第一章自動(dòng)控制的基本知識(shí)

■1.1自動(dòng)控制的一般概念

■1.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成

■1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的類型

■1.4對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求

1.1.1自動(dòng)控制技術(shù)

■自動(dòng)控制技術(shù)被大量應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、環(huán)境監(jiān)測(cè)、

交通管理、科研開發(fā)、軍事領(lǐng)域、特別是空間技術(shù)和核技術(shù)。

自動(dòng)控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用不僅使各種生產(chǎn)設(shè)備、生產(chǎn)過程實(shí)現(xiàn)

了自動(dòng)化，提高了生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量，尤其在人類不能直接

參與工作的場(chǎng)合，就更離不開自動(dòng)控制技術(shù)了。自動(dòng)控制技術(shù)

還為人類探索大自然、利用大自然提供了可能和幫助。

1.1.2自動(dòng)控制理論的發(fā)展過程

■1945年之前，屬于控制理論的萌芽期。

■1945年，美國人伯德（Bode）的“網(wǎng)絡(luò)分析與放大器的設(shè)計(jì)”奠

定了控制理論的基礎(chǔ)，至此進(jìn)入經(jīng)典控制理論時(shí)期，此時(shí)已形

成完整的自動(dòng)控制理論體系。

■二十世紀(jì)六十年代初。用于導(dǎo)彈、衛(wèi)星和宇宙飛船上的“控制系

統(tǒng)的一般理論”（卡爾曼Kalman）奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。

現(xiàn)代控制理論主要研究多輸入-多輸出、多參數(shù)系統(tǒng)，高精度復(fù)

雜系統(tǒng)的控制問題，主要采用的方法是以狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ)

的狀態(tài)空間法，提出了最優(yōu)控制等問題。

■七十年代以后，各學(xué)科相互滲透，要分析的系統(tǒng)越來越大，越

來越復(fù)雜，自動(dòng)控制理論繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)入了大系統(tǒng)和智能控制

時(shí)期。例如智能機(jī)器人的出現(xiàn)，就是以人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、

信息論、仿生學(xué)等為基礎(chǔ)的自動(dòng)控制取得的很大進(jìn)展。

1.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成

1.2.1自動(dòng)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與反饋控制理論

■圖中為放水閥，為進(jìn)水閥，水箱希望的液位高度為。當(dāng)放水使

得水箱液位降低而被人眼看到，人就會(huì)打開進(jìn)水閥，隨著液位

的上升，人用大腦比較并判斷水箱液位達(dá)到時(shí)、就會(huì)關(guān)掉。若

判斷進(jìn)水使得實(shí)際液位略高于，則需要打開放水而保證液位高

度。

■在這個(gè)過程中，人參與了以下三個(gè)方面的工作：

■用眼睛觀察到實(shí)際液面的下降（實(shí)際液面高度）；

■用大腦將實(shí)際液面與要求液面高度進(jìn)行比較（與產(chǎn)生偏差）；

■根據(jù)比較的結(jié)果（與偏差的正負(fù)），用手操作閥的開啟或閉合。

■顯然，在這個(gè)控制系統(tǒng)中，用人工控制不能保證系統(tǒng)所需的控

制精度，并且需要人全程的參與。為減輕人的勞動(dòng)強(qiáng)度，因此

可將上述系統(tǒng)改換為圖1-2所示的液位自動(dòng)控制系統(tǒng)。

■被控對(duì)象：水箱，其中水箱液位是被控對(duì)象中的被控量；

■檢測(cè)及轉(zhuǎn)換裝置：浮子及電位器，它將水箱實(shí)際液位高度轉(zhuǎn)換

為電壓;

■比較環(huán)節(jié)：浮子的位置轉(zhuǎn)換的實(shí)際電壓與給定電壓（對(duì)應(yīng)要求

的液位高度）通過差動(dòng)放大器比較產(chǎn)生偏差；

■控制裝置：根據(jù)偏差的大小、極性，通過放大器和電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生

控制信號(hào)作用在進(jìn)水閥上；

■執(zhí)行機(jī)構(gòu)：進(jìn)水閥根據(jù)控制信號(hào)產(chǎn)生動(dòng)作，改變水箱液位高度,

從而自動(dòng)控制水箱

■液位，使其滿足給定值的要求

1.2.2開環(huán)控制與閉環(huán)控制

■一、開環(huán)控制系統(tǒng)

是指系統(tǒng)的被控量只受控于控制量，而對(duì)控制量不能反過來

施加影響的系統(tǒng)，即輸出量

既不需要對(duì)輸出量進(jìn)行測(cè)量。

輸入量進(jìn)行比較?？刂蒲b置―—--7

F---

聯(lián)系?！猅――二一一二一4）

■二、閉環(huán)控制系統(tǒng)—~~二L二

■閉環(huán)控制系統(tǒng)是指在控制器與被控對(duì)象之間不僅有正向控制作

用，而且輸出端與輸入端之間還存在反饋控制作用的系統(tǒng)。反

饋有正反饋和負(fù)反饋之分。當(dāng)反饋量極性與輸入量同相時(shí)為正

反饋。正反饋應(yīng)用較少，只是在補(bǔ)償控制中偶爾使用。當(dāng)反饋

量極性與輸入量反相時(shí)一，則稱為負(fù)反饋。閉環(huán)控制的實(shí)質(zhì)就是

利用負(fù)反饋，使系統(tǒng)具有自動(dòng)修正被控量（輸出量）偏離參考

給定量（輸入量）的控制功能。因此，閉環(huán)控制又稱反饋控制,

閉環(huán)控制系統(tǒng)又稱為反饋控制系統(tǒng)。

■閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)是抑制干擾的能力強(qiáng)，對(duì)元件特性變化不

敏感，能改善系統(tǒng)的響應(yīng)，適用范圍廣。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，

無論是由于外部擾動(dòng)還是系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)，只要使被控制量偏離

給定值，閉環(huán)控制就會(huì)利用反饋產(chǎn)生的控制作用去消除偏差。

但也正由于反饋的引入增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。另外由于閉環(huán)系

統(tǒng)是檢測(cè)偏差用以消除偏差來進(jìn)行控制的，在工作過程中，系

統(tǒng)總會(huì)存在偏差，由于元件慣性等因素，很容易引起系統(tǒng)的振

蕩，從而使系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。因此控制精度和穩(wěn)定性之間的

矛盾始終是閉環(huán)控制系統(tǒng)存在的主要矛盾。

1.2.3自動(dòng)控制系統(tǒng)舉例

調(diào)速控制系統(tǒng)

+

給

定

電

位

器

恒溫箱控制系統(tǒng)

給定信號(hào)電機(jī)

恒溫箱

導(dǎo)彈發(fā)射架方位角控制系統(tǒng)

1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的類型

■1.3.1恒值系統(tǒng)、程序控制系統(tǒng)與隨動(dòng)系統(tǒng)

按輸入信號(hào)的變化規(guī)律進(jìn)行劃分，

一、恒值控制系統(tǒng)

■所謂恒值控制系統(tǒng)，是指這類控制系統(tǒng)的給定值是恒定不變的。

該類系統(tǒng)中，輸入信號(hào)在某種工藝條件下一經(jīng)給定就不再變化。

系統(tǒng)主要的控制任務(wù)就是抑制各種干擾因素的影響，使被控量

維持不變或在允許范圍內(nèi)。

二、程序控制系統(tǒng)

■程序控制系統(tǒng)的給定值是變化的，但這個(gè)給定值是按照工藝規(guī)

程規(guī)定的，變化規(guī)律預(yù)知的時(shí)間函數(shù)。該類系統(tǒng)中，輸入信號(hào)

根據(jù)設(shè)定程序自動(dòng)變化，系統(tǒng)按設(shè)定程序自動(dòng)運(yùn)行，要求被控

量也按照同樣的規(guī)律變化，即要求被控量迅速準(zhǔn)確的復(fù)現(xiàn)輸入

信號(hào)。

三、隨動(dòng)控制系統(tǒng)

■隨動(dòng)控制系統(tǒng)也稱自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)，該類系統(tǒng)中，輸入信號(hào)是預(yù)

先不能確定的隨時(shí)間任意變化的函數(shù)。該系統(tǒng)要求被控量以盡

可能小的誤差盡快地跟隨輸入量變化。生產(chǎn)過程中的比值控制

就屬于隨動(dòng)控制系統(tǒng)，在隨動(dòng)系統(tǒng)中，擾動(dòng)的影響是次要的，

系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是系統(tǒng)的快速性和準(zhǔn)確性。如果被控制

量是機(jī)械位置或其導(dǎo)數(shù)，這種隨動(dòng)系統(tǒng)我們也稱作伺服系統(tǒng)。

隨動(dòng)系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)的參考輸入量都是時(shí)間的函數(shù)，

差別在于隨動(dòng)系統(tǒng)的輸入量是未知的任意的時(shí)間函數(shù)，而程序控制系

統(tǒng)的輸入量是已知的時(shí)間函數(shù)。而恒值控制系統(tǒng)可以看作是程序控制

系統(tǒng)的一種特例。

■132線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

■按系統(tǒng)各環(huán)節(jié)輸入與輸出關(guān)系的特征進(jìn)行劃分，可將系統(tǒng)劃分

為線性控制系統(tǒng)與非線性控制系統(tǒng)。

■一、線性控制系統(tǒng)

■線性控制系統(tǒng)中，所有環(huán)節(jié)（或元件）的輸入輸出都是線性關(guān)

系，系統(tǒng)的狀態(tài)和性能可以用線性微分方程來描述，線性系統(tǒng)

滿足疊加原理和齊次性原理，因此可以用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分

析。線性控制系統(tǒng)又分為線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)。

■二、非線性控制系統(tǒng)

■該類系統(tǒng)中，至少有一個(gè)元件的輸入輸出關(guān)系是非線性的。因

此不滿足疊加原理和齊次性原理，必須采用非線性系統(tǒng)理論來

分析。如存在死區(qū)、間隙和飽和特性的系統(tǒng)就是非線性控制系

統(tǒng)。嚴(yán)格地說，實(shí)際物理系統(tǒng)中都含有程度不同的非線性元部

件。對(duì)于非本質(zhì)非線性元件可采用線性化處理，即在一定的工

作范圍內(nèi)，用近似的線性方程代替非線性方程來分析

■1.3.3其他分類系統(tǒng)

■一、按系統(tǒng)參數(shù)是否隨時(shí)間變化，可分為定常參數(shù)控制系統(tǒng)和

時(shí)變參數(shù)控制系統(tǒng)。如果控制系統(tǒng)的參數(shù)在系統(tǒng)運(yùn)行過程中不

會(huì)隨著時(shí)間的變化而發(fā)生改變，則稱之為定常系統(tǒng)或者時(shí)不變

系統(tǒng)，描述它的微分方程就是常系數(shù)微分方程。反之就是時(shí)變

系統(tǒng)。

■二、按系統(tǒng)傳輸?shù)男盘?hào)特征，可分為連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制

系統(tǒng)。前一種系統(tǒng)中，所有信號(hào)的變化均為時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，

其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用微分方程來描述。后一種系統(tǒng)中，至少有一處

信號(hào)是脈沖序列或數(shù)字量，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律必須用差分方程來描述。

離散控制系統(tǒng)如果利用計(jì)算機(jī)采樣和控制，也稱為數(shù)字控制系

統(tǒng)。

■三、按照輸入和輸出信號(hào)的個(gè)數(shù)，可分為單變量系統(tǒng)和多變量

系統(tǒng)。單變量系統(tǒng)又稱為單輸入-單輸出系統(tǒng)，該系統(tǒng)只有一個(gè)

輸入信號(hào)（不包括擾動(dòng)輸入）和一個(gè)輸出信號(hào)。多變量系統(tǒng)又稱

為多輸入-多輸出系統(tǒng)，即有多個(gè)輸入信號(hào)和多個(gè)輸出信號(hào)。

■1.4對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求

■1.4.1控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、動(dòng)態(tài)與過渡過程

■對(duì)于一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，在理想情況下，系統(tǒng)輸出量和輸

入量在任何時(shí)候都相等，沒有誤差，而且不受干擾的影響。即。

這種狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)或靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)。

■當(dāng)輸入量或擾動(dòng)量發(fā)生變化，反饋量將與輸入量之間產(chǎn)生偏差,

通過控制器對(duì)控制系統(tǒng)的控制作用，使輸出量最終穩(wěn)定，即達(dá)

到一個(gè)新的穩(wěn)態(tài)。但實(shí)際控制系統(tǒng)中由于機(jī)械部分質(zhì)量、慣性

以及電路中儲(chǔ)能元件（電感、電容）的存在，使得系統(tǒng)的輸出

量和反饋量總是遲后于輸入量的變化。系統(tǒng)從一個(gè)平衡到另一

個(gè)平衡無法瞬間完成，存在一個(gè)過渡過程，該過程也稱為動(dòng)態(tài)

過程。

■系統(tǒng)控制性能的好壞，可以通過過渡過程表現(xiàn)出來。過渡過程

的形式不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與參考輸入和外加擾

動(dòng)有關(guān)。

■142對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求及技術(shù)指標(biāo)

■穩(wěn)定性是對(duì)控制系統(tǒng)最基本的要求，也是系統(tǒng)工作的首要條件。

所謂穩(wěn)定性，一般指當(dāng)系統(tǒng)受到外部作用后，其動(dòng)態(tài)過程的振

蕩傾向和能否恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力。

■準(zhǔn)確性是對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)（靜態(tài)）性能的要求。對(duì)一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)

而言，準(zhǔn)確性是指系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過程結(jié)束，重新恢復(fù)平衡后，其

被控量與給定值的偏差大小。該偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用表示，

是衡量穩(wěn)態(tài)精度的指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差越小，表示系統(tǒng)輸出跟蹤輸

入的精度就越高，即控制精度高。對(duì)于=0的系統(tǒng)，稱為無靜差

系統(tǒng)；而知的系統(tǒng)，則稱為有靜差系統(tǒng)。

■快速性

■控制系統(tǒng)除要求具有穩(wěn)定性和較高的穩(wěn)態(tài)精度之外，還要求系

統(tǒng)的響應(yīng)具有一定的快速性。快速性是指在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,

系統(tǒng)通過自身調(diào)節(jié)，最終消除輸出量與給定值之間偏差的快慢

程度。也就是動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行的時(shí)間的長(zhǎng)短。時(shí)間越短，說明系

統(tǒng)快速性越好

■由于被控對(duì)象具體情況不同，各類系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快

速性三方面性能要求是各有側(cè)重點(diǎn)。例如恒值控制系統(tǒng)一般側(cè)

重于穩(wěn)定性。而隨動(dòng)系統(tǒng)則對(duì)快速性和準(zhǔn)確性的要求較高。就

是在同一個(gè)系統(tǒng)中，三個(gè)方面的性能要求通常也是相互制約的，

存在著矛盾。所以在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)要充分考慮系統(tǒng)的具體要求，

合理解決矛盾。

■對(duì)于控制系統(tǒng)的性能要求，除了可以歸納為以上三個(gè)方面進(jìn)行

分析外，還可以用性能指標(biāo)進(jìn)行描述。以下圖所示的控制系統(tǒng)

典型階躍響應(yīng)曲線為例，介紹幾個(gè)常用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

■(1)上升時(shí)間：對(duì)于振蕩系統(tǒng)是指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從0開始第一

次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。而對(duì)于無振蕩系統(tǒng)則定義為系

統(tǒng)輸出響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需要的時(shí)間。上升時(shí)

間越小，表明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快。

■(2)峰值時(shí)間：指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從0開始首次到達(dá)第一個(gè)峰值

所需的時(shí)間。

■(3)最大超調(diào)量：指系統(tǒng)輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占

穩(wěn)態(tài)值的百分比。即：

■(4)調(diào)節(jié)時(shí)間：又稱建立時(shí)間。指系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之

差首次進(jìn)入并不再超出誤差帶所需要的時(shí)間。誤差帶的范圍，

取決于設(shè)計(jì)的要求，通常取穩(wěn)態(tài)值的±5%或±2%。調(diào)節(jié)時(shí)間小,

表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程短，快速性好。

■(5)振蕩次數(shù)：指在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)輸出響應(yīng)的振蕩周期數(shù)。即系

統(tǒng)輸出響應(yīng)穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。振蕩次數(shù)越小，表明系統(tǒng)

穩(wěn)定性好。

■以上幾個(gè)性能指標(biāo)中，最大超調(diào)量和振蕩次數(shù)反映了

系統(tǒng)的穩(wěn)定性，調(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間和峰值時(shí)間反映系統(tǒng)的快

速性，而前面所介紹的穩(wěn)態(tài)誤差則反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本章概述

□在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，必須首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，

它是進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的首要任務(wù)。

□所謂控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是指表示系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系

的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的種類很多，常用的有：微分方程、

傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖和頻率特性等。

□建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法一般有分析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。

學(xué)習(xí)指導(dǎo)：

□正確理解數(shù)學(xué)模型的概念；

□掌握建立微分方程的一般方法；

□會(huì)用部分分式展開法進(jìn)行拉氏反變換；

□正確理解傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)；

□正確理解動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念和構(gòu)成，掌握動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)方法;

□理解控制系統(tǒng)的幾種重要傳遞函數(shù)。

章節(jié)連接

□第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

□第二節(jié)拉普拉斯變換

□第三節(jié)傳遞函數(shù)

□第四節(jié)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

□第五節(jié)MATLAB中的數(shù)學(xué)模型及其等效變換

□本章小結(jié)

第一節(jié)微分方程

一、微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

dnc(t)dn-'c(t)dc(t)八，,d'"-'r(t)

冊(cè)丁+%點(diǎn)尸+…++下：+總高『”.

+瓦岑^+瓦0

at

特點(diǎn)描述：

(1)微分方程只含有輸入量和輸出量，不含其它中間變量。

(2)含有輸出量的項(xiàng)寫在等號(hào)左邊，含有輸出量的項(xiàng)寫在等號(hào)

右邊。

(3)等號(hào)兩邊各項(xiàng)均按微分降次排列。

二、建立微分方程的步驟

(1)確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量以及必要的中間變量。

(2)建立系統(tǒng)的微分方程式組。根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理

規(guī)律，列寫出各變量之間的約束關(guān)系式，構(gòu)成微分方程式組。

(3)消除中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程，并化成標(biāo)準(zhǔn)形式。

舉例一一建立微分方程

例2-1：下圖所不的汽電路,以為輸入量，以為輸出量，試

出量及中間變量

口為輸入量，4為輸出量,

圖2-1

電路的電流，為中間變量。

(2)列寫微分方程組

根據(jù)電阻元件和電容元件的電壓、電U,=Ri+Uc

流約束關(guān)系及基爾霍夫定律可得

(3)消去中間變量，得到微分方

程的標(biāo)準(zhǔn)形式

RC也

+uc=ur

dt

例2-2：圖2-2所示的RLC混聯(lián)電路，以K的輸入量，以%輸出

解.門)取〃為輸入暮

礫■幅?.山曷由冰％tbI'H!亦曷

(2)建立微分方程組

D.Tdi

uc=+L—

.:.dt

I=4+，2

_d(ur-uc)

——Cz

dt

ur-uc

(3)消去中間變量可得

R

LC絲+1+2

dt2dt11

du,&

二叫--r1--%

dt&

思考：微分方程組包括幾個(gè)方程？

□列寫微分方程時(shí)，輸入量和輸出量是由要求確定的，而中間變

量往往要先對(duì)所給電路(或系統(tǒng)環(huán)節(jié))進(jìn)行初步分析，根據(jù)列

寫方程的需要而選定的，中間變量選取可能不是唯一的，電路

(或環(huán)節(jié))越復(fù)雜，中間變量選取的靈活性越大，但得出的微

分方程是相同的。

□一般地，若選取m個(gè)中間變量，則列出的方程組包含個(gè)m+1

獨(dú)立的方程。

□共有三個(gè)中間變量，需要列出四個(gè)獨(dú)立的微分方程

□三、微分方程的求解

□直接求解微分方程特別是解高階微分方程是很麻煩的。

□

□工程上常采用拉普拉斯變換的方法求解線性微分方程。

時(shí)上式進(jìn)行部分分式展開可得一

取拉氏反變換，得微分方程的解為~

Gji=1-痣”一二~

由于r(i)=l(f),國s)=L代入上式整理可得，

S

]

s(s?+2s+l)

解：對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換〃

s2c(s)+2c(s)+C(s)=R(s)

例2-4已知系統(tǒng)的微分方程為華1+2竺+°(1)=，(#,r口)及其各階導(dǎo)致在

ai*at

?=0時(shí)的值均為零，》>0時(shí)「“)=1,求系統(tǒng)的輸出響應(yīng).，

令：4=生，稱為直流電動(dòng)機(jī)的電磁時(shí)間常數(shù)，單位為秒。，

0

且0,稱為直流電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)，單位為秒11V

3756c6；KI

則式(2-18)可寫為

(2-19*

4噂+4+吟

校房一個(gè)二階常系額線性微分方程."

(3)消去中間變量，寫出標(biāo)準(zhǔn)微分方程”

理想空載情況下，2^=7>=0,結(jié)合式(2-15)和式(2-16)可得〃

GD2dn

375C；H

再將式(2-17)和式(2-14)代入式(2-13),整理可得直流電動(dòng)機(jī)的微分方程。

25

Ld^dnGD%dnud

0375Gqi源375Gqs出G

(2)列寫微分方程式組“

根據(jù)直流電動(dòng)機(jī)的等效電路和基爾霍夫定律可得，

%=刈+&孚+e

(2-13)+，

at

根據(jù)電機(jī)原理可得，

(2-14*

T_T_7二空處

e1f315di

(2-16>

其中，C,為電機(jī)的反電勢(shì)系數(shù)，GD2為電機(jī)的飛輪慣量，Q為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，均為常數(shù).

Rd

(a)(b)

圖2-3例2-3直流電機(jī)原理圖及其等效電路”

解：(1)確定輸入量、輸出量及中間變量"

電樞電壓也為輸入量，電機(jī)轉(zhuǎn)速n為輸出量。通過對(duì)直流電動(dòng)機(jī)的分析，可選電樞

電流力、電磁轉(zhuǎn)矩工、反電勢(shì)e為中間變量，負(fù)載轉(zhuǎn)矩7；和磨擦轉(zhuǎn)矩與為擾動(dòng)量(與輸

入量作用相似).。

例2-3圖2-3為直流電動(dòng)機(jī)的原理圖和等效電路圖，其中u、i、R、Z和e分

別表示電樞電壓、電流、電阻、電感和反電勢(shì)，T為電磁轉(zhuǎn)矩，7為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，2｝為磨

擦轉(zhuǎn)矩.試以電樞電壓〃為輸入量，以電機(jī)轉(zhuǎn)速月為輸出量，建立空載情況下直流電動(dòng)

機(jī)的微分方程.，

第二節(jié)拉普拉斯變換

□應(yīng)用拉普拉斯變換可將微分方程的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求

解，使線性系統(tǒng)的分析大大簡(jiǎn)化。

□拉普拉斯變換是分析線性定常系統(tǒng)的有力的數(shù)學(xué)工具。

□自動(dòng)控制系統(tǒng)的其它數(shù)學(xué)模型都是建立在拉普拉斯變換基礎(chǔ)之

上的。

一、拉普拉斯變換的定義

二、常見函數(shù)的拉氏變換

=>E(s)=l

〃，)=1

J

F（5）=7

n

=*S)T

=辦s+a

/(r)=sin69r=尸”小

尸⑶=：2

/(r)=cos69rn

通常稱/s）稱為冢函數(shù)，稱/陽稱為原函數(shù)。

拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）：設(shè)函數(shù)力加，當(dāng)t之。時(shí)有定義，而且積分

Cf\t\e~dt（s=cr+Jco為復(fù)數(shù)形式的變量）

在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫成，

尸！si=jf1/\e~di

函數(shù)msi稱為/i八的拉普拉斯變換式（簡(jiǎn)稱拉氏變換式），記為=Z［力加］

二、拉氐變換的性質(zhì)

若中(川"⑸兒削卜月⑶”力(3=&(S)

則拉氏變換具有如下性質(zhì)：

1、比例定理：L[燈”)]=K尸(s)

2、疊加定理：乙[%(，)+優(yōu)(，)]=西(s)+66(s)

"2122!_2s2+4

①力？1=2+2戶，則尸isl=-S+SL[L

.+-!_=2s：+l

②fisi=i+sini,則尸isi=1+1'+l'

-aFasA

3、相似定理：Lf-7

/(，)=sin(￡j

?

1

-

2

方法一：直接變換1

2+

4

F

方法二：相似定理

c

4、位移定理：L[e-"f(t)]=F(s+a)1

則三.兀力二

=s+2

s=L[tre~

(Zs+1)『

12

L[sina}t]~iL^sin2t^e-t______________

+a-1=(5+1)2+4

5、微分定理：

彳與卜s尸⑸-力0)?

L=?F(y)-5f(0)-/(0)

4小卜口―叫一

—A1J(o)

在零初始條件下，即〃0)=/(0)=…=/E)(0)=0,微分定理的通式可寫為：

「才力川

L/=s,⑸

本課程中，一般只在零初始條件下對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換。"

6、終值定理:

若力H和孚均可進(jìn)行拉氏變化，且hm/小存在，則，

di19

ficoi=limsF\s\

5To

械這一定理,可直翻用尸(s)來求函數(shù)刖的畿值,這在后面分析系統(tǒng)觴

誤差胞廣解應(yīng)肌。

例2-5求下列函數(shù)的拉氏變化式"

蟲＜/(￡)=/+2￡-3②/⑷=5-07③/(z)=2+si閥—

解：蟲)==+2-3=—"+『+2

S'SSS

F(s}=-——二=5S?+9S+5

S(s+1)S(S+1)2

j_

/(S)=3+，^_12?+25+3

sF=S(4S2+1)

小結(jié)一一拉氐變換的性質(zhì)

#4/1(川"(s)”工⑴卜耳⑸江力(/)]=瑪(5)

則拉氏變換具有如下性質(zhì)：

1、比例定理：L[B(，)]="(S)

2、疊加定理：入回⑺+桃(。]=西($)+%⑸

3、相似定理：七卜"(詞

4、位移定理：￡后“/⑺卜尸(s+a)

5、微分定理：[下⑸

6、終值定理：〃8)=吧;/(s)

三、拉氏反變換一一部分分式展開法

□拉氏反變換：由尸(S)求At)的運(yùn)算，稱為拉氏反變換。

設(shè)mSI為一般的有理分式，

9is)=-----=今-----若----------—,(m<n)

A\s)s+axAs+…+%s+a0

對(duì)尸2I進(jìn)行拉氏反變換，通常采用部分分式展開法.，

首先要將Asi進(jìn)行因式分解，根據(jù)4s=0根的情況不同，部分分式展開的方法可

分三種情況.2

1.As1=0無重根

若月⑸二年-加卜-㈤…w-外)，0,0為不同實(shí)根，則有。

歹國=-—居

As)s-0s-p2

其中待定系數(shù)。

,㈤s)

￡=—

As)

K.(J=1,2,-,?)又稱為極點(diǎn)5=p,上的留數(shù).P

例2~6求防(S)=J+3的拉氏反變換/大)-

s+3s+2

/xs+3s+3K]K、

解：^'S'-S2+3S+2~(5+1)(.V+2)-7+T+7+2

&=(5+1)---~V7~----?=2

L(S+1)(S+2)L

__/s+3.

K=(5+2)----------=-1

2LT+I)(S+2)L

L/、21

貝U

所以/")=LV(s)]=2/-1

/\2

【隨堂練習(xí)】A求其拉氏反變換

JIJJIU

"($+2,+3)旦+旦

結(jié)果檢查:54-254-3

=2

F（5）=————

'75+2S+3

〃。=匚［/（5）］=26口_2H3,

【隨堂練習(xí)】*s）=（s+l）（；』（s+3）求其拉氏反變換

%)=旦+旦+旦

結(jié)果檢查：5+15+25+3

5

?_s2+1_/(S)=———I———

&=(s+2)(s+3)-=ls+1S+2s+3

2/(r)=L-'[F(.)]

K_S+1__c=e~'-5e~2'+5e-3z

2-(S+1)(S+3)」

K=s,+l

=5

3_(S+D(S+2)

5=-3

2.4si=Q有重根

若力(S)=(S-R)(s-/+1)(s-p,+2)…js-pj,即S=P1為r重根，其它為單

實(shí)根，則尸ISI可展開為。

K產(chǎn)向圖")喘]L

區(qū)-衛(wèi),的求法與無重根情況相同，這里不再重復(fù)。

例2-7求歹(s)=----y------的拉氏反變換/口)

[S+1[2+2)

解:1;?K21K3?K4

(S+1)3(S+2)S+1(5+1)2(s+以s+2

(s+1)，--------；--------

(S+1)G+2)L=1

d_1_

ds(s+2)(s+2『

/(r)=r'[F(.s-)]

1d_1_

2!PL[(S+2)L7

二(s+2)----------

L(S+1)(S+2)L

.1-11-1

)=--------H-----------H-------------rH------------

s+1(s+1)(s+1)s+2

【隨堂練習(xí)】求下列象函數(shù)的拉氏反變換

（1"3=7^7（2）尸（s）=/；片十

（5+2）（5+2）（54-1）

F(s)=旦+1+

s+2(s+2p(s+1)

結(jié)果檢查：

K、=—=-l

-2

2t

⑴f（t）=te-\d_54-3

-2

|ds_v+1(s+l)Lz

5+3

2tK「=2

（2）/（。=-2te~+2"，(s+2)i

網(wǎng)上三十2

(s+2)+(s+l)

3.Asi=0有共匏的復(fù)根

?實(shí)系數(shù)方程虛根總是成對(duì)出現(xiàn)。

?當(dāng)特性方程有虛根時(shí)，常采用配方的方法，使F（s）

展曹式中出現(xiàn)如「形式的建窯分式

CD

2222\22(s+a)+①-

S+(Os+a)~s+a]+CD

/、2s+12

例2-8爪5)==7?

求其拉氏反變換。

解：〃⑻用2(s+l)+IO

(S+1)2+22

(S+I)2

2--------；------+5-；------

(s+l)-+2[------(5+1)-+22

/(f)=r'[F(.v)]

=2e~'cos2/+5e“sin2t=e-,(2cos2/+5sin2t)

2s?+45+4

/(s)=

例2-8s卜2+4)求其拉氏反變換。

解：/x_Ks+(_(%+()$~+K?s+4K3

令尸⑸:不}丁+7二鏟刁

同愿式相比較,由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得

M+(=24=1

<K2=4即〈扁=4

4K3=4

4=1

/(/)=/丁[尸($)]=cos2/+2sin2t+1

S+5

【隨堂練習(xí)】*s)=l+l)(s+2)求其拉氏反變換

結(jié)果檢查:

311.3

—cos/H——smt+—e

/3)=一55

四、應(yīng)用Matlab進(jìn)行部分分式展開

nMKtlKh中復(fù)南的奉示.令牛公舟同次

尸⑶=嗎="S'+???+1?+%

nny

denans+an_xs~-\-----\-axs+aQ

n復(fù)函新的蛤入神加=瓦%'…'4也]

den=[a“,arc%,ao]

II續(xù)函教T的底開?)S-P1S-PiS-pn

n米展并忒南虱z，p,眉=儂，向e(〃沏,de小

/、2s3+5s~+3s+6

例2-9-1-($)=S3+6[+]]S+6用Matlab求其展開式。

在命令提示符“>>”下輸入如下命令：，：

>>mum=⑵5,3,6];3

den=[l,6,11,6],

[r,p,k]=residue(num,den)J

執(zhí)行結(jié)果：

r=p=k=

-6.000-3.0002

-4.000-2.000

3.000-1.000

/、—6—43

所以有：丑)=有+壬+西+2

F（s）=3"產(chǎn)+3

例用Matlab求其展開式。

2-9-2'7S3+3S2+3S+1

在命令提示符“>>”下輸入如下命令：

>>mum=[0,1,2,3]*

den=[1,3s3$1]

[rjPJk]二residue(num,den)^

執(zhí)行結(jié)果：

r=p=k=

1.000-1.000[]

0.000-1000

2.000-1.000

口/102c

所以有.F(5)=TT7+7~~~~^r+0

口?s+l(S+1)(s+l)

五、微分方程的求解

求解步驟如下：

□將微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以為變量的代數(shù)方程。

□解代數(shù)方程，求出輸出量的拉氏變換表達(dá)式，即關(guān)于的有理分

式。

□對(duì)輸出量的拉氏變換式進(jìn)行部分分式展開。

□再進(jìn)行拉氏反變換，所得時(shí)域表達(dá)式就是微分方程的解。

例2~10求下列方程的解c(f)

立史+5.生舊+6c"i=6,其中c(0)=2,c'i01=2

didt

解:對(duì)方程兩邊取拉氏變換得

/C(5)-5C(0)-C(0)+5C(5)-5C(0)+6C(5)=-

S

將初始條件代入上式整理得

+5s+6)C(5)=2d+⑵+6

/\2s~+12s+62s~+12s+6

即s51+55+6)s(s+2)(s+3)

令C(s)J+2+旦

s5+2s+3

__2/+12s+61

K、=s,-------------二I

LS(S+2)(S+3)L

2s?+12s+6

K=(s+2〉=5

2s(s+2)(s+3)

s=-2

2s?+12s+6

"(s+3〉=—4

s(s+2)(s+3)

s=-3

即I54

C(s)=—?----------

ss+2s+3

所以c⑺=ri[C(s)]=I+5H&—4e-3t

第三節(jié)傳遞函數(shù)

1.傳遞函數(shù)(TransferFunction)是在利用拉氏變換求解線性微分方程

的基礎(chǔ)上得到的一個(gè)重要概念，它是控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，

同時(shí)也是經(jīng)典控制理論中用得最多的一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

2.傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。

二、傳遞函數(shù)的求取

□由微分方程求傳遞函數(shù)：零初始條件下，根據(jù)

微分定理，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換。

du

例如，某RC電路的微分方程為AC方+/=%

其中，%為輸入量，u為輸出量在零初始條件下，對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換并整理

可得(RCs+l)Uc(s)=U,(s)

-/、U(s)1

所以，底電路的傳遞函數(shù)G(s)=—=------

'7U,.(s)RCs+l

RLC元件的復(fù)阻抗

例2~11試求圖2-5所示電路的傳遞函數(shù)，Z為輸入量，u,為輸出量。

Rc

+d-------1-----k

—>

⑤

R

+O

—>

力（S）女*S（s）

~Cs丁“（5）

o■o-

&砌

cs

UUMR+?R+Ls+1

cs

CS

G(s)=------G(5)=----;--------

'fRCs+\'fLCs+/?Cv+I

三、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

一般地，n階系統(tǒng)可以用如下n階微分方程描述

dKc(t\才方（］）dc\t)

+4c(i)

,(??<?)

,才力)d+0

=b.......—+4,-1+…+4^^+4力)

di"dr-xat

在零初始條件下，對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，可求得其傳遞函數(shù)

C（S）5心廣】

G(s)=+…+M。,(^<?)

國S)-%sX+4_/T+…+。］5+/

傳遞函數(shù)具有如下性質(zhì):

(1)傳遞函數(shù)為變量S的有理分式，且〃之相

(2)只適用于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)。

(3)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的固有特性，與外加信號(hào)無關(guān)。

(4)只適用于零初始條件系統(tǒng)。

(5)系統(tǒng)的性質(zhì)由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定。

㈠-"J(j)…(s-p”)(-)

五、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

第四節(jié)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

1.控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖，根據(jù)系

統(tǒng)的物理原理，按信號(hào)傳遞的關(guān)系，依次將各框圖正確地連接起來，

即為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(DynamicBlockDiagram)<,

2.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)的又一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖便于求

解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，同時(shí)能形象直觀地表明信號(hào)在系統(tǒng)或元件中的傳

遞過程。

一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖由四種基本符號(hào)構(gòu)成，即信號(hào)線、引出點(diǎn)、綜合點(diǎn)和

方框。

U(s)U，)R(s)gR(s)±8(+)

U(s)|±

8(s)

信號(hào)線引出點(diǎn)綜合點(diǎn)方框

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號(hào)

(1)信號(hào)線：是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在信號(hào)線

上可標(biāo)記信號(hào)的復(fù)域名稱。

(2)引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在

數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。

⑶綜合點(diǎn)：表示對(duì)兩個(gè)及兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，號(hào)表示

相加，“一”號(hào)表示相減，號(hào)通?？墒÷浴?/p>

(4)方框：表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的

傳遞函數(shù)。顯然，方框的輸出量等于方框的輸入量與傳遞函數(shù)的乘積,

即C(s)=R(s)G(s)。

二、環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式

環(huán)節(jié)之間的基本聯(lián)接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接。

1、環(huán)節(jié)的串聯(lián)

前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入。

G⑸二署普蓬??…墨?―⑸一伉⑸

串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積

2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)幾個(gè)環(huán)節(jié)同時(shí)受一個(gè)輸入信號(hào)的作用，而輸出信號(hào)又匯

合在一起，環(huán)節(jié)的這種聯(lián)接方式稱為并聯(lián)。

幾個(gè)環(huán)節(jié)同時(shí)受一個(gè)輸入信號(hào)的作用，而輸出信號(hào)又匯合在一起，環(huán)

節(jié)的這種聯(lián)接方式稱為并聯(lián)。

匕G)

C(s)

LG)

C(s)_T(s)+Y2(s)—匕。)

G(s)二二G1(s)+G式s)—G3S)

R(s)H(s)

并聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

3.反饋聯(lián)接

?首尾相聯(lián)，形成一個(gè)閉合回路，這種聯(lián)接方式稱為反饋聯(lián)接。

+H

8G)I________H(s)--

?R(s)為系統(tǒng)的輸入信號(hào),

C(s)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；B⑸為系統(tǒng)的反饋信號(hào)。

?前向通道中的環(huán)節(jié)G(s)稱為前向環(huán)節(jié);

反饋通道中的H(s)稱為反饋環(huán)節(jié)。

?反饋方式分為正反饋和負(fù)反饋兩類

環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式

3.反饋聯(lián)接RG).g.國—fg)

(1)負(fù)反饋聯(lián)接——

_________H(s)

，C(s)=G(s)E⑸一-------

'E@=R(s)-B(SQ、①(S)=2=__