第10講特殊的平行四邊形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理與判定定理.3.了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形、菱形、正方形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.有一組鄰邊相等并且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形.要點(diǎn)二、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.菱形的性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；3.菱形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.正方形的性質(zhì)：1.正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.2.正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.3.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.菱形的判定：1.四條邊相等的四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，正方形的判定：1.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.2.有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】（基礎(chǔ)）類型一、矩形的性質(zhì)和判定 1、如圖所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，AB＝4，則矩形對(duì)角線AC長(zhǎng)為________．【答案】8；【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO．∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．又∵AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AC＝2AO＝2AB＝8．【總結(jié)升華】矩形的性質(zhì)常用于求線段的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，在解題過程中應(yīng)根據(jù)題目選擇不同的性質(zhì)來加以應(yīng)用． 2、已知：平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE.（1）求證：△BEC≌△DFA；（2）連接AC，若CA＝CB，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.【答案與解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四邊形AECF是矩形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四邊形AECF是平行四邊形.∵CA＝CB，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四邊形AECF是矩形.【總結(jié)升華】要證明△BEC和△DFA全等，主要運(yùn)用判定定理（邊角邊）；四邊形AECF是矩形，先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證這個(gè)平行四邊形對(duì)角線相等或者有一個(gè)角是直角.舉一反三：【變式】如圖，平行四邊形ABCD中P是AD上一點(diǎn)，E為BP上一點(diǎn)，且AE=BE=EP．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）過E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）證明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四邊形ABCD∴四邊形ABCD為矩形；（2）解：如圖連接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四邊形PMCD為矩形，同理四邊形ABMP為矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM，∴EN=PM=2，∵·BF·EN=5，∴BF=5，∵EF⊥BP，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=，∴CF=BC-BF=-5．類型二、菱形的性質(zhì)和判定3、如圖所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的長(zhǎng)．(2)菱形ABCD的面積．【答案與解析】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，AO＝AC，OB＝BD．又∵AC＝8，BD＝10．∴AO＝×8＝4，OB＝×10＝5．在Rt△ABO中，∴，∴．(2)由菱形的性質(zhì)可知：．【總結(jié)升華】(1)由菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AB的長(zhǎng)．(2)根據(jù)“菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半”來計(jì)算．舉一反三：【變式】菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為6和8，則菱形的邊長(zhǎng)為________．【答案】5；解：設(shè)該菱形為ABCD，對(duì)角線相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形性質(zhì)知：AC與BD互相垂直平分，∴，，∴．4、如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥AC，DF∥BC，四邊形DECF是菱形嗎?試說明理由．【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE∥AC，DF∥BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由∠1＝∠2＝∠3得到鄰邊相等即可．【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四邊形DECF是平行四邊形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四邊形DECF是菱形．【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由一對(duì)鄰邊相等來判定它是菱形．類型三、正方形的性質(zhì)和判定 5、如圖，在一正方形ABCD中．E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED，（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】先由正方形的性質(zhì)得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根據(jù)SAS證出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠AEF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠DAC，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠AFE的度數(shù)．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB＝140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．答：∠AFE的度數(shù)是65°．【總結(jié)升華】本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE＝CF，連接DE，BF．求證：DE＝BF．【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE． 6、如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連結(jié)CF．（1）若DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）通過證明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，從而得到∠GHE=90°，然后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形為正方形得到四邊形EFGH為正方形；（2）作FQ⊥CD于Q，連結(jié)GE，如圖，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得HE=GF，HE∥GF，則∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可證明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形EFGH為菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，連結(jié)GE，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四邊形EFGH為菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面積=CG?FQ=×2×2=2．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)：正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．也考查了菱形和矩形的性質(zhì)．【典型例題】（提高）類型一、矩形的性質(zhì)和判定 1、如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．求證：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路點(diǎn)撥】(1)矩形的四個(gè)內(nèi)角都等于90°，利用條件△PBC和△QCD都是等邊三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度數(shù)；(2)利用(1)的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進(jìn)一步證明△PAB≌△PQC(SAS)，從而證得PA＝PQ．【答案與解析】證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等邊三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等邊三角形，∴PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ．【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對(duì)問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可．舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)處，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．(1)求證：；(2)設(shè)AE＝，AB＝，BF＝，試猜想之間有何等量關(guān)系，并給予證明．【答案】證明：(1)由折疊可得．∵AD∥BC，∴，∴，∴．(2)猜想．理由：由題意，得，．由(1)知．在中，∵，，，，∴． 2、如圖1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，∠DFC=2∠BCE．

①如圖2，若F為AD中點(diǎn)，DF=1.6，求CF的長(zhǎng)度：

②如圖2，若CE=4，CF=5，則AF+BC=________，AF=_________．

【答案與解析】

（1）證明：∵AB∥CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，

∴∠A=90°，

∴四邊形ABCD為矩形；

（2）解：①延長(zhǎng)DA，CE交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，

∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，

∵E是AB邊的中點(diǎn)，

∴AE=BE，

在△AGE和△BCE中，，

∴△AGE≌△BCE（AAS），

∴AG=BC，

∵DF=1.6，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，

∴BC=3.2，

∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∵∠DFC=2∠BCE，

∴∠BCE=∠FCE，

∵AD∥BC，

∴∠BCE=∠G，

∴CF=FG=4.8；

②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，

∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；

故答案為：5；

設(shè)DF=x，

根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，

即52﹣x2=82﹣（5+x）2，

解得：x=，

∴DG=5+=，

∴AD=DG=，

∴AF=AD﹣DF=；

故答案為：．

【總結(jié)升華】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理的運(yùn)用；本題有一定難度.舉一反三：【變式】已知ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求這個(gè)平行四邊形的面積.【答案】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴△ABO≌△DCO又∵△ABO是等邊三角形∴△DCO也是等邊三角形，即AO＝BO＝CO＝DO∴AC＝BD∴ABCD為矩形.∵AB＝4，AC＝AO＋CO

∴AC＝8在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC＝∴矩形ABCD的面積為：AB·BC＝16類型二、菱形的性質(zhì)和判定3、如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，則∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度數(shù)，只要求出∠AEF的度數(shù)即可，由∠EAF＝60°，結(jié)合已知條件易證△AEF為等邊三角形，從而∠AEF＝60°．【答案與解析】解：連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴AE＝AF．∴△AEF為等邊三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【總結(jié)升華】當(dāng)菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°時(shí)，連接菱形較短的對(duì)角線得到兩個(gè)等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù)．在求角的度數(shù)時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系．4、矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB、CD的延長(zhǎng)線分別交于E、F兩點(diǎn)．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是菱形，并證明你的結(jié)論．【答案與解析】(1)證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．證明：由(1)知，△BOE≌△DOF，∴OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．【總結(jié)升華】要證明四邊形是菱形，先證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，再利用對(duì)角線互相垂直的特征證明該平行四邊形是菱形.舉一反三：【變式】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點(diǎn)O．

（1）證明：四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】（1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴CD=AD，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：∵四邊形ADCE是菱形，

∴AC⊥DE．

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴DE∥BC，∵CE∥AB，

∴四邊形BCED是平行四邊形，∴DE=BC；

（3）解：過點(diǎn)D作DE⊥CE，如圖所示，

∴DF是菱形ADCE的高，

∵∠B=60°，CD=BD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=60°，

∴DF=．類型三、正方形的性質(zhì)和判定 5、如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連接DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M．求證：AM⊥DF．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)DE=CF，可得出OE=OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，即得出了結(jié)論．【答案與解析】證明：∵ABCD是正方形，∴OD＝OC，又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，在Rt△AOE和Rt△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過全等的證明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代換解題．舉一反三：【變式】如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BK＝AG．以線段DE、DG為邊作DEFG．(1)求證：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)連接KF，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．【答案】證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG．(2)四邊形CEFK為平行四邊形．證明：設(shè)CK，DE相交于M點(diǎn)，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD．∴四邊形CKGD為平行四邊形．∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四邊形CEFK為平行四邊形．6、如圖所示，已知矩形ABCD的各內(nèi)角平分線AQ、DF、BE、CH分別交BC、AD于點(diǎn)Q、F、E、H，試證明它們組成的四邊形MNPO是正方形．【思路點(diǎn)撥】矩形的各內(nèi)角平分線將每個(gè)內(nèi)角分成45°，它們和矩形的邊組成了等腰直角三角形，所以圍成的圖形為矩形，再證明一組鄰邊相等，得出結(jié)論．【答案與解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠1＝∠2＝∠DAB＝45°，∠3＝∠4＝∠ABC＝45°，∴∠OMN＝∠AMB＝90°．同理∠MNP＝90°，∠NPO＝90°，∴四邊形MNPO為矩形．又∵∠2＝∠4，∠5＝∠6，AD＝BC，∴△AOD≌△BNC，∴AO＝BN．又∵∠1＝∠3，∴AM＝BM，∴AO－AM＝BN－BM，即MN＝MO．∴矩形MNPO為正方形．【總結(jié)升華】(1)靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及判定，矩形的判定方法和正方形的判定方法．(2)本題解題思路：矩形＋鄰邊相等正方形．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是()A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分2.矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1和3兩部分，則它的面積為（）A.3B.4C.12D.4或123．已知菱形的周長(zhǎng)為40，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度比為3：4，那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為（）A．6，8B.3，4C.12，16D.24，324.如圖，菱形ABCD中對(duì)角線交于點(diǎn)O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，則,OE的長(zhǎng)是（）A．2.5B．5C．2.4D．不確定5.如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（）A.B.C.D.6.如圖，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長(zhǎng)為（）A．3B．2C．4D．8二.填空題7．如圖四邊形ABCD中，AB=，BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD，則BD=．8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)______．9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB中點(diǎn)，且DE⊥AB，則菱形ABCD的面積為______.10．已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，且相鄰兩內(nèi)角之比是1∶2，則菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)和面積分別是．11.如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是_______．12.如圖，平面內(nèi)4條直線是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)Ａ、Ｃ分別在直線和上，該正方形的面積是平方單位．三.解答題13．如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形BCDE是矩形．14.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形.15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；2.【答案】D；【解析】矩形的短邊可能是1，也可能是3，所以面積為4×1或4×3.3.【答案】C；【解析】設(shè)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為.所以有，∴，所以兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為12，16.4.【答案】C；【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=24，∴AB=5，S△AOB=6，∵AB·EO=AO·BO，∴5EO＝4×3，∴EO=．5.【答案】D；【解析】連接BP，過C作CM⊥BD.S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×CM×，∵BC=BE，∴PQ+PR=CM，∵BE=BC=1，且正方形對(duì)角線BD=BC=，又∵BC=CD，CM⊥BD，∴M為BD中點(diǎn)，又△BDC為直角三角形，∴CM=BD=，即PQ+PR=．故選：D．6.【答案】C；【解析】如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F，利用互余關(guān)系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判斷△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，＝＝16，DE＝4．二.填空題7．【答案】；【解析】解：如圖，作AM⊥BC，DN⊥BC，DH⊥MA，∵∠H=∠HMN=∠DMN=∠DNM=90°，∴四邊形MNDH是矩形，∴∠NDH=90°，∵∠NDH=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠CDN，在△ADH和△CDN中，，∴△ADH≌△CDN（AAS），∴DH=DN，∴四邊形MNDH是正方形，∴MN=MH．設(shè)AH=NC=，在Rt△ABC中，AB=，∠ABM=45°，∴BM=AM=4，CM=8，∴4+=8-，∴=2，∴AH=NC=2，MN=DN=6，∴BN=10，∴BD=.8.【答案】；【解析】設(shè)AE＝CE＝，DE＝，，.9.【答案】；【解析】由題意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為5，所以兩條對(duì)角線長(zhǎng)為5和，面積為.11.【答案】2；【解析】陰影部分面積等于正方形面積的＝×4＝2.12.【答案】5；【解析】過D點(diǎn)作直線EF與平行線垂直，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F．易證△ADE≌△DFC，得CF＝1，DF＝2．根據(jù)勾股定理可求得正方形的面積．三.解答題13.【解析】（1）證明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAB=∠DAC，在△ABE和△ACD中∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴BE=CD，又DE=BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠DCB∵四邊形BCDE為平行四邊形，∴EB∥DC，∴∠EBC+∠DCB=180°，∴∠EBC=∠DCB=90°，四邊形BCDE是矩形．14.【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO,∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四邊形BEDF是平行四邊形∵EF⊥BD∴平行四邊形BEDF是菱形.15．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)Q作QE⊥軸于點(diǎn)E，QF⊥軸于點(diǎn)F．AD×QE＝＝∴QE＝∵點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線AC上∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴過點(diǎn)D(0，4)，兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)＝0時(shí)，＝2，即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD＝QA此時(shí)△ADQ是等腰三角形；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP＝時(shí)，有AD＝AQ∵AD∥BC∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．∴CQ＝CP＝．∵AC＝，AQ＝AD＝4．∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．即當(dāng)CP＝－4時(shí)，△ADQ是等腰三角形．【課后作業(yè)】【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．下列命題中不正確的是()．A.直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半B.矩形的對(duì)角線相等C.矩形的對(duì)角線互相垂直D.矩形是軸對(duì)稱圖形2．若矩形對(duì)角線相交所成鈍角為120°，短邊長(zhǎng)3.6，則對(duì)角線的長(zhǎng)為()．A.3.6 B.7.2 C.1.8 D.14.43．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是()A.4B.8C.12D.164.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于()．A. B.4 C.1 D.25.如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，則EF的長(zhǎng)是（）

A．7B．8C．D．6.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°二.填空題7．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，則AB＝______，BC＝______．8.如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是1，則它移動(dòng)的距離等于____.9.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是_______.10.如圖，兩條等寬的長(zhǎng)方形紙條傾斜的重疊著，已知長(zhǎng)方形紙條寬度為3cm，∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積為________cm2．11.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝13，AC＝10，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△BDE的周長(zhǎng)為_____.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.三.解答題13.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于點(diǎn)E．