第2講有理數(shù)四則運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)六年級下學(xué)期第一章第二節(jié)的內(nèi)容．本講會(huì)講解有理數(shù)加減乘除的基本法則，并進(jìn)行相關(guān)的練習(xí)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．模塊一：有理數(shù)的加法知識精講有理數(shù)加法法則（1）同號兩數(shù)相加：取原來的符號，并把絕對值相加．（2）異號兩數(shù)相加：絕對值相等時(shí)和為零；絕對值不相等時(shí)，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．（3）一個(gè)數(shù)同零相加：仍得這個(gè)數(shù)．有理數(shù)加法的運(yùn)算律交換律：；結(jié)合律：．例題解析例1．【答案】18【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，靈活運(yùn)用加法運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．例2．【答案】-2.8【分析】利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】=．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，靈活運(yùn)用加法結(jié)合律進(jìn)行簡便運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．例3．計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）-19；（2）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；【詳解】解：（1）=-6-13=-19；（2）===【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是注意運(yùn)算過程中的符號問題．例4.如果兩個(gè)數(shù)的和是正數(shù)，那么（）A．這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)B．這兩個(gè)數(shù)一正一負(fù)C．這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù)D．以上說法都不對【難度】★【答案】C【解析】由于兩個(gè)數(shù)的和是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)可以都為正數(shù)（或一個(gè)為），也可以一正一負(fù)，但正數(shù)的絕對值要大．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算的應(yīng)用，需要熟練掌握法則．例5.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）===；（2）===；（3）===；（4）．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，注意法則的熟練運(yùn)用．例6.用簡便方法計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的簡便運(yùn)算，注意方法的選擇．例7.已知兩個(gè)數(shù)和，試求下列各種情況的值：（1）求這兩個(gè)數(shù)的相反數(shù)的和； （2）求這兩個(gè)數(shù)的和的相反數(shù)；（3）求這兩個(gè)數(shù)和的絕對值； （4）求這兩個(gè)數(shù)絕對值的和．【難度】★★【答案】（1）2；（2）2；（3）2；（4）8．【解析】（1）的相反數(shù)是，的相反數(shù)是，；（2），的相反數(shù)是；（3），絕對值是；（4），．【總結(jié)】本題考查了相反數(shù)和絕對值的應(yīng)用．例8．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠為滿足市場需求計(jì)劃每天生產(chǎn)5000個(gè)，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃相比有出入，下表是二月份某一周的生產(chǎn)情況：（超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)，單位：個(gè)）星期一二三四五六日增減+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150（1）這一周共生產(chǎn)多少個(gè)口罩？（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少個(gè)？（3）該口罩加工廠實(shí)行計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩0.15元，本周口罩加工廠應(yīng)支付工人的工資總額是多少元？【答案】（1）35600個(gè)口罩；（2）600個(gè)；（3）5340元．【分析】（1）利用七天的計(jì)劃生產(chǎn)量＋實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃相比的出入量列算式，計(jì)算可求解；（2）利用最多的產(chǎn)量?最少的產(chǎn)量可求解；

（3）利用總口罩量×生產(chǎn)一個(gè)口罩的工資可求解．【詳解】（1）5000×7+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150＝35600（個(gè)），答：這一周共生產(chǎn)35600個(gè)口罩；（2）400﹣（﹣200）＝600（個(gè)），答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)600個(gè)；（3）35600×0.15＝5340（元），答：本周口罩加工廠應(yīng)支付工人的工資總額是5340元．【點(diǎn)睛】本題主要考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法，理解題意是解題的關(guān)鍵．例9.（2021·全國七年級）足球比賽中，根據(jù)場上攻守形勢，守門員會(huì)在門前來回跑動(dòng)，如果乙球門線為基準(zhǔn)，向前跑記作正數(shù)，返回則記作負(fù)數(shù)，一段時(shí)間內(nèi)，某守門員的跑動(dòng)情況記錄如下（單位：m）：＋10，﹣2，＋5，＋12，﹣6，﹣9，＋4，﹣14．（假定開始計(jì)時(shí)時(shí)，守門員正好在球門線上）（1）守門員最后是否回到球門線上？（2）守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)多少米？（3）如果守門員離開球門線的距離超過10m（不包括10m），則對方球員挑射極可能造成破門．問：在這一時(shí)間段內(nèi)，對方球員有幾次挑射破門的機(jī)會(huì)？簡述理由．【答案】（1）能回到球門線上；（2）25米；（3）4次，理由見解析【分析】（1）將所有數(shù)據(jù)相加即可得到答案；（2）分別求出每次離開球門的距離即可得到答案；（3）根據(jù)（2）守門員離開球門的距離與10比較即可.【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：10﹣2＋5＋12﹣6﹣9＋4﹣14＝0，則守門員最后能回到球門線上；（2）守門員離開球門線的距離分別為：第一次：10（米），第二次：10-2=8（米），第三次：8+5=13（米），第四次：13+12=25（米），第五次：25-6=19（米），第六次：19-9=10（米），第七次：10+4=14（米），第八次14-14=0（米），則守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)25米；（3）由（2）得守門員離開球門的距離分別為：10，8，13，25，19，10，14，0，其中距離為13、25、19、14超過10m（不包括10m），此時(shí)對方球員可挑射破門，則對方球員有4次挑射破門的機(jī)會(huì).【點(diǎn)睛】此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，絕對值的意義，有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，由題意列算式計(jì)算.例10.“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”刺激了經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇．今年國慶周期間，小王用2000元購進(jìn)了一批商品，在夜市擺地?cái)偸圪u8天，全部銷售完畢．每天的收入以300元為標(biāo)準(zhǔn)，超過的錢數(shù)記作正數(shù)，不足的錢數(shù)記作負(fù)數(shù)，8天的收入記錄如下：+62，+40，﹣60，﹣38，0，+34，+8，﹣54．（單位：元）（1）收入最多的一天比最少的一天多多少錢？（2）小王這8天的地?cái)偸杖胧怯€是虧損？盈利或虧損多少錢？【答案】（1）收入最多的一天比最少的一天多122元；（2）盈利，盈利392元【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義列式計(jì)算即可；（2）求出總收入和利潤即可得出答案．【詳解】（1）+62﹣（﹣60）＝122（元），答：收入最多的一天比最少的一天多122元；（2）62+40﹣60﹣38+0+34+8﹣54＝﹣8（元），總收入為300×8﹣8＝2392（元），2392﹣2000＝392（元），答：小王這8天的地?cái)偸杖胧怯?，盈?92元．【點(diǎn)評】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，理解正負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量是解決問題的前提．例11．閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計(jì)算：原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項(xiàng)法．仿照上面的方法，請你計(jì)算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.【答案】-2.【分析】讀懂例題，根據(jù)例題拆項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]＝－2.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，必須熟練掌握，并且掌握此方法.模塊二：有理數(shù)的減法知識精講有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)：．例題解析例1．計(jì)算：（﹣20）＋（＋3）﹣（﹣5）﹣（＋7）【答案】﹣19【分析】先化簡，再計(jì)算加減法即可求解．【詳解】解：（﹣20）＋（＋3）﹣（﹣5）﹣（＋7）＝﹣20＋3＋5﹣7＝﹣27＋8＝﹣19．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．例2．計(jì)算：6﹣（﹣8）+（﹣9）．【答案】5【分析】根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：6﹣（﹣8）+（﹣9）=6+8-9=5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減運(yùn)算，掌握有理數(shù)加減運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．例3．計(jì)算題：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）-2；（3）；（4）；【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減混運(yùn)算，準(zhǔn)確分析解題的關(guān)鍵．4．計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）1；（2）-23．【分析】（1）先去括號，再利用加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算；（2）先去括號，再利用加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）=-1.5+5.25+3.75-6.5

=-（1.5+6.5）+（5.25+3.75）

=-8+9

=1（2）===-23【點(diǎn)睛】考查的是有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用了加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，并在運(yùn)算中處理好符號是重點(diǎn)和正確運(yùn)用運(yùn)算法則．例5．計(jì)算：（1）（﹣13）+（﹣7）﹣（+20）﹣（﹣40）+（+16）（2）（+）+（﹣）+（+1）+（﹣）（3）（+1.9）+3.6﹣（﹣10.1）+1.4（4）1+2﹣3+﹣4.25【答案】（1）16；（2）1；（3）17；（4）﹣3．【分析】（1）寫成省略括號和的形式，同號相加，再算互為相反數(shù)即可；（2）先寫成省略括號和的形式，同分母相加，再求和即可；（3）先寫成省略括號和的形式，湊整的相加，再求和即可；（4）先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同分母的分式相加，再求和即可．【詳解】解：（1）（﹣13）+（﹣7）﹣（+20）﹣（﹣40）+（+16）＝﹣13﹣7﹣20+40+16＝-40+40+16＝16；（2）（+）+（﹣）+（+1）+（﹣）＝﹣+1﹣＝1；（3）（+1.9）+3.6﹣（﹣10.1）+1.4＝1.9+3.6+10.1+1.4＝17；（4）1+2﹣3+﹣4.25＝1+2﹣3+﹣4＝﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)巧算方法，互為相反數(shù)的，易通分的，湊整的，同號的等特點(diǎn)使計(jì)算簡便例6.下列說法正確的是（）A．兩個(gè)數(shù)之差一定小于被減數(shù)B．減去一個(gè)負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)C．減去一個(gè)正數(shù)，差不一定小于被減數(shù)D．0減去任何數(shù)，差都是負(fù)數(shù)【難度】★【答案】B【解析】學(xué)會(huì)舉反例來判斷正誤．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)減法運(yùn)算法則．例7.計(jì)算：（1）；（2）．【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用．例8.計(jì)算：（1）；（2）．【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的簡便組合運(yùn)算．例9.已知，，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【難度】★★【答案】見解析．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用．例10.計(jì)算：．【難度】★★★【答案】【解析】原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的簡便運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，注意觀察數(shù)據(jù)的特征．例11.分別求出數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離：（1）表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)；（2）表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)；（3）表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)．【難度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離等于兩數(shù)差的絕對值；（1）；（2）；（3）．【總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離的運(yùn)算，注意對公式的準(zhǔn)確理解．例12.黃浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分米，第四天上升了厘米，問第四天黃浦江的水位比剛開始時(shí)的水位高多少米？【難度】★★★【答案】米．【解析】將上升記為‘+’，下降記為‘-’，毫米=厘米，0.9分米=9厘米，則：（厘米），厘米=米．即第四天黃浦江的水位比剛開始時(shí)的水位高0.0308米．【總結(jié)】本題考查了正、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及運(yùn)算，注意單位的統(tǒng)一．例13．在學(xué)習(xí)了為數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，愛思考和探究的小明想知道數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A，B之間的距離該如何表示．小明釆取了數(shù)學(xué)上常用的從特殊到一般的歸納法，請聰明的你和小明一起完成如下問題：（1）選取特例①當(dāng)時(shí)，A，B之間的距離；②當(dāng)時(shí)，A，B之間的距離_________；③當(dāng)時(shí)，A，B之間的距離_________；（2）歸納總結(jié)數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為________；（3）應(yīng)用請結(jié)合數(shù)軸，直接寫出的最小值．【答案】（1）②6，③2；（2）（或）；（3）最小值為4．【分析】（1）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式求解即可；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式求解即可；（2）根據(jù)（1）歸納可得AB兩點(diǎn)之間的距離；（3）要求的最小值，即表示數(shù)軸上一點(diǎn)到-1，1，3三點(diǎn)的距離，可知該點(diǎn)在-1到3之間，當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離為0，此時(shí)最小，求解即可；【詳解】（1）①當(dāng)a=-2，b=4時(shí)，AB之間的距離為：，②當(dāng)a=-2，b=-4時(shí)，，AB之間的距離為：，（2）∵A、B之間的距離公式為兩數(shù)之差的絕對值，∴或（3）∵求的最小值，∴x應(yīng)在-1到3之間，∵當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離為0，∴當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，∴=4，∴最小值為4【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，以及絕對值的性質(zhì)，正確理解知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；例14．我們知道，在數(shù)軸上，表示數(shù)到原點(diǎn)的距離．進(jìn)一步地，點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，那么，兩點(diǎn)之間的距離就表示為；反過來，也就表示，兩點(diǎn)之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例．若，那么為：①，即．文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離等于．②圖形語言：③答案：為和．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若，求的值．①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）時(shí)，求的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3），求的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【答案】（1）①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離等于它到的距離②圖形語言：畫圖見解析③答案：．（2）①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離減去它到的距離等于．②圖形語言：畫圖見解析．③答案：（3）①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離加上它到的距離大于．②圖形語言：畫圖見解析③答案：或．（4）①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到，，，，五個(gè)數(shù)的距離之和最小，最小值是多少．②圖形語言：畫圖見解析．③答案：當(dāng)時(shí)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可；

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可；

（3）根據(jù)數(shù)軸上什么數(shù)到距離加上它到的距離大于，觀察數(shù)軸求解即可；

（4）根據(jù)絕對值的幾何意義，數(shù)軸上什么數(shù)到，，，，五個(gè)數(shù)的距離之和最小，最小值是多少求解．【詳解】（1）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離等于它到的距離圖形語言：答案：．（2）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離減去它到的距離等于．圖形語言：答案：（3）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到的距離加上它到的距離大于．圖形語言：答案：或．（4）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到，，，，五個(gè)數(shù)的距離之和最小，最小值是多少圖形語言：答案：當(dāng)時(shí)，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合求解．模塊三：有理數(shù)的乘法知識精講兩數(shù)相乘的符號法則正乘正得正，正乘負(fù)得負(fù)，負(fù)乘正得負(fù)，負(fù)乘負(fù)得正．（同號得正，異號得負(fù)）2、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．任何數(shù)與零相乘，都得零．3、有理數(shù)相乘的符號法則幾個(gè)不等于零的因數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．例題解析例1.計(jì)算：______， ______，______， ______，_______， ______．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解析】兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘（先定符號）．【總結(jié)】本題考查了簡單的有理數(shù)的乘法運(yùn)算，注意先確定符號，再計(jì)算．例2.如果，，那么ab____0；如果，，那么ab____0．【難度】★【答案】<；>．【解析】則為正，則為負(fù)，故；則為負(fù)，則為負(fù)，故．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則．例3.五個(gè)有理數(shù)的積是負(fù)數(shù)，則正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．4個(gè) C．1個(gè)、3個(gè)或5個(gè) D．0個(gè)、2個(gè)或4個(gè)【難度】★【答案】【解析】由五個(gè)有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，即為1、3、5，所以正因數(shù)有0、2、4個(gè)．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算法則．例4.如果，，那么關(guān)于這兩個(gè)數(shù)的說法正確的是（）A．符號相反 B．符號相反且絕對值相等C．符號相反且負(fù)數(shù)的絕對值大 D．符號相反且正數(shù)的絕對值大【難度】★★【答案】D【解析】由，得異號，又，得中正數(shù)的絕對值大，故選．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算應(yīng)用．例5.如果，，那么關(guān)于這兩個(gè)數(shù)的說法正確的是（）A．都是正數(shù) B．都是負(fù)數(shù)C．符號相反且負(fù)數(shù)的絕對值大 D．符號相反且正數(shù)的絕對值大【難度】★★【答案】B【解析】由，得同號，又，得均為負(fù)數(shù)，故選．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算應(yīng)用．例6.計(jì)算：（1）； （2）．【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算法則，注意先確定符號再計(jì)算．例7.計(jì)算：（1）； （2）；（3）．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式；（2）原式，0乘以任何數(shù)都為0；（3）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法的簡便運(yùn)算．例8.計(jì)算：（1）； （2）；（3）； （4）．【難度】★★【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法的簡便運(yùn)算．例9.在數(shù)軸上表示a、b、c三個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡式子：．【難度】★★★【答案】．【解析】由數(shù)軸得：，則，，，所以，，故原式．【總結(jié)】本題考查了絕對值的化簡運(yùn)算．例10.已知，，，則______．【難度】★★★【答案】．【解析】由題意得：，，又，則異號，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【總結(jié)】本題考查了絕對值的應(yīng)用及有理數(shù)乘法應(yīng)用．例11．學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，薛老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：，看誰算得又對又快兩名同學(xué)給出的解法如下：小強(qiáng)：原式小莉：原式（1）對于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法最好？理由是什么？對你有何啟發(fā)？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來？【答案】（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡化了計(jì)算過程；（2）還有其它的解法，見解析．【分析】根據(jù)計(jì)算判斷小莉的解法好；把寫成，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡化了計(jì)算過程．（2）還有其它的解法，．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法有關(guān)知識，選擇的方法得當(dāng)，能使運(yùn)算簡化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法的分配律．模塊四：有理數(shù)的除法知識精講有理數(shù)除法法則（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；（2）零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，都得零．（3）甲數(shù)除以乙數(shù)（零除外）等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)，即（）．例題解析例1.計(jì)算：______，______，______．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．【總結(jié)】本題考查了簡單的有理數(shù)除法運(yùn)算．例2.填空：（1）如果，，那么____0；（2）如果，，那么____0；（3）如果a=0，，那么____0．【難度】★【答案】（1）<；（2）>；（3）=．【解析】（1）則為正，則為負(fù)，故；（2）則為負(fù)，則為負(fù)，故；（3）則為0，故．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)除法運(yùn)算法則的運(yùn)用，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．例3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．任何有理數(shù)都有倒數(shù) B．互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1C．互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)同號 D．1和互為負(fù)倒數(shù)【難度】★【答案】A【解析】是有理數(shù)，但沒有倒數(shù)；兩數(shù)相乘積為1，則兩數(shù)互為倒數(shù)．【總結(jié)】本題考查了倒數(shù)的定義．例4.計(jì)算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．【難度】★★【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算法則，注意化成乘法后先約分再化簡．例5.若，則與的大小關(guān)系為___________．【難度】★★【答案】．【解析】兩數(shù)同為正數(shù)，倒數(shù)大的反而小．【總結(jié)】本題考查了倒數(shù)的應(yīng)用．例6.若a、b為倒數(shù)，c、d為相反數(shù)，=______．【難度】★★【答案】．【解析】由題意得：，，所以原式；兩數(shù)互為相反數(shù)，則相加和為0；兩數(shù)互為倒數(shù)，則相乘積為1．【總結(jié)】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)的應(yīng)用．例7.計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【難度】★★【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘除法的混合運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用．例8.已知有理數(shù)a、b、c滿足，求的值．【難度】★★★【答案】．【解析】因?yàn)?，所以中必有兩正一?fù)，即之積為負(fù)，所以原式．【總結(jié)】本題考查了絕對值的應(yīng)用．例9.若，則有多少個(gè)不同的值？說明理由．【難度】★★★【答案】2個(gè)．【解析】分類討論：就的正負(fù)性進(jìn)行討論，當(dāng)均為正時(shí)，原式；當(dāng)有一個(gè)負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)時(shí)，原式；當(dāng)有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)時(shí)，原式；當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)，原式，所以共有兩個(gè)不同的值．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考查了有理數(shù)的運(yùn)算及絕對值的性質(zhì)，注意要分類討論．例10．閱讀的計(jì)算方法．解：設(shè)原式的商為，因?yàn)?，所以，所以商．請按以上方法?jì)算．【答案】【分析】參照題干例題解析方法，設(shè)原式的商為，則，