專(zhuān)題12概率目錄易錯(cuò)點(diǎn)01混淆互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概念易錯(cuò)點(diǎn)02混淆“有放回”與“不放回”致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)03古典概型問(wèn)題忽略“等可能性”易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)條件概率理解不透徹致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概念典例（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．事件和事件獨(dú)立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對(duì)立 D．事件和事件互斥【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槭录褪录M足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對(duì)立，故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)，不為時(shí)，事件和事件不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點(diǎn)為事件，出現(xiàn)點(diǎn)為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯(cuò)誤.故選：B【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱(chēng)事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱(chēng)事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．【解讀】互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．2、相互獨(dú)立事件的概念（1）對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱(chēng)事件與事件相互獨(dú)立．（2）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．易錯(cuò)提醒：(1)判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.(2)互斥事件與相互獨(dú)立事件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：①相同點(diǎn)：二者都是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系；②不同點(diǎn)：互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.1．（24-25高三上·上?！て谥校仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為（

）A．是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件C．既是相互獨(dú)立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互獨(dú)立事件2．（24-25高二上·湖北·期中）一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不超過(guò)6”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于3”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為4的球”，則（

）A．事件與事件是相互獨(dú)立事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．與為互斥事件 B．與相互獨(dú)立C． D．1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨(dú)立3．（24-25高三上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對(duì)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開(kāi)設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類(lèi)冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門(mén)課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門(mén)相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對(duì)立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立6．（24-25高三上·上?！て谥校?duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件、、、，其中，，，，，，，，則（

）（注：表示集合的元素個(gè)數(shù)）A．與不互斥 B．與互斥但不對(duì)立C．與互斥 D．與相互獨(dú)立易錯(cuò)點(diǎn)02：混淆“有放回”與“不放回”致錯(cuò)典例（24-25高三上·天津南開(kāi)·期中）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫(xiě)出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：A.【易錯(cuò)剖析】本題求解時(shí)容易混淆“有放回”和“無(wú)放回”的區(qū)別而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.?定義和操作方式?（1）?無(wú)放回抽取?：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個(gè)元素，第一次抽取后剩下9個(gè)，第二次抽取時(shí)只剩下9個(gè)元素可供選擇。（2）?有放回抽取?：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進(jìn)行下一次抽取。這樣，每次抽取時(shí)元素總數(shù)保持不變和概率不變。2.?概率模型和應(yīng)用場(chǎng)景?（1）?無(wú)放回抽取?：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨(dú)立事件，如抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)概率等。（2）?有放回抽取?：適用于二項(xiàng)分布，常用于重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的情況，如多次投擲硬幣、多次獨(dú)立試驗(yàn)等。3.?數(shù)學(xué)表達(dá)和計(jì)算方法?（1）?無(wú)放回抽取?：計(jì)算概率時(shí)需要考慮元素的順序和組合數(shù)。例如，從n個(gè)元素中抽取m個(gè)元素的組合數(shù)為（2）?有放回抽取?：每次抽取是相互獨(dú)立的，因此可以直接使用二項(xiàng)分布公式進(jìn)行計(jì)算，即P(X=k)=binom(n,p,k)，其中n是試驗(yàn)次數(shù)，p是成功的概率，k是成功的次數(shù)。?易錯(cuò)提醒：在處理與抽樣有關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)要區(qū)分“有放回抽取”和“無(wú)放回抽取”的不同，有放回抽取時(shí)每一次抽取背景是一樣的，即總體個(gè)數(shù)不變概率不變；無(wú)放回抽取時(shí)每一次抽取背景是變化的，即總體個(gè)數(shù)要變，概率也變.1．（2024·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．3．（2024·上海徐匯·一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（

）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)1．（24-25高三上·專(zhuān)題訓(xùn)練）從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則是（

）A．4個(gè)球不都是紅球的概率 B．4個(gè)球都是紅球的概率C．4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率 D．4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個(gè)口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球，第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，同時(shí)在袋中加入兩個(gè)與所取球完全相同的球，第二次再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，則此次摸出的是黃球的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個(gè)，再?gòu)暮兄械诙纬槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中每次隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，取出后放回，連續(xù)取兩次，至少有一個(gè)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（）A． B． C． D．6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.(1)求甲、乙兩人摸出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說(shuō)明理由.7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.用表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲取到白棋的概率.易錯(cuò)點(diǎn)03：古典概型問(wèn)題忽略“等可能性”【典例】（2025全國(guó)高三專(zhuān)題訓(xùn)練）甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是.【答案】【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：【易錯(cuò)剖析】在處理古典概型問(wèn)題時(shí)一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.古典概型的定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱(chēng)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.3.古典概型解題步驟（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；（4）利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首要步驟是確認(rèn)試驗(yàn)是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本空間，這一過(guò)程中需特別注意兩點(diǎn)：一是樣本中的元素是否存在順序性，因?yàn)轫樞虻牟煌瑫?huì)構(gòu)成不同的樣本空間；二是取樣時(shí)是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復(fù)出現(xiàn)。明確了這兩點(diǎn)后，就可以計(jì)算出樣本空間的總樣本點(diǎn)數(shù)量，以及所求事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)量，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式，得出所求事件的概率。1．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個(gè)球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在個(gè)電子元件中，有個(gè)次品，個(gè)合格品，每次任取一個(gè)測(cè)試，測(cè)試完后不再放回，直到個(gè)次品都找到為止，則經(jīng)過(guò)次測(cè)試恰好將個(gè)次品全部找出的概率為（

）A． B． C． D．2．（2025高三上·專(zhuān)題訓(xùn)練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．， B．， C．， D．，3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）4個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)正品，1個(gè)次品．現(xiàn)每次取出1個(gè)做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經(jīng)過(guò)3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在《周易》中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說(shuō)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）每次從0～9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次得到n個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)）A．23 B．22 C．21 D．206．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.7．（24-25高三上·廣西貴港·開(kāi)學(xué)考試）甲?乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為；從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為.9．（2024·浙江寧波·一模）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個(gè)球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的兩個(gè)小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個(gè)球中依次不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.易錯(cuò)點(diǎn)04：對(duì)條件概率理解不透徹致錯(cuò)典例（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)400名高二學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)相應(yīng)事件,根據(jù)題意利用全概率公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則，，由全概率公式可得，所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.故選：A【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區(qū)別而致錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（2）條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．2、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．3、貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且易錯(cuò)提醒：解決條件概率問(wèn)題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進(jìn)行第二步．第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計(jì)算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計(jì)算思路二直接利用公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計(jì)算1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對(duì)乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過(guò)調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率．3．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）現(xiàn)有質(zhì)量分別為千克的六件貨物，將它們隨機(jī)打包裝入三個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個(gè)箱子.則第一?二個(gè)箱子的總質(zhì)量均不小于第三個(gè)箱子的總質(zhì)量的概率是.1．（24-25高二上·遼寧遼陽(yáng)·期末）在某次電子競(jìng)技大賽中，甲、乙進(jìn)入決賽，決賽采取五局三勝的冠亞軍爭(zhēng)奪賽制．已知甲在每局比賽中獲勝的概率均為，比賽無(wú)平局且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了五局的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·江蘇南通·期中）（多選）隨機(jī)事件A，B滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與互斥B．事件A與相互獨(dú)立C．D．3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2個(gè)白球4個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球2個(gè)黑球.若從兩個(gè)袋中分別隨機(jī)各取出一個(gè)球，則取出的是兩個(gè)白球的概率是；若先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，則取出的是白球的概率是.4．（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）已知甲?乙?丙三人參加射擊比賽，甲?乙?丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則三人中恰有兩人命中的概率為；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為.5．（24-25高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知某條線路上有兩輛相鄰班次的BRT（快速公交車(chē)），若準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，則準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為.6．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)有甲、乙兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙箱有3個(gè)紅球和2個(gè)白球.從甲箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)摸出1個(gè)球.(1)求從乙箱中摸出白球的概率；(2)若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個(gè)紅球的概率.7．（24-25高二上·遼寧錦州·期末）科技特長(zhǎng)生是經(jīng)過(guò)教育廳、教育局發(fā)文，有正式定義的、享有特殊招生政策的學(xué)生群體，簡(jiǎn)言之，就是得到特定比賽或競(jìng)賽獎(jiǎng)項(xiàng)的學(xué)生，可認(rèn)定為科技特長(zhǎng)生．目前科技特長(zhǎng)生認(rèn)證中認(rèn)可度高的賽事主要分為四大類(lèi)，第一是科技創(chuàng)新類(lèi)，第二是機(jī)器人類(lèi)，第三是信息學(xué)類(lèi)，第四是航模類(lèi)．現(xiàn)將兩個(gè)班的科技特長(zhǎng)生報(bào)名表分別裝進(jìn)兩個(gè)檔案袋，第一個(gè)檔案袋內(nèi)有5份男生檔案和3份女生檔案，第二個(gè)檔案袋內(nèi)有2份男生檔案和4份女生檔案．(1)若從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)依次取出2人的檔案，每次取出的檔案不再放回．（?。┣笕〕龅倪@2人的檔案中有女生檔案的概率；（ⅱ）求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率；(2)若先從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案放入第二個(gè)檔案袋中，再?gòu)牡诙€(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案，求從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生的概率．專(zhuān)題12概率目錄易錯(cuò)點(diǎn)01混淆互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概念易錯(cuò)點(diǎn)02混淆“有放回”與“不放回”致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)03古典概型問(wèn)題忽略“等可能性”易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)條件概率理解不透徹致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概念典例（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．事件和事件獨(dú)立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對(duì)立 D．事件和事件互斥【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槭录褪录M足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對(duì)立，故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)，不為時(shí)，事件和事件不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點(diǎn)為事件，出現(xiàn)點(diǎn)為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯(cuò)誤.故選：B【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱(chēng)事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱(chēng)事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．【解讀】互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．2、相互獨(dú)立事件的概念（1）對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱(chēng)事件與事件相互獨(dú)立．（2）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．易錯(cuò)提醒：(1)判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.(2)互斥事件與相互獨(dú)立事件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：①相同點(diǎn)：二者都是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系；②不同點(diǎn)：互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.1．（24-25高三上·上?！て谥校仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為（

）A．是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件C．既是相互獨(dú)立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互獨(dú)立事件【答案】A【分析】根據(jù)互相獨(dú)立事件、互斥事件的定義確定即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，所以事件與事件是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件.故選：A.2．（24-25高二上·湖北·期中）一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不超過(guò)6”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于3”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為4的球”，則（

）A．事件與事件是相互獨(dú)立事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件【答案】D【分析】先列舉出各事件包含的基本事件，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率特征判斷A；根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念判斷B，C，D.【詳解】解：由題意可知：所以基本事件為：，；；，所以，，，對(duì)于A，因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以事件與事件不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以事件與事件是互斥事件，故正確.故選：D.3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．與為互斥事件 B．與相互獨(dú)立C． D．【答案】BD【分析】由互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AB；利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算判斷C；求出條件概率判斷D.【詳解】依題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，對(duì)于A，事件能同時(shí)發(fā)生，如基本事件，與不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，共6個(gè)不同結(jié)果，，與相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，共9個(gè)不同結(jié)果，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，D正確.故選：BD1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用互斥事件的定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)朝上面的點(diǎn)數(shù)為時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，即與不是互斥事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨(dú)立【答案】A【分析】利用互斥事件，獨(dú)立事件的定義即得.【詳解】由題意得，，所以.所以與，與均相互獨(dú)立，與，與均不互斥.故選：A.3．（24-25高三上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】寫(xiě)出事件的全部基本事件，再根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷即可.【詳解】解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個(gè)白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個(gè)白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對(duì)立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對(duì)立的事件.故選：B4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對(duì)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立【答案】C【分析】利用計(jì)算出，可得到則能得到與不互斥，不對(duì)立；再利用算出即可得到答案【詳解】由可得，因?yàn)椋瑒t與不互斥，不對(duì)立，由可得，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立故選：C5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開(kāi)設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類(lèi)冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門(mén)課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門(mén)相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對(duì)立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門(mén)相同，②兩門(mén)都相同，③兩門(mén)都不相同；故與互斥不對(duì)立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.故選：C6．（24-25高三上·上海·期中）對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件、、、，其中，，，，，，，，則（

）（注：表示集合的元素個(gè)數(shù)）A．與不互斥 B．與互斥但不對(duì)立C．與互斥 D．與相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，則，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，A、D對(duì)立，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D.易錯(cuò)點(diǎn)02：混淆“有放回”與“不放回”致錯(cuò)典例（24-25高三上·天津南開(kāi)·期中）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫(xiě)出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：A.【易錯(cuò)剖析】本題求解時(shí)容易混淆“有放回”和“無(wú)放回”的區(qū)別而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.?定義和操作方式?（1）?無(wú)放回抽取?：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個(gè)元素，第一次抽取后剩下9個(gè)，第二次抽取時(shí)只剩下9個(gè)元素可供選擇。（2）?有放回抽取?：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進(jìn)行下一次抽取。這樣，每次抽取時(shí)元素總數(shù)保持不變和概率不變。2.?概率模型和應(yīng)用場(chǎng)景?（1）?無(wú)放回抽取?：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨(dú)立事件，如抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)概率等。（2）?有放回抽取?：適用于二項(xiàng)分布，常用于重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的情況，如多次投擲硬幣、多次獨(dú)立試驗(yàn)等。3.?數(shù)學(xué)表達(dá)和計(jì)算方法?（1）?無(wú)放回抽取?：計(jì)算概率時(shí)需要考慮元素的順序和組合數(shù)。例如，從n個(gè)元素中抽取m個(gè)元素的組合數(shù)為（2）?有放回抽取?：每次抽取是相互獨(dú)立的，因此可以直接使用二項(xiàng)分布公式進(jìn)行計(jì)算，即P(X=k)=binom(n,p,k)，其中n是試驗(yàn)次數(shù)，p是成功的概率，k是成功的次數(shù)。?易錯(cuò)提醒：在處理與抽樣有關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)要區(qū)分“有放回抽取”和“無(wú)放回抽取”的不同，有放回抽取時(shí)每一次抽取背景是一樣的，即總體個(gè)數(shù)不變概率不變；無(wú)放回抽取時(shí)每一次抽取背景是變化的，即總體個(gè)數(shù)要變，概率也變.1．（2024·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率.故選：C.2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲獲勝的情形有三種：第一種，甲第一次就摸到紅球；第二種，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到紅球；第三種，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到紅球.利用古典概率的加法求解即可【詳解】；故選：C.3．（2024·上海徐匯·一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（

）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【答案】B【分析】因?yàn)橹貜?fù)摸球次數(shù)足夠多，所以將頻率視為概率，應(yīng)用古典概型概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，由題意可得：，解得：.故選：B1．（24-25高三上·專(zhuān)題訓(xùn)練）從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則是（

）A．4個(gè)球不都是紅球的概率 B．4個(gè)球都是紅球的概率C．4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率 D．4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率【答案】C【分析】由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件計(jì)算公式即可求解【詳解】4個(gè)球都是紅球的概率為，故B錯(cuò)誤；4個(gè)球不都是紅球的概率為，故A錯(cuò)誤；4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率為，故C正確；4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個(gè)口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球，第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，同時(shí)在袋中加入兩個(gè)與所取球完全相同的球，第二次再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，則此次摸出的是黃球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助全概率公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)事件為第一次從中隨機(jī)摸出一個(gè)球的顏色為白色，事件為第二次再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球是黃球，則.故選：B.3．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個(gè)，再?gòu)暮兄械诙纬槿∫磺颍瑒t第二次抽出的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)，由全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，由全概率公式，由題意，，，．所以．故選：A.4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中每次隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，取出后放回，連續(xù)取兩次，至少有一個(gè)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)立事件概率公式、概率乘法公式，結(jié)合古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)連續(xù)取兩次，一次都沒(méi)有奇數(shù)為事件，因?yàn)?，所以，故選：D5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之和是5的倍數(shù)的情況，結(jié)合古典概型求概率，即可求解．【詳解】從6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，有共15種情況，其中數(shù)字之和為5的倍數(shù)的有共3種情況，所以所求的概率為.故選：A.6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.(1)求甲、乙兩人摸出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)這種游戲規(guī)則不公平，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)“甲、乙兩人摸出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6”為事件，然后列舉出事件包含的基本事件，并得到數(shù)量，再計(jì)算出甲、乙二人取出的數(shù)字共有數(shù)量，然后得到事件的概率；（2）設(shè)“甲勝”為事件，“乙勝”為事件，然后列舉出事件所包含的基本事件及數(shù)量，由此得到事件的概率，由對(duì)立事件求出事件的概率，從而判斷游戲的公平性.【詳解】（1）設(shè)“甲、乙兩人摸出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為，，，，共5個(gè)，又甲、乙二人取出的數(shù)字共有（個(gè)）等可能的結(jié)果，所以；（2）這種游戲規(guī)則不公平.設(shè)“甲勝”為事件，“乙勝”為事件，則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個(gè)：，，，，，，，，，，，，.所以甲勝的概率，從而乙勝的概率，由于，所以這種游戲規(guī)則不公平.7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.用表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲取到白棋的概率.【解析】設(shè)袋中白棋共有個(gè)，，則依題意知：，∴，即，解之得（舍去）.（1）袋中的7枚棋子3白4黑，隨機(jī)變量的所有可能取值是1，2，3，4，5.，，，，.（注：此段4分的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣1分，錯(cuò)到4個(gè)即不得分.）隨機(jī)變量的概率分布列為：12345所以.（2）記事件“甲取到白棋”，則事件包括以下三個(gè)互斥事件：“甲第1次取棋時(shí)取出白棋”；“甲第2次取棋時(shí)取出白棋”；“甲第3次取棋時(shí)取出白棋”.依題意知：，，，所以，甲取到白棋的概率為易錯(cuò)點(diǎn)03：古典概型問(wèn)題忽略“等可能性”【典例】（2025全國(guó)高三專(zhuān)題訓(xùn)練）甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是.【答案】【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：【易錯(cuò)剖析】在處理古典概型問(wèn)題時(shí)一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.古典概型的定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱(chēng)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.3.古典概型解題步驟（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；（4）利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首要步驟是確認(rèn)試驗(yàn)是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本空間，這一過(guò)程中需特別注意兩點(diǎn)：一是樣本中的元素是否存在順序性，因?yàn)轫樞虻牟煌瑫?huì)構(gòu)成不同的樣本空間；二是取樣時(shí)是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復(fù)出現(xiàn)。明確了這兩點(diǎn)后，就可以計(jì)算出樣本空間的總樣本點(diǎn)數(shù)量，以及所求事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)量，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式，得出所求事件的概率。1．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出5張卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重復(fù)的基本事件，利用間接法以及古典概型即可求解.【詳解】5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復(fù)的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率.故選：B.2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個(gè)球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】使用古典概率方法即可確定，，然后可以驗(yàn)證選項(xiàng)A和D，最后使用加法公式驗(yàn)證選項(xiàng)B，使用條件概率公式驗(yàn)證選項(xiàng)C即可.【詳解】依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回）的試驗(yàn)，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對(duì)于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對(duì)于В，，，В正確；對(duì)于C，有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，D正確.故選：C3．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．【答案】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類(lèi)討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)12時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在個(gè)電子元件中，有個(gè)次品，個(gè)合格品，每次任取一個(gè)測(cè)試，測(cè)試完后不再放回，直到個(gè)次品都找到為止，則經(jīng)過(guò)次測(cè)試恰好將個(gè)次品全部找出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率的乘法公式可得解.【詳解】由已知可得前兩次測(cè)試一次取得正品一次取得次品，第三次測(cè)試恰好取得次品，則，故選：B.2．（2025高三上·專(zhuān)題訓(xùn)練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】分別寫(xiě)出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】將兩名男生編號(hào)為，兩名女生編號(hào)，記“抽到的兩人都是女生”，從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中有4個(gè)樣本點(diǎn)，所以.在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中有2個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：C.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）4個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)正品，1個(gè)次品．現(xiàn)每次取出1個(gè)做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經(jīng)過(guò)3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一，直接法，第3次抽到次品或前3次抽到的都是正品；法二，求其對(duì)立面，經(jīng)過(guò)1次檢查恰好將1個(gè)次品或經(jīng)過(guò)2次檢查恰好將1個(gè)次品找到.【詳解】方法一：經(jīng)過(guò)3次檢查恰好將1個(gè)次品找到包括兩種情況：①第3次抽到次品，前2次抽到2個(gè)正品；②前3次抽到的都是正品，所以經(jīng)過(guò)3次檢查恰好將次品找到的概率是；方法二：①經(jīng)過(guò)1次檢查恰好將1個(gè)次品找到的概率是；②經(jīng)過(guò)2次檢查恰好將1個(gè)次品找到的概率是，所以經(jīng)過(guò)3次檢查恰好將次品找到的概率是.故選：C．4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在《周易》中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說(shuō)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是.故選：B.5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）每次從0～9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次得到n個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)）A．23 B．22 C．21 D．20【答案】B【分析】分別計(jì)算所有基本事件的個(gè)數(shù)以及不含0的基本事件，然后利用古典概型進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：有放回地排列個(gè)數(shù)字，得個(gè)基本事件，其中不含0的基本事件為．由題意得，即，∴．∴最小取22．故選：B．6．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.【答案】/【分析】列舉所有可能的情況求解即可.【詳解】由題意，任取兩個(gè)數(shù)所有可能的情況有，，1,4，，2,3，，，，，共10種情況，其中兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的情況有，，共3種情況，故兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.故答案為：7．（24-25高三上·廣西貴港·開(kāi)學(xué)考試）甲?乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.【答案】/【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率，然后可解.【詳解】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率.甲從三個(gè)盒子中各取一球，共有種取法，三個(gè)都是編號(hào)較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為.故答案為：8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為；從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為.【答案】/0.3/0.4【分析】利用古典概型求概率公式即可求出結(jié)果；【詳解】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作共有種選法，其中甲、乙都入選共有種，所以甲、乙都入選的概率；從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張共有種抽取情況，抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況有：1,4，，，，，共計(jì)6種情況，所以抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率.故答案為：，9．（2024·浙江寧波·一模）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個(gè)球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的兩個(gè)小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個(gè)球中依次不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.【答案】【分析】列舉第一輪中甲得1分的情況，結(jié)合排列組合以及乘法公式即可求解.【詳解】若第一輪在第一輪中得1分，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，3，則乙抽到的小球只能是2，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，4，則乙抽到的小球可以是2或3，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，3，則乙抽到的小球可以是1或4，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5時(shí)，則乙抽到的小球可以是剩下三個(gè)小球中的任何一個(gè)，故共有，因此第一輪中甲得1分的概率為,在第二輪的過(guò)程中，只剩下兩個(gè)球，要使甲在第二輪中得1分，只需要甲在剩下兩個(gè)球中抽到號(hào)碼大的球即可，故概率為，因此甲在兩輪中共得2分的概率為，故答案為：易錯(cuò)點(diǎn)04：對(duì)條件概率理解不透徹致錯(cuò)典例（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)400名高二學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)相應(yīng)事件,根據(jù)題意利用全概率公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則，，由全概率公式可得，所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.故選：A【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區(qū)別而致錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（2）條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．2、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．3、貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且易錯(cuò)提醒：解決條件概率問(wèn)題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進(jìn)行第二步．第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計(jì)算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計(jì)算思路二直接利用公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計(jì)算1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對(duì)乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用條件概率求解即可.【詳解】記事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，則，，，因?yàn)?，即，解得，又因?yàn)?，即，解得，因?yàn)?，所以，所?故選：D.2．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過(guò)調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率．【答案】【分析】答題空一：根據(jù)題意設(shè)出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結(jié)果，根據(jù)貝葉斯公式即可求解.【詳解】設(shè)事件表示產(chǎn)品能出廠上市，事件表示產(chǎn)品不需要調(diào)試，表示產(chǎn)品需要調(diào)試，則有，，，，由全概率公式可得：；由貝葉斯公式可得：.故答案為：；3．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）現(xiàn)有質(zhì)量分別為千克的六件貨物，將它們隨機(jī)打包裝入三個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個(gè)箱子.則第一?二個(gè)箱子的總質(zhì)量均不小于第三個(gè)箱子的總質(zhì)量的概率是.【答案】/【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式的概率公式求解.【詳解】由于六件貨物的質(zhì)量之和不是3的倍數(shù)，因而不可能出現(xiàn)三個(gè)箱子的總重量都相同的情況.設(shè)事件表示存在兩個(gè)箱子，它們的總質(zhì)量相同且同時(shí)最小，事件表示第一?二個(gè)箱子的總質(zhì)量均不小于第三個(gè)箱子的總質(zhì)量.考慮三個(gè)箱子的擺放順序，可得.當(dāng)發(fā)生時(shí)，這兩個(gè)箱子的貨物組合只能是和和和三種可能，故.當(dāng)不發(fā)生時(shí)，表示僅有一個(gè)箱子的總質(zhì)量最小，于是由對(duì)稱(chēng)性，得.故.故答案為：.1．（24-25高二上·遼寧遼陽(yáng)·期末）在某次電子競(jìng)技大賽中，甲、乙進(jìn)入決賽，決賽采取五局三勝的冠亞軍爭(zhēng)奪賽制．已知甲在每局比賽中獲勝的概率均為，比賽無(wú)平局且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了五局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出甲獲得冠軍的概率，再利用條件概率公式即可求解.【詳解】若