模塊04數(shù)列與平面向量一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．3．（24-25高三上·遼寧·期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（）A．8 B．±8 C．10 D．±105．（24-25高三上·廣東汕頭·期末）已知平面向量滿足：，則（

）A． B． C．2 D．6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．3 B．18 C．54 D．1527．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高三上·湖北隨州·期末）下列命題正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則10．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知向量，，滿足，，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．在上的投影向量的坐標(biāo)為11．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.14．（24-25高三上·上海奉賢·期中）意大利著名畫家、自然科學(xué)家、工程師達(dá)芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時(shí)，曾仔細(xì)思索女人脖子上黑色項(xiàng)鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問題.后續(xù)的數(shù)學(xué)家對(duì)這一問題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：的任一條直徑，求的最值．16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比不為的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，{}的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.17．（24-25高三上·福建龍巖·期中）閱讀下一段文字：，，兩式相減得，我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“模”的運(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．(1)若AD=BC=3，求的值；(2)若，，求的值．18．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，求證：；(3)若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．(1)設(shè)，解決下面問題：①求；②設(shè)與的夾角為，求；(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．模塊04數(shù)列與平面向量一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用推出關(guān)系去判斷充要關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，當(dāng)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則，故“既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件，故選：A．2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.3．（24-25高三上·遼寧·期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列前和公式與等差中項(xiàng)得到，判斷A選項(xiàng)；由得到，結(jié)合等差中項(xiàng)，得到與0的大小關(guān)系，然后由的結(jié)果判斷B選項(xiàng)；由與的大小關(guān)系得到數(shù)列的增減性，再對(duì)進(jìn)行放縮得到結(jié)論，判斷C選項(xiàng)；由與的正負(fù)情況建立不等式組，求得的范圍，判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以A不正確；，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以B不正確；由，知，即為遞增數(shù)列，所以，所以C不正確；由，得，所以D正確.故選：D.4．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（）A．8 B．±8 C．10 D．±10【答案】A【分析】運(yùn)用等比中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)知道，求得，則.又，則.故選：A.5．（24-25高三上·廣東汕頭·期末）已知平面向量滿足：，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，再代入向量的模長公式求解.【詳解】已知，兩邊同時(shí)平方可得：.展開得到：.因，則，上式化為：，即..故選：A.6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C【分析】對(duì)方程中的進(jìn)行賦值得，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程，求解即可.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即聯(lián)立，解得，則．故選：C.7．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B8．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分情況求數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求和.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，即，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述，所以，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高三上·湖北隨州·期末）下列命題正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【答案】BCD【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由零向量的定義判斷；C.根據(jù)，都是單位向量判斷；D.由向量相等的定義判斷.【詳解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B.由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C.因?yàn)?，都是單位向量，所以只有?dāng)與是相反向量，即與反向共線時(shí)才成立，故C正確；D.由向量相等的定義知D正確；故選：BCD.10．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知向量，，滿足，，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及模的定義判斷A，根據(jù)向量平行可得坐標(biāo)關(guān)系判斷B，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0判斷C，根據(jù)投影向量的概念判斷D.【詳解】對(duì)A，，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；對(duì)C，，由可得，即，故C正確；對(duì)D，在的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】AC【分析】利用已知求得，可判斷A；，可得，判斷BC，進(jìn)而求得，判斷D.【詳解】由，當(dāng)，解得，故A正確；當(dāng)，可得，所以，所以，即，而，故C正確，B不正確；因，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，然后由投影向量公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?故答案為：13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得當(dāng)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，求解答案.【詳解】由得，時(shí)，，兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，而，則，由不滿足上式得.故答案為：.14．（24-25高三上·上海奉賢·期中）意大利著名畫家、自然科學(xué)家、工程師達(dá)芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時(shí)，曾仔細(xì)思索女人脖子上黑色項(xiàng)鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問題.后續(xù)的數(shù)學(xué)家對(duì)這一問題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和【答案】4048【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，因此，,因此,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：的任一條直徑，求的最值．【答案】(1)(2)最大值為19；最小值為．【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)已知向量等式化簡可得，用坐標(biāo)表示，化簡即可求得答案；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算表示出，繼而用P點(diǎn)坐標(biāo)表示，利用點(diǎn)P在橢圓上，將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)，則，由·=0，得，即化簡得，所以點(diǎn)P在橢圓上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）因?yàn)镋F為圓N：的任一條直徑，故，且，所以，P是橢圓上的任一點(diǎn)，則又，所以，因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值20，故·的最大值為19；當(dāng)時(shí)，取得最小值為（此時(shí)x=0），故·的最小值為．16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比不為的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，{}的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.【答案】(1)，.(2)(3)證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到結(jié)果；（2）可轉(zhuǎn)化為等差乘等比類型，利用錯(cuò)位相減法可解；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和可利用裂項(xiàng)相消，然后用放縮可證.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，.由等比數(shù)列性質(zhì)可得，又，，所以，所以，解之得或，當(dāng)時(shí)，，則，，即與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，則，，所以,，滿足題意；所以，.（2）設(shè)，，設(shè)，則，，兩式相減得，所以，即.（3）證明：，，，因?yàn)椋字S著的增大而增大，所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列前項(xiàng)和常見的方法：公式法：適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其他特殊數(shù)列.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和.17．（24-25高三上·福建龍巖·期中）閱讀下一段文字：，，兩式相減得，我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．(1)若AD=BC=3，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）由極化恒等式知，代入即可得出答案.（2）因?yàn)?，由極化恒等式知:，因?yàn)?，由極化恒等式知:，解兩個(gè)方程求出，再因?yàn)?，代入即可得出答?【詳解】（1）由極化恒等式知．（2）設(shè)，，因?yàn)?，由極化恒等式知:，因?yàn)?，由極化恒等式知:，所以

解得m=2，n=3，所以．18．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，求證：；(3)若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，繼而結(jié)合得關(guān)系推出，說明數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得答案