合成，，函數(shù).

3

⑴試判斷一次函數(shù)丁=尤-2與》=士是否存在“人屬合成”函數(shù)？若存在求出上的值及“后屬合成”函數(shù)若

X

不存在請(qǐng)說(shuō)明理由

⑵已知一次函數(shù)%=依+匕0>0)與反比例函數(shù)%=:交于A,g兩點(diǎn)它們的“一。屬合成”函數(shù)為為若點(diǎn)

A在直線，=-6+5上求必的解析式

3

(3)如圖若丁=6+6與>=-<的“2屬合成，函數(shù)的圖象與％軸交于MN兩點(diǎn)(M在N點(diǎn)左側(cè))它的頂

2x

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點(diǎn)為0（1,%）P為第三象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)NP與y軸交于點(diǎn)E將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段。歹射線ME與射線FN交于點(diǎn)G連接MP若ZMGN=2ZMPN求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

6.（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）若直線/：'=辰+6與函數(shù)M的圖象存在至少一個(gè)交點(diǎn)則稱(chēng)該函數(shù)M是直線

/:＞=履+6的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”它們的交點(diǎn)叫做“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）.

⑴若直線4為：y=-2x+3它的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”M的圖象也是一條直線：＞=3x-2求“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)。的坐標(biāo)

k

⑵若直線/2：y=：E+〃它的“關(guān)聯(lián)函數(shù)"M為：y=—且“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”只有一個(gè)恰好是點(diǎn)A求加和〃的值

X

（3）若拋物線"：、=加+云+。（。70）滿足：對(duì)于拋物線M上的任意兩點(diǎn)￡住,%）F（X2，y2）當(dāng)

（與-1乂9-1）＞0時(shí)y產(chǎn)治始終成立.且拋物線M是直線4：'”的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”也是點(diǎn)A

和另一點(diǎn)8若以A3為直徑的圓恰好與x軸相切求。的值.

7.（2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)G在加上的最大值記為九以最小值記為八加且滿足

ymax-Vmin=1則稱(chēng)函數(shù)G是在相VX＜〃上的“美好函數(shù)”

⑴函數(shù)①y=x+l②y=|2x|③y=Y其中函數(shù)是在14x42上的“美好函數(shù)”（填序號(hào)）

⑵己知函數(shù)G:y=G;2-2ax-3a（aw0）.

①函數(shù)G是在1WXV2上的“美好函數(shù)”求。的值

②當(dāng)。=1時(shí)函數(shù)G是在rwxwr+l上的“美好函數(shù)”請(qǐng)直接寫(xiě)出r的值

⑶己知函數(shù)G:y=ax2-2依-3。（。＞0）若函數(shù)G是在根+2VxW2，w+l（機(jī)為整數(shù)）上的“美好函數(shù)”且

存在整數(shù)上使得人=$，求。的值.

^min

8.（2024?湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè)）我們不妨約定：如果拋物線的頂點(diǎn)在直線丫=%上那么我們把這樣的拋物

線叫做“星鏈拋物線”.根據(jù)約定解答下列問(wèn)題：

（1）試判斷下列拋物線是否為“星鏈拋物線”若是請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)畫(huà)“Y”若不是請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)畫(huà)“x”.

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?y=x2()②y=/-2x+l()?y=-(x-h^+h().

(2)如圖已知“星鏈拋物線"y=-(x-l)2+4的頂點(diǎn)為點(diǎn)A將該拋物線沿直線丫=%向上平移使點(diǎn)A

和點(diǎn)8重合兩條“星鏈拋物線”的交點(diǎn)為點(diǎn)C設(shè)點(diǎn)8點(diǎn)C的橫坐標(biāo)分別為機(jī)"(機(jī)>1).

①若A3=2夜試求平移后的拋物線的解析式

②在平移過(guò)程中若NACB=45°試求〃加的值.

9.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))中共中央總書(shū)記國(guó)家主席中央軍委主席習(xí)近平2024年3月20日下午在

湖南省長(zhǎng)沙市主持召開(kāi)新時(shí)代推動(dòng)中部地區(qū)崛起座談會(huì)并發(fā)表重要講話.他指出上一次推動(dòng)中部地區(qū)崛

起座談會(huì)召開(kāi)5年來(lái)中部區(qū)域經(jīng)濟(jì)總體平穩(wěn)創(chuàng)新發(fā)展動(dòng)能不斷增強(qiáng)產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)明顯改善改革開(kāi)放邁

出新步伐社會(huì)事業(yè)全面發(fā)展人民生活水平持續(xù)提升綠色低碳轉(zhuǎn)型步伐加快中部地區(qū)發(fā)展站到了更

高起點(diǎn)上.我們約定：如果兩個(gè)函數(shù)％為存在尤取同一個(gè)值使得》=%那么稱(chēng)H上為“平穩(wěn)函數(shù)”

稱(chēng)對(duì)應(yīng)尤的值為％%的“平穩(wěn)點(diǎn)”如果兩個(gè)函數(shù)為％為為“平穩(wěn)函數(shù)"那么％+%的最大值稱(chēng)為X

%的“崛起值”.

⑴判斷函數(shù)y=2x+4〃z與y=°是否為“平穩(wěn)函數(shù)”如果是請(qǐng)求出〃?=1時(shí)它們的“平穩(wěn)點(diǎn)”如果不是請(qǐng)

X

說(shuō)明理由

⑵判斷函數(shù)y=2x+4〃z與y=x_l(W<2)是否為“平穩(wěn)函數(shù)”如果是請(qǐng)求出“平穩(wěn)點(diǎn)”如果不是請(qǐng)說(shuō)明

理由

⑶已知函數(shù)y=x+2m與y=%2-(2優(yōu)+1)尤+(療+4：九一3)(04尤45)是“平穩(wěn)函數(shù)”且有唯一“平穩(wěn)點(diǎn)”.

①求出機(jī)的取值范圍

②若它們的“崛起直'為24試求出m的值.

10.(2024.湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè))已知拋物線右：y=4/+偽x+q和拋物線工2:>+&X+C2我們約定：

當(dāng)點(diǎn)%)是拋物線。上任意一點(diǎn)時(shí)點(diǎn)3(-%,-%)在拋物線人上此時(shí)稱(chēng)拋物線乙與拋物線人互為

“和諧拋物線”

⑴若拋物線乙：丁=-2/-〃w+4與拋物線右：片加+2工_左互為“和諧拋物線”求相n上的值

(2)若拋物線4：>=-6"2+3區(qū)一2c的“和諧拋物線”過(guò)點(diǎn)(1,0)且滿足從-4〃<0求點(diǎn)與原點(diǎn)間

距離的最小值

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⑶已知拋物線4與=-?尤2+/-a。＞0）的頂點(diǎn)為點(diǎn)尸與X軸交于點(diǎn)C。（點(diǎn)C在點(diǎn)。的左邊）拋物

線4的“和諧拋物線”人的頂點(diǎn)為點(diǎn)。與x軸交于點(diǎn)E尸（點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左邊）且滿足D冬F(xiàn)=：1當(dāng)四

邊形PCQ尸為矩陣時(shí)求pqf的值或滿足的關(guān)系.

11.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)函數(shù)稱(chēng)為“親密函數(shù)”這個(gè)唯

一的交點(diǎn)稱(chēng)為他們的“密接點(diǎn)”.例如：y=3x-l與y=-x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn)（1,2）則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)為“親

密函數(shù)”點(diǎn)。,2）稱(chēng)為他們的“密接點(diǎn)”.

（1）判斷下列幾組函數(shù)是“親密函數(shù)”的在（）內(nèi)記7”不是“親密函數(shù)”的在（）內(nèi)記“x”：

（T）y=2%-1與y=—x+2（）

iQ

②y=_與y=_（）

XX

@y=x2-x+l^y=x.（）

k

⑵一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=—-（其中仁6為常數(shù)上＞0是“親密函數(shù)”且他們的“密接點(diǎn)”尸到

x

原點(diǎn)的距離等于3求b的值.

⑶兩條直線4與都是二次函數(shù)y=/+c的“親密函數(shù)”且“密接點(diǎn)”分別為",N.記直線4與12的交點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為〃？直線MN與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為〃.試判斷機(jī)與〃的關(guān)系并證明你的判斷.

12.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）以X為自變量的兩個(gè)函數(shù)y與g令〃=y-g我們把函數(shù)介稱(chēng)為y與g的

“相關(guān)函數(shù)”例如：以X為自變量的函數(shù)y=f與g=2x-l則它們的“相關(guān)函數(shù)”為/z=y-g=/_2x+L

因?yàn)?7=--2工+1=。-1）220恒成立所以借助該“相關(guān)函數(shù)”可以證明：不論自變量x取何值yNg恒成

立

⑴已知函數(shù)y=爐+儂+”與函數(shù)g=4x+l相交于點(diǎn)（-L-3）（3,13）.

①此時(shí)機(jī)"的值分別為：機(jī)=，7=

②求此時(shí)函數(shù)y與g的“相關(guān)函數(shù)”h

⑵已知以X為自變量的函數(shù)y=3x+1與g=x-2當(dāng)X＞1時(shí)對(duì)于X的每一個(gè)值函數(shù)y與g的“相關(guān)函

數(shù)”%＞0恒成立求f的取值范圍

⑶已知以X為自變量的函數(shù)y=o%2+bx+c與g=-2fct-c（abc為常數(shù)且。＞0b^O）.點(diǎn)人（:，。［

8（-2,必）C（l,%）是它們的“相關(guān)函數(shù)”〃的圖象上的三個(gè)點(diǎn).且滿足2。＜%＜%求函數(shù)〃的圖象截x軸

第5頁(yè)共57頁(yè)

得到的線段長(zhǎng)度的取值范圍.

13.(2024.湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))定義若當(dāng)點(diǎn)在某一函數(shù)圖象上時(shí)點(diǎn)(1-也

在該函數(shù)圖象上則稱(chēng)該函數(shù)為“知返函數(shù)”點(diǎn)wg1稱(chēng)為“知返點(diǎn)”.

(1)已知一次函數(shù)y=Ax+N發(fā)/0)為“知返函數(shù)”求該一次函數(shù)的解析式

(2)若反比例函數(shù)y=8(尤為整數(shù))的函數(shù)圖象上存在“知返點(diǎn)”求匕的最大值

X

(3)函數(shù)y=\2x2+爾|的圖象是由二次函數(shù)y=2*+如的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方圖象

的其余部分保持不變得到的.若函數(shù)y=|2/+〃4的圖象與“知返函數(shù)”>=履+匕的圖象有四個(gè)交點(diǎn)求優(yōu)

的取值范圍.

14.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))若直線與>=n+機(jī)存在交點(diǎn)尸(sj)則這兩條直線就叫做“關(guān)聯(lián)

直線”稱(chēng)點(diǎn)尸為“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”二次函數(shù)++t為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.

⑴求y=3x+2與它的“關(guān)聯(lián)直線”的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)并寫(xiě)出其“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的解析式

⑵己知經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線y=〃式+〃它與其“關(guān)聯(lián)直線”的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為(取).若加nf滿足條件

4m<t<2n求加的取值范圍

(3)若直線y=mx+n(m>1)的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2夜當(dāng)mWxV優(yōu)+6時(shí)其“關(guān)聯(lián)函數(shù)”

的最小值為一"求其“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的解析式.

15.(2024?湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè))中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行矗矗欣欣家國(guó)”為主

題引領(lǐng)全球華人邁向生機(jī)盎然充滿希望的甲辰龍年.若拋物線丁=依2+法+。與x軸交于A8兩點(diǎn)與

y軸交于點(diǎn)C且VA3C恰好是直角三角形并滿足OC2=Q40B(。為坐標(biāo)原點(diǎn))則稱(chēng)拋物線

>=以2+"+。是“巍巍欣欣拋物線”VA3C中較短直角邊所在直線為“巍巍線”較長(zhǎng)直角邊所在直線為

Q1

“欣欣線”.例：拋物線>的“巍巍線”為直線y=-3x-i“欣欣線”為直線y=-.r-l.

⑴若“巍巍欣欣拋物線"二混+版+2的“巍巍線”為直線y=2尤+2求拋物線解析式

(2)已知“巍巍欣欣拋物線"y=一f+Ar+C與尤軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0)其“欣欣線”與反比例函數(shù)

的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)求上的值

(3)已知“巍巍欣欣拋物線”y=^^+bx-4ic">0)的“巍巍線”“欣欣線”及X軸圍成的三角形面積S的

第6頁(yè)共57頁(yè)

取值范圍是2君（542疝令P=-62+2加+產(chǎn)且尸有最小值一8求t的值.

16.（2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）定義：在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中若在函數(shù)圖象W上存在一點(diǎn)M繞原點(diǎn)

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N（點(diǎn)N與M不重合）仍在此函數(shù)圖象W上則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為“凡爾賽函數(shù)”

其中點(diǎn)M稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的“凡爾賽點(diǎn)”點(diǎn)N叫作點(diǎn)M的“后凡爾賽點(diǎn)”.

⑴函數(shù)①>=2x②y=±③y=/其中是“凡爾賽函數(shù)”的是一（填序號(hào)）

X

⑵若一次函數(shù)y=kx+2是“凡爾賽函數(shù)”點(diǎn)、（機(jī)為整數(shù)）是這個(gè)函數(shù)的“凡爾賽點(diǎn)”求上的值

⑶若點(diǎn)A（L3）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a,b,c為常數(shù)c>b>a）的“凡爾賽點(diǎn)”點(diǎn)8為A

的“后凡爾賽點(diǎn)”此二次函數(shù)圖象與％軸交于C、D兩點(diǎn)由點(diǎn)4B、CD四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積記

為S求S的取值范圍.

17.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）定義為函數(shù)y=/+6x+c的特征數(shù)若a+b+c=r（f為常數(shù)）我

們將4c］稱(chēng)為函數(shù)y="2+法+。的f系特征數(shù).

（1）己知［。,4,2］為函數(shù)、=62+法+。的0系特征數(shù)則該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

⑵若［2,-4〃,2/+其］為函數(shù)丫=辦2+法+。的特征數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)〃該函數(shù)圖像截直線>=履+機(jī)所

得的線段長(zhǎng)度恒為M求直線的解析式

⑶己知也c］為函數(shù)y=ax?+bx+c的0系特征數(shù)其中a>2b>3c一次函數(shù)1=%和反比例函數(shù)

y=—1的圖像交于人（藥,%）3（9,%）兩點(diǎn)令乙=|玉-々|試確定L的取值范圍.

18.（2024.湖南長(zhǎng)沙.三模）我們約定在直角坐標(biāo)系中若不相同的兩個(gè)點(diǎn)4（%,4）3（%也）滿足

（q+/『+%+可=0則稱(chēng)AB互為“沖刺點(diǎn)”若函數(shù)y上存在一組沖刺點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)y為“沖刺函數(shù)

（1）判斷下列函數(shù)是否為“沖刺函數(shù)”對(duì)的在括號(hào)里打“小錯(cuò)的打“x”.

①y=2x+l（）

②y=—（）

X

③y=￥+2x+l（）

⑵是否存在A8兩點(diǎn)既是一次函數(shù)y=-x+。上的“沖刺點(diǎn)”又是二次函數(shù)，=62+陵+。（"0）上的"沖刺

點(diǎn)”若存在求出這樣的“沖刺點(diǎn)”坐標(biāo)若不存在說(shuō)明理由.

第7頁(yè)共57頁(yè)

（3）若“沖刺函數(shù)"'=加+x+c（"O）上的“沖刺點(diǎn)”為A8兩點(diǎn)若P為函數(shù),=加+彳+。（。70）上一動(dòng)點(diǎn)

且該拋物線上有且只有3個(gè)點(diǎn)尸滿足/^4B的面積為1若以A8為頂點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為1求c值.

19.（2024.湖南長(zhǎng)沙.三模）如圖已知二次函數(shù)%=依2+法+。（abc為常數(shù)a>0,c<0）與x軸交

于點(diǎn)A（E，0）和點(diǎn)5優(yōu),0）其中國(guó)與y軸交于點(diǎn)C（。，e）若一次函數(shù)%="優(yōu)+〃（相*?！睘槌?shù)）

也經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與反比例函數(shù)%=麥（左/0左為常數(shù)）交于點(diǎn)。（-c，-c）我們不妨約定:稱(chēng)函數(shù)%，%，%

X

為一個(gè)“黃金組合”.

⑴已知二次函數(shù)%=依2+&V+C（abc為常數(shù)a>0,c<0）一次函數(shù)%=如+〃（根片。為常數(shù)）

42

反比例函數(shù)為=—為一個(gè)“黃金組合”?若玉=-彳。=1求一次函數(shù)%=如+〃的解析式以及W和匕的值

x3

⑵已知函數(shù)%，%，為為一個(gè)“黃金組合”連接AGBC.當(dāng)NACB=90。時(shí)試問(wèn)△"￡）能否為等邊三角

形？判斷并證明你的結(jié)論

（3）已知函數(shù)處%，為為一個(gè)“黃金組合”當(dāng)四邊形是矩形且占=〃，。時(shí)求機(jī)的值.

20.（2024?湖南長(zhǎng)沙.二模）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中如果函數(shù)圖象上至少存在一個(gè)點(diǎn)的縱坐

標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍則把該函數(shù)稱(chēng)之為“開(kāi)心函數(shù)”其圖象上縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)叫做“開(kāi)心點(diǎn)”.

（1）判斷以下函數(shù)上是否是“開(kāi)心函數(shù)”若是則打q若不是則打“x”

①尸X?y=--③y=x?

x

（2）關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+（a+4）x+:+2（a為常數(shù)）是“開(kāi)心函數(shù)”嗎？如果是指出有多少個(gè)“開(kāi)心點(diǎn)”如

果不是請(qǐng)說(shuō)明理由

⑶若拋物線股加+法+c（abc為常數(shù)）與x軸分別交于4（和0）3優(yōu),0）兩點(diǎn)其中占<%與

y軸交于C點(diǎn)（0,c）拋物線頂點(diǎn)為P點(diǎn)點(diǎn)M為第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t連接AC

第8頁(yè)共57頁(yè)

交于N點(diǎn)連接8CCM記SmcN=HSABCN=S2若滿足：①拋物線頂點(diǎn)P為“開(kāi)心點(diǎn)”②

b—2a=0③4ABp是等邊三角形若m加+自小的最大值為3上1求m的值.

5%4

參考答案

1.⑴①2022②及＞0時(shí)h=g4＜0時(shí)/?=-1

(3/=2時(shí)存在上=-不

O

【分析】(1)①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解

(2)根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出〃根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解

(3)根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

1113

【詳解】(1)解：①當(dāng)f=l時(shí)貝+：即==

2222

.>=4044尤左=4044>0>隨x的增大而增大

②若函數(shù)了=依+。當(dāng)后＞0時(shí)t-’V尤

22

M=k\t+—\+b,N=k\t--\+b

M-N_k

當(dāng)左<0時(shí)則知=左上+b,N=k

2~~~2

綜上所述上>0時(shí)h=g4<0時(shí)

2

(2)解：對(duì)于函數(shù)y=—(xNl)

尤

2>0x>l函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨尤的增大而減小

第9頁(yè)共57頁(yè)

3

解得'2萬(wàn)

當(dāng)t--—時(shí)

22

M=-^-4224

----，N=----=----

2132t+\

t一一

22

.h_M-N_J]_J____4_^_2(2/+1)-2⑵-1)_4_4

一"--2--E12t-l-2t+\J-(2?-1)(2?+1)-⑵-1)⑵+1)-4?-1

3

??,當(dāng)。時(shí)4/2—1隨/的增大而增大

當(dāng)”;3時(shí)4r—1取得最小值此時(shí)力取得最大值

,441

最大值為一(2-1)(2/+1廠公7一/

(3)對(duì)于函數(shù)y=+4x+k=-(x-2)-+4+左

a=-l＜0拋物線開(kāi)口向下

尤＜2時(shí)y隨x的增大而增大

尤＞2時(shí)y隨x的增大而減小

當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)y的最大值等于4+左

在'WxWt+i時(shí)

①當(dāng)/+萬(wàn)<2時(shí)即t<]時(shí)N=—[―g)+41一%]+左Af=—1f+g]+4(t+g1+左

,M-N1

h=-----=-

22

.一的最小值為3(當(dāng)力=3時(shí))

若g=4+左

7

解得左=-]

但3故左7=--不合題意故舍去

22

②當(dāng)/_/〉2時(shí)即t〉^時(shí)A/=——+4"—；]+左N=—+41+g]+左

第10頁(yè)共57頁(yè)

???〃的最小值為:（當(dāng)時(shí)）

/2

若：=4+左

2

7

解得％=-5

但5故左=-：7不合題意故舍去

22

1135

③當(dāng)％——W2W/+一時(shí)即一工/（一時(shí)河=4+左

2222

，）當(dāng)2_"_5]2[/+51_2時(shí)即時(shí)

513

對(duì)稱(chēng)軸為->0拋物線開(kāi)口向上在;《三2上

當(dāng)t=2時(shí)〃有最小值:

O

/=4+左

8

解得％=一31

O

力當(dāng)2-—2時(shí)即2＜區(qū)|時(shí)M=4+k

,M-N

n=------

2228

對(duì)稱(chēng)軸為3/萬(wàn)1>。拋物線開(kāi)口向上在2〈與5上

當(dāng)t=2時(shí)〃有最小值:

O

9：2<t<-

2

???在2</Vg上/z無(wú)最小值

第11頁(yè)共57頁(yè)

綜上所述f=2時(shí)存在％=-不.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義要掌握一次函數(shù)反比例數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)在于分類(lèi)討論時(shí)t

的取值范圍的取舍.

2.（1）4,-1,4（2）當(dāng)上片。時(shí)關(guān)于x的函數(shù)y=Ax+p（匕p是常數(shù)）不是“T函數(shù)”理由見(jiàn)解析當(dāng)左=0

時(shí)關(guān)于x的函數(shù)y=+P（太。是常數(shù)）是“T函數(shù)”它有無(wú)數(shù)對(duì)“T點(diǎn)”（3）直線/總經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)該

定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）.

【分析】（1）先根據(jù)關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律可得r，s的值從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)再將點(diǎn)A的坐標(biāo)

代入“T函數(shù)”即可得

（2）分4#0和左=0兩種情況當(dāng)發(fā)W0時(shí)設(shè)點(diǎn)（%,%）（不力。）與點(diǎn)（-%,%）是一對(duì)“T點(diǎn)”將它們代入函

數(shù)解析式可求出左=0與420矛盾當(dāng)左=0時(shí)是一條平行于％軸的直線是“T函數(shù)且有無(wú)數(shù)

對(duì)“T點(diǎn)”

（3）先將點(diǎn)。（0,。）代入y=加+6x+c可得°=0再根據(jù)“T函數(shù)”的定義可得6=0從而可得y=a/與

直線>=皿+〃聯(lián)立可得士,馬是方程辦2一皿一〃=。的兩實(shí)數(shù)根然后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

Xl+x2=-,Xlx2=--最后根據(jù)（If尸+%=1化簡(jiǎn)可得〃=一機(jī)從而可得丁=如一根由此即可得出答

aa

案.

【詳解】解：（1）由題意得：點(diǎn)A（l,r）與點(diǎn)3（s,4）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

/.r=4,5=—1

.5（1,4）

1>0

.??將點(diǎn)4（1,4）代入丁=及2得：t=4

故答案為：4,-1,4

（2）由題意分以下兩種情況：

①當(dāng)GrO時(shí)

假設(shè)關(guān)于x的函數(shù)>=依+。（k。是常數(shù)）是“T函數(shù)”點(diǎn)（為,%）5力0）與點(diǎn)（-%%）是其圖象上的一

對(duì)“T點(diǎn)”

則盧+P=%

[-kx0+p=y0

第12頁(yè)共57頁(yè)

解得上=0與k*0相矛盾假設(shè)不成立

所以當(dāng)4W0時(shí)關(guān)于X的函數(shù)y=fcv+0（匕0是常數(shù)）不是“T函數(shù)”

②當(dāng)上=0時(shí)

函數(shù)丫=日+2=。是一條平行于x軸的直線是“T函數(shù)”它有無(wú)數(shù)對(duì)“T點(diǎn)”

綜上當(dāng)人W0時(shí)關(guān)于X的函數(shù)>="+。（％,P是常數(shù)）不是“T函數(shù)”當(dāng)左=0時(shí)關(guān)于x的函數(shù)

y=kx+p（左,。是常數(shù)）是“T函數(shù)”它有無(wú)數(shù)對(duì)“T點(diǎn)”

（3）由題意將。。0）代入y=o%2+bx+c得：c=0

/.y=ax2+bx

設(shè)點(diǎn)（%,為）（%片。）與點(diǎn)（-巧，力）是“T函數(shù)"y=以？+"圖象上的一對(duì)“T點(diǎn)”

則代+管,解得6=0

[cuc3-bx3=y3

y=ax2（a>0）

聯(lián)立]'得：ax2—mx—n=0

[y=mx+n

“T函數(shù)"y與直線y=m+幾交于點(diǎn)M&x）Ngy?）

%,々是關(guān)于工的一元二次方程以2—座—〃=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

mn

％]+W=-,兀]%2=--------

aa

（1-%）+x?—1

mn

x+x=XX即an一=——

x2x2aa

解得〃=-M

則直線l的解析式為y=g-m

當(dāng)x=l時(shí)y=m-m=0

因此直線/總經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)掌握理解“T函數(shù)”和“T點(diǎn)”的定義是解題關(guān)鍵.

3.⑴有“雙減點(diǎn)

⑵笈=1

第13頁(yè)共57頁(yè)

⑶t=l或4+行

【分析】本題為函數(shù)綜合題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)與一次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)

討論是解題的關(guān)鍵.

(1)利用“雙減點(diǎn)”的概念代入解方程即可

(2)由題意得“雙減點(diǎn)”尸在直線y=x-2上設(shè)點(diǎn)Cn坐標(biāo)分別為(占,%)(馬,%)歹!J方程用根與系

數(shù)的關(guān)系即可解答

(3)列方程根據(jù)根的判別式可得之間的關(guān)系即可解答.

【詳解】(1)解：令2x-3=x-2

解得尤=1

.-.y=2xl-3=-l

???存在“雙減點(diǎn)”(L-1)

(2)解：“雙減點(diǎn)”P(pán)在直線y=》-2上

設(shè)點(diǎn)CD坐標(biāo)分別為(％,%)(x2,%)

k

令勺=x-2化簡(jiǎn)得尤2—2無(wú)一左=0

X

DC=4且直線OC與方軸的夾角為45。

:.\xy—x2\=2A/2

由根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+%=2玉W=-左

22

/.(王-x2)=(%+x2)-例％-8

.?.4+4左=8

角軍得：k=1止匕時(shí)必一2%一左=0的△>0

.,.k=l

(3)解：令工d+(加一r+l)x+"+f-4=;c-2由于“雙減點(diǎn)'’唯一

4

,止匕方程A=0(m-t)2-(n+t-2)=0

即〃=(冽一02一/+2幾為m的二次函數(shù)

當(dāng)一24機(jī)W3時(shí)〃的最小值為方

若￡<—2則方=(―2—I)?—/+2止匕時(shí)，無(wú)解

第14頁(yè)共57頁(yè)

若—24/43貝卜=—+2解得：f=l

若/>3貝卜=(3—)27+2解得：％=4+逐t2=4-y[5(不合題意舍去)

綜上r=l或4+6.

4.⑴①<②q③x

(2)a=40(9,9)

(3)"<：G上的兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”之間線段的長(zhǎng)度萬(wàn)礪

【分析】本題考查二次函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)綜合解題的關(guān)鍵是聯(lián)立函數(shù)解析式得到方程再去求

解

(1)設(shè)“乾坤點(diǎn)”坐標(biāo)為(x,y)貝"+>=18所有的“乾坤點(diǎn)”都在直線y=-x+18上“乾坤函數(shù)”必定與

y=-x+18有交點(diǎn)再分別聯(lián)立y=-x+18與三個(gè)函數(shù)解析式判斷交點(diǎn)情況即可

2a+1

(2)由函數(shù))=」一2a+(12a+l#0,a為常數(shù))圖象上有且只有1個(gè)“乾坤點(diǎn)”得到一y=-x-----整理得到

x[y=_x+18

x2-18x+2tz+l=0該方程有兩等根根據(jù)A=O求解即可

(3)由點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-y)得到拋物線G：y=-，+px+p-i8(p<0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

的拋物線為G解析式再根據(jù)G是“乾坤函數(shù)”且有兩個(gè)“乾坤點(diǎn)"聯(lián)立『一，:一'+18解方程求得

G對(duì)應(yīng)的兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”坐標(biāo)為(T19)(p,-p+18)根據(jù)這兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”之間的線段長(zhǎng)為5正解得

P=-6再求出將拋物線G繞點(diǎn)K(〃,o)旋轉(zhuǎn)180。得到新函數(shù)C3解析式為C根據(jù)新函數(shù)G圖象上也存在

兩個(gè)不同的“乾坤點(diǎn)”得至!J方程龍2—(4力+5)%+4九2+12"+6=0貝I]A=(4〃+5)2—4(4〃2+12〃+6)>0

mb=4n2+12M+6m+b-4n+5據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：???約定將橫縱坐標(biāo)和為18的點(diǎn)稱(chēng)為“乾坤點(diǎn)”

...設(shè)“乾坤點(diǎn)”坐標(biāo)為(x,y)貝！U+y=18

，所有的“乾坤點(diǎn)''都在直線y=-x+18上

:若某函數(shù)圖象上存在“乾坤點(diǎn)”則把該函數(shù)稱(chēng)為“乾坤函數(shù)”

，“乾坤函數(shù)”必定與y=f+18有交點(diǎn)

第15頁(yè)共57頁(yè)

2025

①聯(lián)立\y=一'F整理得X2-18X-2025=0A=182—4x(—2025)>0方程有兩不等根即〉二-山2025

y=-x+18

與y=r+18有兩個(gè)交點(diǎn)貝力=_3202^5是“乾坤函數(shù)，’

x

②…聯(lián)立[Iy二=6x川+188解得I1x=108即1，+18與片"8有一個(gè)交點(diǎn)則y=6x+18是“乾坤函數(shù)

y=/-2x+2025

③聯(lián)立整理得X2-X+2007=0A=12-4X2007<0方程無(wú)解即，=/一2了+2025

>=T+18

與y=-尤+18沒(méi)有交點(diǎn)貝I]y=Y-2x+2025不是“乾坤函數(shù)”

故答案為：①q②q③x

（2）解：?.?函數(shù)y=3短（2a+l￥0,。為常數(shù)）圖象上有且只有1個(gè)“乾坤點(diǎn)”

X

.?.函數(shù)＞=網(wǎng)±1（2a+lw0,a為常數(shù)）與y=f+18有且只有1個(gè)交點(diǎn)

X

2。+1

聯(lián)立,X整理得/—18%+2〃+1=0

y=-X+18

?'?方程d_18X+2Q+1=0有兩等根

1Q

A=182-4x（2a+l）=0兩等根jq=%='=9

解得a=40

當(dāng)尤=9時(shí)y=-x+18=9

二相應(yīng)的“乾坤點(diǎn)'’的坐標(biāo)為（9,9）

（3）解：?.?點(diǎn)（X,y）關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（x,-y）

拋物線G：V=-尤2+px+P-18(p<0)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的拋物線為G解析式為-y=-x2+px+p-18(p<0)

即C2:y=彳2-px-p+18(p<0)

是“乾坤函數(shù)”且有兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”

二聯(lián)立卜龍P+18得彳2_(°_1)彳_°=0整理得(x-p)(x+l)=0

[y=-％+18

解得占=-l,%=p

,當(dāng)尤二-1時(shí)y=-1+18=19當(dāng)時(shí)y=—1+18=—〃+18

第16頁(yè)共57頁(yè)

G對(duì)應(yīng)的兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”坐標(biāo)為（T，19）（p,-P+18）

?.?這兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”之間的線段長(zhǎng)為50

解得P=4或P=-6

p=-6

**.G:y=—爐-6%—24

??,點(diǎn)（x,y）繞點(diǎn)K（",o）旋轉(zhuǎn)180。得到（2〃一匕一y）

；?將拋物線G繞點(diǎn)K（Z0）旋轉(zhuǎn)180。得到新函數(shù)C3解析式為C3：-y=-（2〃r）2-6（2"-x）-24整理得

y=（2"—x）~+6（2〃—x）+24=x?—（4"+6）x+4〃2+12/1+24

?.,新函數(shù)C3圖象上也存在兩個(gè)不同的“乾坤點(diǎn)”

.?.聯(lián)立卜-—（船+巾+為+a/^得/4+修小二。

y=-x+lS

???新函數(shù)C3圖象上也存在兩個(gè)不同的“乾坤點(diǎn)”（桃，-機(jī)+18）（/?,-/?+18）

A=（4n+5）2-4（4/+12〃+6）>0mb=4"+12〃+6m+Z?=4n+5

/.解不等式得n<-（m-h）2=（m+Z?）2-4/T^=（4?+5）2-4（4n2+12n+6）=1-8n

8

???G上的兩個(gè)“乾坤點(diǎn)”之間線段的長(zhǎng)度

Q（m-b）2+[―加+]8-（一,+]8）]2—^2（m—fo）2=J2（l-8幾）=y/2—16n-

5.⑴存在k=-l“-1屬合成”函數(shù)解析式為y=f_2x-3

（2）%的解析式為%=x?+3x-4或%=-d+兩'x-4

（3）尸（1-26一2）

【分析】（1）根據(jù)“女屬合成”函數(shù)的定義聯(lián)立方程組求解即可

4

（2）設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4和々a<%）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到無(wú)科2=-,根

4

據(jù)九%存在“一。屬合成”函數(shù)為必得至〕」X2=-ax—即不龍之二-而可求出。=±1再分類(lèi)討論計(jì)算即可

第17頁(yè)共57頁(yè)

iiQ

（3）根據(jù)題意結(jié)合（2）的計(jì)算方法得到。=-]“2屬合成”函數(shù)解析式為＞=-]/+灰+；根據(jù)二次

函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得6=10（1,2）如圖作垂線田和/K可證HDE^IFD（AAS）設(shè)E（0,e）可求得

F（3-e,l）可證JWOE■均FZQV（SAS）求出ZMGN=2ZMPNNMPN=45。點(diǎn)尸在以Q。,-2）為圓心

20為半徑的圓Q上設(shè)P（%y）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式求解即可.

y=x-2

【詳解】（1）解：根據(jù)“人屬合成”函數(shù)的定義聯(lián)立方程組得3

、=一

???兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為（-1,-3）和（3,1）

V-l＜3

：.3=-3k

：.k=-l

?,?它們存在“-1屬合成”函數(shù)

*.*a=l,b=—2,c=—3

.一k屬合成”函數(shù)解析式為y=/一2x-3.

（2）解：設(shè)一次函數(shù)乂=◎+人僅＞0）與反比例函數(shù)%=：的兩個(gè)交點(diǎn)為4（冷％）,3（々,%乂石＜x2）

4

ox+b=—的解為玉和%即元-4=0

.4

%，%存在“一。屬合成”函數(shù)為%

4

x2=-ax一gpx{x2=-4a

4=±1.

①當(dāng)a=l時(shí)

y=—x+5

聯(lián)立4

)=一

IX

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—1_x=4

解得或

y=4y=i

/.A（1,4）^A（4,1）

把點(diǎn)A代入%解得6=3或匕=-3(舍)

2

j3=x+3x-4

②當(dāng)4=一1時(shí)

y=x+5

聯(lián)立4

y=一

X

一5-0-5+741

x=-----------x=----------

22

解得或，

5-5/445+而

y=

2

，5-聞5'-5+回5+

A

—2—'