導(dǎo)數(shù)的概念3.1主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分問題引入導(dǎo)數(shù)及其概念可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系問題引入Part011一、問題引入引例1

當(dāng)運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，其在不同時刻的速度是不同的，假設(shè)t秒后運動員相對水面的高度為

，請問在2s時運動員的速度（瞬時速度）為多少?分析：運動員在2s到2.1s之間（計為[2，2.1]）的平均速度一、問題引入

同樣，可以計算出該運動員在[2，2.01]，[2，2.001]，…上的平均速度，以及在[1.99，2]，[1.999，2]，…上的平均速度，如下表時間/s間隔/s平均速度/（m/s）[2，2.1]0.1-13.59[2，2.01]0.01-13.149[2，2.001]0.001-13.1049[2，2.0001]0.0001-13.10049[2，2.00001]0.00001-13.100049………一、問題引入

由以上兩個表格可以看出，當(dāng)時間間隔越來越小時，平均速度趨于一個常數(shù)，這一常數(shù)就是該運動員在2s時的瞬時速度，通過對平均速度求極限就可以得到瞬時速速。時間/s間隔/s平均速度/（m/s）[1.9，2]0.1-12.61[1.99，2]0.01-13.051[1.999，2]0.001-13.0951[1.9999，2]0.0001-13.09951[1.99999，2]0.00001-13.099951………一、問題引入引例2

變速直線運動物體的速度設(shè)質(zhì)點運動的位置函數(shù)為則t0到t的平均速度為而在時刻

t0的瞬時速度為一、問題引入引例3

切線問題

如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線已知曲線的方程確定點M處切線的斜率。割線的極限位置——切線位置。一、問題引入切線MT的斜率為割線MN的斜率為設(shè)一、問題引入兩個問題的共性：瞬時速度切線斜率類似問題還有：加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。導(dǎo)數(shù)及其概念Part022二、導(dǎo)數(shù)及其概念

函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)

在

點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點

處取得改變量

時，函數(shù)

取得相應(yīng)的改變量

。如果當(dāng)

時，二、導(dǎo)數(shù)及其概念存在，則稱此極限值為函數(shù)

在點

的導(dǎo)數(shù)，記作并稱函數(shù)

在點

可導(dǎo)；如果

不存在，則稱數(shù)

在點

不可導(dǎo)。，或，或，或二、導(dǎo)數(shù)及其概念其它形式令（）令（

）

二、導(dǎo)數(shù)及其概念由定義知：求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)步驟：求增量算比值求極限例1

解：由導(dǎo)數(shù)定義的第三種形式得求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)。

二、導(dǎo)數(shù)及其概念概念拓展

導(dǎo)數(shù)的概念蘊含了量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，本質(zhì)是“變化率”問題。在追求知識的過程中，我們發(fā)揚中國航天精神，勇于探索，開拓創(chuàng)新，以嚴(yán)謹客觀的科學(xué)態(tài)度對待真理，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢擔(dān)當(dāng)盡責(zé)，奉獻力量。二、導(dǎo)數(shù)及其概念

單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1）左導(dǎo)數(shù)：（2）右導(dǎo)數(shù)：定理：函數(shù)

在點

處可導(dǎo)函數(shù)在點處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在分段點是否可導(dǎo)。例2

解：求函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。

二、導(dǎo)數(shù)及其概念可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系Part033三、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系定理：函數(shù)

在點

處可導(dǎo)

在點

處連續(xù)。反例：由上例知

在

處連續(xù)，但不可導(dǎo)。

課堂小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)：

增量比的極限2.3.可導(dǎo)與連續(xù)的的關(guān)系：

可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。4.判斷函數(shù)的可導(dǎo)性：不連續(xù)，一定不可導(dǎo)；直接利用導(dǎo)數(shù)的定義；看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等。主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)公式3.2導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)基本公式導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)函數(shù)Part011一、導(dǎo)函數(shù)對于任一，都對應(yīng)著的一個確定的導(dǎo)數(shù)值。這個函數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記作，或，或或。注意：導(dǎo)數(shù)基本公式Part022二、導(dǎo)數(shù)基本公式由導(dǎo)函數(shù)定義知求導(dǎo)數(shù)步驟：求增量算比值求極限二、導(dǎo)數(shù)基本公式例1解求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。（1）求函數(shù)的增量為（2）算比值（3）求極限二、導(dǎo)數(shù)基本公式例2解求函數(shù)f(x)=x2在x=1的導(dǎo)數(shù)。（1）求函數(shù)的增量為（2）算比值（3）求極限即二、導(dǎo)數(shù)基本公式一般地，由定義可求出常見的基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）（8）（5）二、導(dǎo)數(shù)基本公式以上公式只有函數(shù)中的自變量是“單純”的，才能直接套用，要類比記憶、靈活使用。（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）二、導(dǎo)數(shù)基本公式ABCD提交1.設(shè)

，則

（

）單選題2分二、導(dǎo)數(shù)基本公式AB提交2.設(shè)則（）單選題2分86124CD二、導(dǎo)數(shù)基本公式ABCD提交3.已知某物體的運動方程，則當(dāng)時的速度為（）單選題2分3102導(dǎo)數(shù)的幾何意義Part033三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處的切線的斜率，即f'(x0)=tanα。切線方程：．法線方程：三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3所求切線方程為即所求法線方程為即求等邊雙曲線在點處的切線的斜率并寫出在該點處的切線方程和法線方程。解所求切線及法線的斜率分別為三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義AB提交4.曲線在點處切線的斜率（）單選題2分01CD三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義AB提交5.函數(shù)上點處的切線斜率為1，則點的坐標(biāo)為（）單選題2分CD三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義作答6.曲線上橫坐標(biāo)為的點處的切線方程與法線方程。主觀題5分課堂小結(jié)求導(dǎo)基本公式030201導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)函數(shù)切線的斜率主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的四則運算3.3盡管導(dǎo)數(shù)的定義給出了求導(dǎo)數(shù)的具體方法，但是若對每一個函數(shù)都直接根據(jù)定義求其導(dǎo)數(shù)，則工作量是很大的。因此有必要給出導(dǎo)數(shù)的運算法則，以簡化導(dǎo)數(shù)的計算。引入導(dǎo)數(shù)的四則運算法則例題講解導(dǎo)數(shù)的四則運算法則Part011一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則定理（1）簡記為（3）（2）簡記為簡記為設(shè)函數(shù)都在點可導(dǎo)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點具有導(dǎo)數(shù)，并且一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則推廣：設(shè)均可導(dǎo)，則有（1）（2）若在法則（2）中?。–為常數(shù)）則有由（3）知例題講解Part022二、例題講解例1解：設(shè)，求二、例題講解例2解：于是設(shè)，求及。二、例題講解例3解：設(shè)，求。二、例題講解例4解：設(shè)，求。二、例題講解例5解：即設(shè)這就是正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。二、例題講解例6解：即這就是正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。設(shè)用類似的方法還可求得余切函數(shù)與余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：拓展提升工匠精神

導(dǎo)數(shù)的運算，就像工匠做工一樣，用什么樣的工具（公式和法則）？如何使用？要認真細心，反復(fù)練習(xí)和琢磨，才能做出精美的產(chǎn)品（正確求出導(dǎo)數(shù)）。課堂小結(jié)030201導(dǎo)數(shù)的四則運算法則主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.4引例復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例題講解引例Part011一、引例思考：×?復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則Part022二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即：因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)?！?zhǔn)角髮?dǎo)法則如果函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在相應(yīng)的點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且，或二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣關(guān)鍵：搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到有限多個中間變量的情形。例如，，，，均為可導(dǎo)函數(shù)，且可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則例題講解Part033三、例題講解例1注意：最后變量還原。解：設(shè)三、例題講解例2解：設(shè)三、例題講解例3設(shè)解：復(fù)合，則三、例題講解例4設(shè)解：的復(fù)合，則對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練后，就不必再寫出中間變量，而可以采用下列例題的方法來計算。三、例題講解例5解：設(shè)三、例題講解ABCD提交1.已知，則（）單選題2分-三、例題講解ABCD提交2.設(shè)函數(shù)，則（）單選題2分三、例題講解ABCD提交3.設(shè)，則（）單選題2分三、例題講解例6解：設(shè)課堂小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則—鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分高階導(dǎo)數(shù)3.5引例高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的計算引例Part011一、引例變速直線運動

位置函數(shù)

速度函數(shù)

加速度函數(shù)

因此

即加速度函數(shù)是位置函數(shù)對t的二階導(dǎo)數(shù)。

Part022高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)的定義1.二階導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在定義域D上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為f'(x)，如果f'(x)仍為x的函數(shù)且f'(x)仍是可導(dǎo)的，則稱y'=f'(x)的導(dǎo)數(shù)(y')'=(f'(x))'為y=f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)，記為二、高階導(dǎo)數(shù)的定義二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為三階導(dǎo)數(shù)，記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為四階導(dǎo)數(shù)，記作二、高階導(dǎo)數(shù)的定義2.n階導(dǎo)數(shù)一般的，(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為n階導(dǎo)數(shù)，記作3.高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的計算Part033三、高階導(dǎo)數(shù)的計算由定義求高階導(dǎo)數(shù)就是接連多次求導(dǎo)，因此可用函數(shù)的求導(dǎo)法則及求導(dǎo)公式計算高階導(dǎo)數(shù)，下面舉例來介紹高階導(dǎo)數(shù)的計算方法。三、高階導(dǎo)數(shù)的計算例1逐階求導(dǎo)法：按高階導(dǎo)數(shù)的定義逐階求導(dǎo)。解：設(shè)三、高階導(dǎo)數(shù)的計算例2解：設(shè)三、高階導(dǎo)數(shù)的計算例3歸納法：逐階求出若干階導(dǎo)數(shù)后，再歸納出n階導(dǎo)數(shù)的一般表達式。解：設(shè)即三、高階導(dǎo)數(shù)的計算例4解：即設(shè)特別地，當(dāng)時，，而。三、高階導(dǎo)數(shù)的計算例5解：設(shè)三、高階導(dǎo)數(shù)的計算即：同理可得：拓展提升高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)過程告訴我們：做事要腳踏實地，一步一個腳印。面對人生的挫折，我們要像“ex”，堅定信念，百折不撓，始終堅持自己的理想。正如黨的十九大報告中提出：不忘初心，方得始終。課堂小結(jié)0201高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)逐階求導(dǎo)法：按高階導(dǎo)數(shù)的定義逐階求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)的定義微分的概念（1）3.6主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分問題引入微分的定義微分的計算微分基本公式可微的充要條件問題引入Part011一、問題引入正方形鐵皮受溫度變化的影響，其邊長由變?yōu)?，面積改變了多少？解：設(shè)正方形邊長為

，則（1）（2）一、問題引入（1）的線性函數(shù)，且為的主要部分；（2）的高階無窮小，且可忽略。

因為

，所以

記

稱為函數(shù)在點處的微分。

微分的定義Part022二、微分的定義定義：設(shè)函數(shù)

在點可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點的微分，記作，即此時稱在處是可微的。

二、微分的定義

若令

，則

，所以

，即自變量的微分等于自變量的增量。所以

函數(shù)

在任意點的微分稱為函數(shù)的微分，記作，即

注：由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之比，因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商。例1

解：二、微分的定義設(shè)

，當(dāng)時，求

和?

生活中處理非常復(fù)雜的問題，可以采用微分思想，集中力量找出主要矛盾（線性主部），忽略次要矛盾（高階無窮小），從而找到解出復(fù)雜問題的關(guān)鍵所在。拓展提升微分的計算Part033三、微分的計算求法：計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分。例2

三、微分的計算求下列函數(shù)的微分：（1）（2）（4）（3）解：（1）（2）三、微分的計算（3）（4）微分基本公式Part044四、微分基本公式由

，和導(dǎo)數(shù)基本公式得到微分基本公式。

四、微分基本公式9.10.13.15.14.16.11.12.例3

四、微分基本公式填空：（1）（2）（5）（4）（3）（5）解：可微的充要條件Part055五、可微的充要條件定理：若函數(shù)在某點可微函數(shù)在這點可導(dǎo)。說明：此定理僅對一元函數(shù)成立。例4

討論函數(shù)

在處的可微性)（可導(dǎo)性）解：由前面例題知

在不可導(dǎo)，所以在處不可微。課堂小結(jié)函數(shù)的微分微分基本公式可微的充要條件函數(shù)在某點可微函數(shù)在這點可導(dǎo)。微分的概念（2）3.6主講人：xxx第三章導(dǎo)數(shù)與微分微分運算法則復(fù)合函數(shù)的微分微分運算法則Part011一、微分運算法則

由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可得相應(yīng)的微分法則

由可知，就函數(shù)的微分，不必運用微分公式和微分法則，只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就能寫出它的微分。一、微分運算法則例1

解：（1）先求導(dǎo)，再求微分。設(shè)