專題11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型

模型1、等腰三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的

性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。

1）無圖需分類討論

①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；

③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。

2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：

即：如圖：已知A，B兩點是定點，找一點C構(gòu)成等腰△ABC

方法：兩圓一線

具體圖解：①當ABAC時，以點A為圓心，AB長為半徑作⊙A，點C在⊙A上（B，C除外）

②當ABBC時，以點B為圓心，AB長為半徑作⊙B，點C在⊙B上（A，E除外）

③當ACBC時，作AB的中垂線，點C在該中垂線上（D除外）

例1．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別是m，n，若m，n滿足

2

m3n50，那么它的周長是（）

A．11B．13C．11或13D．11或15

例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）一個等腰三角形的周長為18cm，且一邊長是4cm，則它的

腰長為（）

A．4cmB．7cmC．4cm或7cmD．全不對

例3．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）等腰三角形的一個角是80，則它頂角的度數(shù)是（）

A．80B．80或20C．80或30D．20

例3．（2023·四川廣安·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角為100，則它的底角為（）

A．55B．80C．55或80D．以上都不是

例4．（2023·四川綿陽·八年級校考階段練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為70，則等腰三角形

的頂角度數(shù)為．

例5．（2023·山東濱州·八年級校考期末）我們稱網(wǎng)格線的交點為格點．如圖，在6行5列的長方形網(wǎng)格中

有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點

C的個數(shù)是（）

A．3B．4C．5D．6

例6．（2023·北京·八年級期中）RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在ABC外部作等腰直角

三角形ACD，則線段BD的長為__△__．△

例7．（2023·福建南平·八年級?？计谥校┮阎鰽BC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩

個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點B的二分割線．如

圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若

直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．

例8．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩點的坐標分別為2,4，6,0，點P是x軸上一點，

且ABP為等腰三角形，則點P的坐標為．

例9．（2023·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，ABC中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若點P從

點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線ABCA運動，設(shè)運動時間為t秒（t0）．

(1)若點P在BC上，且滿足PAPB，求此時t的值；(2)若點P恰好在ABC的角平分線上，求此時t的值：

(3)在運動過程中，當t為何值時，△ACP為等腰三角形．

例10．（2022春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，經(jīng)過A2，6

的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OBOC，直線AD交x軸負半軸于點D，若△ABD的面積為27

(1)求直線AB的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段AB上（不與點A、B重合），過點P作x

軸的平行線交AD于點E，設(shè)PE的長為yy0，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應的m取值范

圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；

若不存在，請說明理由．

模型2、直角三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性

質(zhì)或勾股定理解題即可。

1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是

直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。

2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）

即：如圖：已知A，B兩點是定點，找一點C構(gòu)成Rt△ABC

方法：兩線一圓

具體圖解：①當BAC90時，過點A作AB的垂線，點C在該垂線上（A除外）

②當ABC90時，過點B作AB的垂線，點C在該垂線上（B除外）。

③當ACB90時，以AB為直徑作圓，點C在該圓上（A，B除外）。

例1．（2023春·河南安陽·八年級校考期末）若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊

的長為．

例2．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，AD是ABC的角平分線，CE是ABC的高，BAC60，

ACB78，點F為邊AB上一點，當VBDF為直角三角形時，則ADF的度數(shù)為．

例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A，B，連接AB，在

網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P

在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標為________．

例5．（2022秋·遼寧丹東·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC為一邊，在△ABC

外作等腰直角△ACD，則線段BD的長為．

例6.（2023春·山東東營·八年級?？茧A段練習）如圖，長方形ABCD中，ABCD6，ADBC10，點E

為射線AD上的一個動點，若ABE與ABE關(guān)于直線BE對稱，若ABC為直角三角形，則AE的長為．

例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ABC30，ABAC23，點D是邊BC

上的點，將ACD沿AD折疊得到△AED，線段AE與邊BC交于點F．若CDE為直角，則CD的長是．

例8．（2023秋·河南商丘·八年級校考期中）如圖，ABC中，ABBCCA6cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從

點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一

次到達B點時，M、N同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形AMN？

(3)當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N

運動的時間．(4)點M、N運動______________________后，可得到直角三角形AMN．

例9．（2023秋·河南漯河·八年級校考期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點，

BDCE，AD與BE相交于點P，AP4，Q是射線PE上的動點．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值．

例10．（2023·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4，4），點B的

坐標為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負半軸

于點C，射線AD交y軸的負半軸于點D．當∠CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，

求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點M（-4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點，

點P是直線AB上一點．當PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標．

△

課后專項訓練

1．（2023·福建龍巖·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點A2,0，B0,2，若點C在x軸上，

且ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為1,3，若M為x軸上

一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

3．（2022·安徽淮北·九年級階段練習）如圖，在ABC中，C90，BC8，AC6．若點P為直線BC

上一點，且△ABP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）．

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線

為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條

件的M點有（）

A．6個B．7個C．8個D．9個

5．（2023·四川涼山·八年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是36，則底角是．

6．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫作等腰

三角形的“特征值”，記作k．若k=2，則該等腰三角形的頂角為度．

7．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖，ABC中，C90，BC6，ABC的平分線與線段AC交于

點D，且有ADBD，點E是線段AB上的動點（與A、B不重合），連接DE，當BDE是等腰三角形時，

則BE的長為___________．

8．（2023·上虞市初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個

動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形

都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．

9．（2022·河南·鄭州八年級階段練習）如圖，已知等腰ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個動點，

將ABE沿著AE折疊到ADE處，再將邊AC折疊到△與AD重合，折痕為AF，當DEF是等腰三角形時，

BE△的長是___________．△△

10．（2022·河南南陽·二模）如圖，在RtABC的紙片中，C90，AC5，AB13．點D在邊BC上，

以AD為折痕將△ADB折疊得到ADB，AB與邊BC交于點E．若DEB為直角三角形，則BD的長是

_______．

11．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC

＝60°，則當PAB為直角三角形時，△AP的長為____．

△

12．（2023春·江西鷹潭·八年級校考階段練習）如圖，在ABC中，已知BCA90，ABC30，AC6．A，

B在直線l上．現(xiàn)將ABC在直線l上進行平移，當△ABC為直角三角形時，AB的長為．

13．（2022秋·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形OABC是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標

系中，使得點O與坐標原點重合，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為3,4，D的坐標

為2,4，現(xiàn)將紙片沿過D點的直線折疊，使頂點C落在線段AB上的點F處，折痕與y軸的交點記為E．

(1)求點F的坐標和FDB的大??；(2)在x軸正半軸上是否存在點Q，滿足S△QDES△CDE，若存在，求出Q點

坐標，若不存在請說明理由；(3)點P在直線DE上，且PEF為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．

14．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂

點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA3，OB5，點D為y軸上一點，其坐標為(0,1)，點P從點A出

發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段ACCB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動．

(1)當點P與點C重合時，求直線DP的函數(shù)解析式；(2)設(shè)運動時間為t秒．當點P在運動過程中，

①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②是否存在等腰三角形△BDP？若存在，請求出點P的坐標；

若不存在，請說明理由．

3

15．（2022春·四川成都·八年級?？茧A段練習）如圖，平面直角坐標系xOy中，直線yx3交x軸于點A，

4

交y軸于點B，點P是線段OA上一動點（不與點A重合），過點P作PCAB于點C．

(1)當點P是OA中點時，求△APC的面積；(2)連接BP，若BP平分ABO，求此時點P的坐標；

(3)BP平分ABO，在x軸上有一動點H，H橫坐標為a，過點H作直線lx軸，l與線段PC有交點，求a

的取值范圍；(4)BP平分ABO，M為x軸上動點，△CPM為等腰三角形，求M坐標．

16．（2023春·吉林長春·八年級?？茧A段練習）如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個

單位長度，存在線段AB，端點A，B均落在格點上，構(gòu)建如圖所示平面直角坐標系．

(1)直接寫出點A，B的坐標：A（______，______），B（______，______）；

(2)請在網(wǎng)格中找到點C，連接AC，BC，使ABC為等腰直角三角形，此時點C的坐標為______；

(3)如圖所示，網(wǎng)格中（包括網(wǎng)格的邊界）存在點P，點P的橫縱坐標均為整數(shù)，連接PA，PB，得到銳角PAB，

且PAB為等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．

17．（2023秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-1，0)，點B是直線

yx4上的動點，連接AB，設(shè)點B的橫坐標為a．

(1)如圖1，當a2時，以AB為直角邊在AB下方作等腰直角三角形ABC，使BAC90，求點C的坐標．

(2)如圖2，把線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AD，當點B在直線yx4上運動時，點D也隨之

運動，連接OD，求AOD的面積（用含a的代數(shù)式表示）．

(3)在圖3中以AB為直角邊作等腰直角三角形ABE，當點E落在直線y=x5上時，求a的值．

18．（2023秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為