第05講模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見八種模型(8類熱點(diǎn)題型講練)

目錄

【模型一平移型模型】......................................................................................................................................1

【模型二軸對稱型模型】..................................................................................................................................3

【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】......................................................................................................5

【模型四一線三等角模型】..............................................................................................................................9

【模型五三垂直模型】....................................................................................................................................13

【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】....................................................................................................................................18

【模型七倍長中線模型】................................................................................................................................24

【模型八截長補(bǔ)短模型】................................................................................................................................30

【模型一平移型模型】

例題：（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AD，AB∥DE，

BECF．

求證：ABDE．

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定的應(yīng)用以及兩直線平行的判定定理，解此題的關(guān)鍵是推出

△ABC≌△DEF，注意全等三角形的對應(yīng)邊相等；根據(jù)AB∥DE可知BDEF，又根據(jù)∠A=∠D，BE=CF

可以判定△ABC≌△DEF，即可求證ABDE．

【詳解】解：∵AB∥DE，

∴BDEF，

∵BECF，

∴BCEF，

∴在ABC和DEF中，

AD

BDEF

BCEF

∴△ABC≌△DEF，

∴ABDE．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在ACD和CEB中，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，

DE，AD∥EC，ADEC．求證：ACD≌CBE．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AECB，再根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證明ACD≌CBE．

【詳解】AD∥EC，

AECB，

在ACD和CEB中，

AECB

ADEC，

DE

△ACD≌△CBE(ASA)．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)

鍵．

2．（2024上·新疆和田·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，ADCF，ABDE，

BCEF．

(1)求證：△ABC≌△DEF；

(2)若A65，B82，求F的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

(2)33

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵．

（1）先證明ACDF，然后根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出FACB，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．

【詳解】（1）證明：∵ACADDC，DFDCCF，且ADCF，

∴ACDF，

在ABC和DEF中，

ABDE

BCEF，

ACDF

△ABC≌△DEF(SSS)，

（2）解：由（1）可知，△ABC≌△DEF，

∴FACB，

A65，B82，

ACB180(AB)180(6582)33，

FACB33．

【模型二軸對稱型模型】

例題：（2024上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）線段AC、BD相交于點(diǎn)E，DA，DEAE，求證：CB．

【答案】證明見解析．

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)ASA可證ABE≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得證．

【詳解】證明：在DEC和△AEB中

DA

DEAE

DEAAEB

△DEC≌△AEBASA，

ABE≌DCEASA，

CB

【變式訓(xùn)練】

1．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，ABAC，BDCE．求證：ACD≌ABE．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)ABAC，BDCE推出ADAE，即可根據(jù)SAS進(jìn)行求證．

【詳解】證明：ABAC,BDCE,ADABBD,AEACCE，

ADAE．

在ABE和ACD中，

ADAE

AA，

ACAB

ACD≌ABESAS．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的方法有

SSS,SAS,AAS,ASA,HL．

2．（2024上·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）如圖1是小寧制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，

ABAE，ACAD，BADEAC，C40，求D的度數(shù)．

【答案】40

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明BACEAD，再證明BAC≌EAD，即可得到

DC40．

【詳解】解：∵BADEAC，

BADDACEACDAC，

即BACEAD．

在BAC與EAD中，

ABAE,

BACEAD,

ACAD,

VBAC≌VEADSAS．

CD．

∵C40，

DC40．

【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

例題：如圖，在四邊形ABCD中，CBAB于點(diǎn)B，CDAD于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AEAF，

CECF．

(1)若AE8，CD6，求四邊形AECF的面積；

(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

【答案】(1)48

(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析

【解析】

【分析】

（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則SACE＝SACF，根據(jù)三角形面積公式求得SACF與SACE，根據(jù)S四

△△△△

邊形AECF＝SACF＋SACE求解即可；

（2）由△△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三

角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋

∠ECF＝2∠DFC

(1)

解：連接AC，如圖，

AEAF

在△ACE和△ACF中CECF

ACAC

∴△ACE≌△ACF（SSS）．

∴SACE＝SACF，∠FAC＝∠EAC．

∵C△B⊥AB，△CD⊥AD，

∴CD＝CB＝6．

11

∴SACF＝SACE＝AE·CB＝×8×6＝24．

22

△△

∴S四邊形AECF＝SACF＋SACE＝24＋24＝48．

(2)△△

∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

證明：∵△ACE≌△ACF，

∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．

∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，

∴∠DFC＝∠BEC．

∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，

∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC

＝∠DAB＋∠ECF．

∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上

一點(diǎn)，且CE=BF．

(1)試說明：DE=DF：

(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．

(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條

件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？

【答案】(1)見解析；

(2)CE+BG=EG，理由見解析；

1

(3)當(dāng)∠EDG=90°-α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．

2

【解析】

【分析】

（1）首先判斷出CDBF，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出ΔCDEΔBDF，即可判斷出

DEDF．

（2）猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CEBGEG．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

ABDACD，即可判斷出BDACDA60；然后根據(jù)EDG60，可得CDEADG，

ADEBDG，再根據(jù)CDEBDF，判斷出EDGFDG，據(jù)此推得ΔDEGΔDFG，所以EGFG，

最后根據(jù)CEBF，判斷出CEBGEG即可．

1

（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使CEBGEG仍然成立，則EDGBDACDACDB，即

2

11

EDG(180)90，據(jù)此解答即可．

22

(1)

證明：CABCCDBABD360，CAB60，CDB120，

CABD36060120180，

又DBFABD180，

CDBF，

在CDE和BDF中，

CDBD

CDBF

CEBF

ΔCDEΔBDF(SAS)，

DEDF．

(2)

解：如圖，連接AD，

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CEBGEG．

證明：在ABD和ACD中，

ABAC

BDCD，

ADAD

ΔABDΔACD(SSS)，

11

BDACDACDB12060，

22

又EDG60，

CDEADG，ADEBDG，

由（1），可得ΔCDEΔBDF，

CDEBDF，

BDGBDF60，

即FDG60，

EDGFDG，

在DEG和DFG中，

DEDF

EDGFDG

DGDG

ΔDEGΔDFG(SAS)，

EGFG，

又CEBF，F(xiàn)GBFBG，

CEBGEG；

(3)

解：要使CEBGEG仍然成立，

1

則EDGBDACDACDB，

2

11

即EDG(180)90，

22

1

當(dāng)EDG90時(shí)，CEBGEG仍然成立．

2

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．

【模型四一線三等角模型】

例題：（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F在MAN

內(nèi)部的射線AD上，1、2分別是ABE、△CAF的外角．若ABAC，12BAC，求證：△ABE

≌△CAF．

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，ABAC，ABBC，點(diǎn)D在邊BC上，CD2BD，點(diǎn)E、F

在線段AD上，12BAC，若ABC的面積為9，則ABE與CDF的面積之和為．

【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6

【分析】探究：根據(jù)ABAEABE，BACCAFBAE，得出ABECAF，根據(jù)12，

得出AEBCFA，再根據(jù)AAS證明即可；

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：SABESCAF，進(jìn)而得出SCDFSCAFSACD，根據(jù)CD2BD，ABC

2

的面積為9，得出SS6，即可得出答案．

ACD3ABC

【詳解】探究

證明：∵ABAEABE，BACCAFBAE，

又∵BAC1，

∴ABECAF，

∵12，

∴AEBCFA，

在ABE和△CAF中，

AEBCFA

ABECAF

ABAC

∴△ABE≌△CAFAAS；

應(yīng)用

解：∵△ABE≌△CAF，

∴SABESCAF，

∴SCDFSCAFSACD，

∵CD2BD，ABC的面積為9，

2

∴SS6，

ACD3ABC

∴ABE與CDF的面積之和為6，

故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．已知CD是經(jīng)過BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CACB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA．

(1)若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面問題：

①如圖1，若BCA90，90，求證：BECF；

②如圖2，若BCA180，探索三條線段EF，BE，AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，BCA，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明．

【答案】(1)①見解析；②EFBEAF，見解析

(2)不成立，EFBEAF，見解析

【分析】（1）①利用垂直及互余的關(guān)系得到ACFCBE，證明BCE≌VCAF即可；②利用三等角模

型及互補(bǔ)證明ACFCBE，得到BCE≌VCAF即可；

（2）利用互補(bǔ)的性質(zhì)得到EBCACF，證明BCE≌VCAF即可．

【詳解】（1）①證明：∵EECD，AFCD，ACB90，

∴BECAFC90，

∴BCEACF90，CBEBCE90，

∴ACFCBE，

在BCE和VCAF中，

EBCFCA

BECCFA，

BCCA

∴BCE≌VCAFAAS，

∴BECF；

②解：EFBEAF．

證明：∵BECCFA，ACB180，

∴CBE180BCE，ACFACBBCE180BCE，

∴ACFCBE，

在BCE和VCAF中，

EBCFCA

BECCFA，

BCCA

∴BCE≌VCAFAAS，

∴BECF，CEAF，

∴EFCFCEBEAF；

（2）解：EFBEAF．

理由：∵BECCFA，BCA，

又∵EBCBCEBEC180，BCEACFACB180，

∴EBCBCEBCEACF，

∴EBCACF，

在BCE和VCAF中，

EBCFCA

BECCFA，

BCCA

∴BCE≌VCAFAAS，

∴AFCE，BECF，

∵EFCECF，

∴EFBEAF．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)

鍵．

2．（2024上·湖南株洲·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖①，已知∶ABC中，BAC90,ABAC，直線m

經(jīng)過點(diǎn)A,BDm于D,CEm于E，求證∶△ABD≌△CAE；

（2）拓展∶如圖②，將（1）中的條件改為∶ABC中，ABAC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且

BDAAECBAC，為任意銳角或鈍角，請問結(jié)論DEBDCE是否成立？如成立，請證明；

若不成立，請說明理由；

（3）應(yīng)用∶如圖③，在ABC中，BAC是鈍角，ABAC,BADCAE，BDAAECBAC，

直線m與BC的延長線交于點(diǎn)F，若BC2CF,ABC的面積是12，求△ABD與△CEF的面積之和．

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）6

【分析】（1）先證明BDAAECBAC90，DBACAE，然后根據(jù)AAS即可證明ABD≌CAE；

（2）先證明DBACAE，再證明ABD≌CAEAAS，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

≌

（3）同（2）可證ABDCAEAAS，得出SABDSCEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于

底的比，得出S△ACF即可得出結(jié)果．

【詳解】解：（1）∵BDAAECBAC90，

∴BADCAE90，且DBABAD90，

∴DBACAE，

在△ABD和VCAE中，

BDACEA

ABDCAE，

ABAC

∴ABD≌CAEAAS；

（2）成立，證明如下：

∵BDAAECBACa，

∴BADCAE180a，且DBABAD180a，

∴DBACAE，

在△ABD和VCAE中，

BDACEA

ABDCAE，

ABAC

∴ABD≌CAEAAS，

∴BDAE，CEDA，

∴DEAEDABDCE．

（3）同（2）可證ABD≌CAEAAS，

∴SABDSCEA，

設(shè)ABC的底邊BC上的高為h，則△ACF的底邊CF上的高為h，

11

∴SBCh12，SCFh，

ABC2ACF2

∵BC2CF，

∴S△ACF6，

∵S△ACFS△CEFS△CEAS△CEFS△ABD6，

∴△ABD與△CEF的面積之和為6．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及不同底等高

的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，結(jié)合題目所給條件，得出CAEABD是解決問題的關(guān)鍵．

【模型五三垂直模型】

例題：（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，BAD90,ABAD，過點(diǎn)B作BCl于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DEl交于點(diǎn)E．得

1D．又BCAAED90，可以推理得到ABC≌DAE(AAS)．進(jìn)而得到結(jié)論：AC_____，

BC_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；

(2)如圖2，∠BADMAN90,ABAD,AMAN,BMl于點(diǎn)C，DEl于點(diǎn)E，ND與直線l交于點(diǎn)

P，求證：NPDP．

【答案】(1)DE，AE

(2)見解析

【分析】本題考查一線三直角全等問題，

（1）由CBAAEDBAD90，得122D90，則1D，而ABDA，即可證

明ABC≌DAE，得ACDE，BCAE，于是得到問題的答案；

（2）作NFl于點(diǎn)F，因?yàn)锽Ml于點(diǎn)C，DEl于點(diǎn)E，所以ACMNFANFPDEP90，

由（1）得ACDE，因?yàn)镸AN90，所以CAMFANFNAFAN90，則CAMFNA，

而AMNA，即可證明CAM≌FNA，得ACNF，所以NFDE，再證明PFN≌PED，則NPDP．

【詳解】（1））解：BCl于點(diǎn)C，DEl于點(diǎn)E，

∴CBAAED90，

∵BAD90，

∴128D90，

∴1D，

在ABC和DAE中，

1D

BCAAED，

ABDA

∴ABC≌DAE（AAS），

∴ACDE，BCAE，

故答案為：DE，AE．

（2）證明：如圖2，作NFl于點(diǎn)F，

∵BMl于點(diǎn)C，DEl于點(diǎn)E，

∴ACMNFANFPDEP90，

由（1）得ACDE，

同理（1）得ACNF，

∴NFDE，

在PFN和PED中，

MFPDEF

FPNEPD

MFDE

∴PFN≌PED（AAS），

∴NPDP．

【變式訓(xùn)練】

1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，EABDAC度；

(2)求證：DE=CD+BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，

并加以證明．

【答案】(1)90°

(2)見解析

(3)CD=BE+DE，證明見解析

【解析】

【分析】

（1）由∠BAC=90°可直接得到EABDAC90°；

（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根

據(jù)AAS可證DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．

（3）同（2）△易證DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．

(1)△

∵∠BAC=90°

∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°

故答案為：90°．

(2)

證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E

∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°

∴∠DCA=∠EAB

∵在DCA和EAB中

A△DCB△EA90

DCAEAB

ACAB

∴DCA≌△EAB(AAS)

∴△AD=BE且EA=DC

由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．

(3)

∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E

∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°

∴∠DCA=∠EAB

∵在DCA和EAB中

A△DCBE△A90

DCAEAB

ACAB

∴DCA≌△EAB(AAS)

∴△AD=BE且AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

∴CD=BE+DE．

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．

2．（2024上·吉林遼源·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ACB90，ACBC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，

且ADMN于D，BEMN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DEADBE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時(shí)，求證：DEADBE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量

關(guān)系，不需要證明．

【答案】(1)①見解析；②見解析

(2)見解析

(3)DEBEAD(或ADBEDE，BEADDE)．

【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識點(diǎn)的應(yīng)用，

解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和CEB全等的三個(gè)條件．題型較好．

（1）①已知已有兩直角相等和ACBC，再由同角的余角相等證明DACBCE即可證明

ADC≌BECAAS；

②由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到ADCE，BECD，從而得證；

（2）根據(jù)垂直定義求出BECACBADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出ACDCBE，根據(jù)AAS證出△ADC和

CEB全等，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到ADCE，BECD，從而得證；

（3）同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系．

【詳解】（1）①證明：∵ACB90，ADC90，BEC90

∴ACDDAC90，ACDBCE90，

∴DACBCE，

在△ADC與BEC中，

ADCBEC90

DACBCE，

ACBC

∴ADC≌BECAAS；

②由①知，△ADC≌△BEC，

∴ADCE，BECD，

∵DECECD，

∴DEADBE；

（2）證明：∵ADMN于D，BEMN于E，

∴ADCBECACB90，

∴CADACD90，ACDBCE90，

∴CADBCE，

在△ADC與BEC中，

ADCBEC90

DACBCE，

ACBC

∴ADC≌CEBAAS．

∴ADCE，BECD，

∴DECECDADBE．

（3）解：同（2）理可證ADC≌CEBAAS．

∴ADCE，BECD，

∵CECDDE

∴ADBEDE，即DEBEAD；

當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DEBEAD(或ADBEDE，

BEADDE)．

【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】

例題：如圖，ABAC，AEAD，CABEAD．

（1）求證：△AEC△ADB；

（2）若90，試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；

（3）若CABEAD，求CFA的度數(shù)．

【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）90

2

【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；

（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；

（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進(jìn)而可知∠CFA

【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD

∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，

∴∠CAE=∠BAD，

∵AB=AC，AE=AD

在△AEC和△ADB中

ABAC

∠CAE=∠BAD

AE=AD

∴△AEC≌△ADB（SAS）

（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：

將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，

由（1）可知△AEC≌△ADB，

∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，

∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，

∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，

∴CE⊥BD．

（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD

由（1）知△AEC≌△ADB，

∴兩個(gè)三角形面積相等

故AM·CE=AN·BD

∴AM=AN

∴AF平分∠DFC

由（2）可知∠BFC=∠BAC=α

∴∠DFC=180°-α

1

∴∠CFA=∠DFC=90

22

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵；

【變式訓(xùn)練】

1．如圖，在ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

120°能與BE△重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn)．

（1）求證：AE＝CD；

（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△CBD（SAS），進(jìn)而得證；

（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，

∴BD＝BE，∠EBD＝120°，

∵AB＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，

∴∠DBC＝∠ABE，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴AE＝CD；

（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，

1

∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，

2

∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE

＝180°﹣30°﹣45°＝105°．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是

解題的關(guān)鍵．

2．如圖，已知ABC和△AEF中，BE，ABAE，BCEF，EAB25，F(xiàn)57，線段BC分

別交AF，EF于點(diǎn)M，N．

（1）請說明EABFAC的理由；

（2）ABC可以經(jīng)過圖形的變換得到△AEF，請你描述這個(gè)變換；

（3）求AMB的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25，可以得到△AEF；（3）AMB82

【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，

∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；

（2）通過觀察可知△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°，可以得到△AEF；

（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可

求∠AMB．

【詳解】解：（1）∵BE，ABAE，BCEF，

∴ABCAEF，

∴CF，BACEAF，

∴BACPAFEAFPAF，

∴BAECAF25；

（2）通過觀察可知ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25，可以得到△AEF；

（3）由（1）知CF57，BAECAF25，

∴AMBCCAF572582．

【點(diǎn)睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等．

3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)

系為；

（2）猜想論證

當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩

種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．

【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）

72或2

【分析】（1）首先通過SAS證明ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；

（2）仿照（1）中證明ACD≌△△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

1

（3）首先求出BE的長△度，然后利用SAED?AD?EB即可求解．

2

△

【詳解】解：（1）如圖1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴ABE＝90°，

∴AB⊥BE，

∵AB＝AD+BD，AD＝BE，

∴AB＝BD+BE，

故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．

（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵AD＝AB+BD，AD＝BE，

∴BE＝AB+BD．

②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，

∵BD＝AB+AD，AD＝BE，

∴BD＝AB+BE．

（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝5+7＝12，

∵BE⊥AD，

11

∴SAED?AD?EB12×12＝72．

22

△

如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，

∵BE⊥AD，

11

∴SAED?AD?EB2×2＝2．

22

△

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．

【模型七倍長中線模型】

例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD是ABC的中線，AB10，BC6，求中線BD的

取值范圍．

【答案】2BD8

【分析】延長BD到E，使DEBD,證明兩邊之和大于BE2BD，兩邊之差小于BE2BD，證明三角形

全等，得到線段相等，等量代換得2BD8．

【詳解】解：如圖，延長BD至E，使DEBD，連接CE，

∵D為AC中點(diǎn)，

∴ADDC，

在△ABD和△CED中，

BDDE

ADBCDE

ADCD

∴△ABD≌△CEDSAS，

∴ECAB10，

在BCE中，CEBCBECEBC，即106BE106，

∴4BE16，

∴42BD16，

∴2BD8．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全

等三角形．

【變式訓(xùn)練】

1．如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線．延長AD到點(diǎn)E，使DEAD，連接BE．

(1)求證：△ACD≌△EBD；

(2)AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；

(3)若BAC90，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】(1)見解析

(2)ACBE，AC∥BE

(3)2ADBC，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理SAS，即可證得；

(2)由△ACD≌△EBD，可得ACBE，CEBC，據(jù)此即可解答；

(3)根據(jù)三角形全等的判定定理SAS，可證得BAC≌ABE，據(jù)此即可解答．

【詳解】（1）證明：AD是BC邊上的中線，

BDCD，

在△ACD與△EBD中

ADED

ADCEDB，

BDCD

ACD≌EBDSAS；

（2）解：ACD≌EBD，

ACBE，CEBC，

AC∥BE，

故答案為：ACBE，AC∥BE；

（3）解：2ADBC

證明：ACD≌EBD，

ACBE，CEBC，

AC∥BE，

BAC90

BACABE90

在△BAC和△ABE中，

ABBA

BACABE90

ACBE

BAC≌ABESAS，

BCAE2AD．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定

與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

2．（2023上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，ABC中，

若AB6，AC4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

延長AD到E，使DEAD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到VADC≌VEDB，得到BEAD，在ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得AD的

取值范圍是．

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．

(2)如圖2，AD是ABC的中線，ABAE，ACAF，BAECAF180，試判斷線段AD與EF的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3，在ABC中，D，E在邊BC上，且BDCE．求證：ABACADAE．

【答案】(1)1AD5

(2)EF2AD，證明見解析

(3)見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．

（1）由作圖可得AE2AD，根據(jù)“SAS”證得VADC≌VEDB，得到BEAC4，在ABE中，根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系有ABBEAEABBE，代入即可求解；

（2）延長AD到M，使得DMAD，連接BM，則AM2AD，由（1）同理可證BDM≌CADSAS，

得到BMACAF，BM∥AC，從而ABMBAC180，又BACFAE180，因此

ABMFAE，進(jìn)而得證ABM≌EAFSAS，故EFAM2AD；

（3）取BC的中點(diǎn)為M，連接AM并延長至N，使AMMN，連接BN、DN，證得ACM≌NBMSAS得

到ACNB，證得AEM≌NDMSAS得到AEND．

延長AD交BN于F，由三角形的三邊關(guān)系得到ABBNADDN，即ABACADAE．

【詳解】（1）∵DEAD，

∴AEADDE2AD

∵AD是BC邊上的中線，

∴BDCD，

在△ADC和△EDB中，

CDBD

ADCEDB，

ADED

∴ADC≌EDBSAS，

∴BEAC4，

∵在ABE中，ABBEAEABBE，

即642AD64，

∴1AD5．

故答案為：1AD5

（2）EF2AD，

理由：如圖，延長AD到M，使得DMAD，連接BM，

∴AMADDM2AD，

∵AD是ABC的中線，

∴BDCD，

在BDM和CDA中

BDCD

BDMCDA

DMDA

∴BDM≌CDASAS，

∴BMAC，

∵ACAF，

∴BMAF，

∵BDM≌CAD，

∴MBDACD，

∴BM∥AC，

∴ABMBAC180，

∵BAECAF180，

∴BACFAE360BAECAF360180180，

∴ABMFAE，

在ABM和△EAF中

ABAE

ABMEAF，

BMAF

∴ABM≌EAFSAS，

∴AMEF，

∵AM2AD，

∴EF2AD；

（3）取BC的中點(diǎn)為M，連接AM并延長至N，使AMMN，連接BN、DN，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴CMBM，

在△ACM和NBM中，

CMBM

AMCNMB

AMNM

∴ACM≌NBMSAS，

∴ACNB

∵BDCE，

∴BMBDCMCE，即DMEM，

在△AEM和NDM中，

EMDM

AMENMD

AMNM

∴AEM≌NDMSAS，

∴AEND，

延長AD交BN于F，

則ABBFADDF，且FNDFDN，

∴ABBFFNDFADDFDN，

∴ABBNADDN，

即ABACADAE．

【模型八截長補(bǔ)短模型】

例題：在四邊形ABDE中，點(diǎn)C是BD邊的中點(diǎn)．

(1)如圖①，AC平分BAE，ACE90，寫出線段AE，AB，DE間的數(shù)量關(guān)系及理由；

(2)如圖②，AC平分BAE，EC平分AED，ACE120，寫出線段AB，BD，DE，AE間的數(shù)量關(guān)

系及理由．

【答案】(1)AEABDE，見解析

1

(2)ABBDDEAE，理由見解析

2

【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AFAB，可以得出ACB≌ACF，就可以得出BCFC，ACBACF，

就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出結(jié)論；

（2）在AE上取點(diǎn)F，使AFAB，連接CF，在AE上取點(diǎn)G，使EGED，連接CG．可以求得CFCG，

1

△CFG是等邊三角形，就有FGCGBD，進(jìn)而得出結(jié)論；

2

【詳解】（1）AEABDE，理由如下：

在AE上取一點(diǎn)F，使AFAB，連接CF．

∵AC平分BAE，

∴BACFAC，

ABAF

在△ACB和△ACF中BACFAC

ACAC

∴ACB≌ACF．

∴BCFC，ACBACF，

∵C是BD邊的中點(diǎn)．

∴BCCD，

∴CFCD．

∵ACE90，

∴ACBDCE90，ACFECF90

∴ECFECD．

CFCD

在△CEF和△CED中ECFECD

ACAC

∴△CEF≌△CED．

∴EFDE．

∵AEAFEF，

∴AEABDE．

1

（2）ABBDDEAE，理由如下：

2

在AE上取AMAB，ENED，連接CM，CN．

與（1）同理，可得VABC≌VAMC，VCEN≌VCED．

∴BCMC，ACBACM，CDCN，DCENCE．

∵ACBECD18012060，

∴MCN1206060．

∵BCCD，

∴MCNC．

∴CMN為等邊三角形．

1

∴MNCMBD．

2

∵AMMNENAE，

1

∴ABBDDEAE．

2

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答

時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1

1．如圖，在五邊形ABCDE中，ABAE，CA平分BCD，CADBAE．

2

(1)求證：CDBCDE；

(2)若B75，求E的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

(2)105

【分析】（1）在CD上截取CFCB，連接AF，證明△BCA≌△FCASAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

ABAF，BACFAC，進(jìn)而證明ADF≌ADESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DEDF，進(jìn)而

即可求解；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得BECFAAFD180，即可求解．

【詳解】（1）解：在CD上截取CFCB，連接AF．

∵CA平分BCD，

∴BCAFCA．

CBCF

在VBCA和△FCA中，BCAFCA

CACA

∴△BCA≌△FCASAS

∴ABAF，BACFAC．

又∵ABAE，

∴AFAE．

1

又∵CADBAE，

2

∴BACEADFACFAD，

∴FADEAD．

AFAE

在△ADF和VADE中，F(xiàn)ADEAD，

ADDF

∴ADF≌ADESAS

∴DEDF．

∴CDCFFDBCDE．

（2）∵△BCA≌△FCA，

∴BCFA．

∵VADF≌VADE，

∴EAFD．

∴BECFAAFD180．

∴E180B18075105．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

2．（1）如圖1，AD是ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使EDAD，連接CE．

①證明ABD≌ECD；

②若AB5，AC3，設(shè)ADx，可得x的取值范圍是；

（2）如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，

求證：BECFEF．

【答案】（1）①見解析；②1x4；（2）見解析

【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線得出BDCD，再由對頂角相等得出ADBCDE，即可得出結(jié)論；

②先由ABD≌ECD，得出CE5，再由EDAD，得出AE2AD2x，最后用三角形的三邊關(guān)系，即

可求出答案；

（2）先根據(jù)SAS判斷出△DEF≌△DEH，得出EHEF，再根據(jù)SAS判斷出△BDH≌△CDF，得出CFBH，

即可求出答案．

【詳解】（1）①證明：AD是ABC