第三章常用邏輯用語(yǔ)

1.4全稱量詞與存在量詞

1.4.1全稱量詞

1.4.2存在量詞

卜課前自主預(yù)習(xí)

H基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.全稱量詞和全稱命題

對(duì)所有的、對(duì)任意一個(gè)、回對(duì)一切、區(qū)對(duì)每一個(gè)、國(guó)

全稱量詞

任給

符號(hào)

全稱命題含有回全稱量詞的命題

“對(duì)M中任意一個(gè)X,有p(x)成立"，可簡(jiǎn)記為“四V

形式

2.存在量詞和特稱命題

存在一個(gè)、至少有一個(gè)、回有一個(gè)、園對(duì)某個(gè)、會(huì)有

存在量詞

些、四有的

符號(hào)回三

特稱命題含有螞存在量詞的命題

“存在M中的元素次，使p(xo)成立"，可用符號(hào)記為

形式

“回上xo￡〃(xo)”

品知識(shí)拓展

1.對(duì)全稱量詞和全稱命題的理解

(1)全稱量詞往往有一定的限制范圍，該范圍直接影響著全稱命題的真假.若

對(duì)于給定范圍xGM內(nèi)的一切值，都使p(x)成立，則全稱命題為真命題.若能舉

出反例，則為假命題.

(2)有些全稱命題在語(yǔ)言敘述上省略了全稱量詞，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來.例

如，命題“平行四邊形對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形對(duì)角線都

互相平分”.

2.對(duì)存在量詞和特稱命題的理解

(1)特稱命題中，xo相對(duì)于x有特指的意思，有時(shí)xo也寫成p(x)”.

(2)存在量詞也有一定的限制范圍，該范圍直接影響著特稱命題的真假.若對(duì)

于給定的集合至少存在一個(gè)X?”,使p(x)成立，則特稱命題為真命題.若不

存在，則為假命題.

葭]自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)一個(gè)全稱命題可以包含多個(gè)變量.()

(2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.()

(3)全稱命題一定含有全稱量詞，特稱命題一定含有存在量詞.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)命題“有些長(zhǎng)方形是正方形”含有的量詞是,該量詞是

量詞(填“全稱”或“存在”).

(2)“負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)”是命題(填“全稱”或“特稱”).

(3)若命題“Vx?(3,+8),x>a”是真命題，則a的取值范圍是.

答案⑴有些存在⑵全稱(3)(—8,3]

卜課堂互動(dòng)探究

探究1全稱命題與特稱命題的判斷

例1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并用符號(hào)“V”或“三”表

示下列命題.

(1)自然數(shù)的平方大于或等于零；

(2)圓/+>2=1上存在一個(gè)點(diǎn)到直線y=》+1的距離等于圓的半徑；

(3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；

(4)對(duì)于數(shù)列｛斯｝,外=率總存在正整數(shù)“0,使得a%與1之差的絕對(duì)值小于

0.01.

［解］(1)是全稱命題，表示為VxGN,

(2)是特稱命題，表不為三(xo,yo)?｛(x，y)|x2+j2=1｝>滿足^比'=1.

(3)是特稱命題，三五x)c｛函數(shù)｝,汽x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).

nn

(4)是特稱命題，三〃oGN*,la”。一1|<0.01,其中a“0=〃0+］.

拓展提升

判斷一個(gè)語(yǔ)句是全稱命題還是特稱命題的步驟

(1)判斷語(yǔ)句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題.

(2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，

含有存在量詞的命題是特稱命題.

(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì).

【跟蹤訓(xùn)練1】判斷下列語(yǔ)句是全稱命題，還是特稱命題.

(1)凸多邊形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)有些素?cái)?shù)的和仍是素?cái)?shù)；

(4)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直.

解(1)可以改寫為：所有的凸多邊形的外角和等于360。，故為全稱命題.

(2)含有存在量詞“有的”，故為特稱命題.

(3)含有存在量詞“有些”，故為特稱命題.

(4)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱命題.

探究2全稱命題與特稱命題的真假

例2判斷下列命題的真假.

(1)有些三角形的重心在某一邊上；

(2)3xo,T#2兀，使sin(xo+7)=sinxo；

(3)\/xGR,/+2>0；

(4)所有的直線都有斜率.

［解］(1)三角形的三條邊的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，所有三角形的重

心都在三角形內(nèi)部，所以有些三角形的重心在某一邊上是假命題.

(2)3xo=^,T=1，使sinq+§=cos：=sig=坐，所以是真命題.

(3)由于VxGR,都有一己0,因而有d+222>0,即―+2>0.所以命題“Vx

GR,%2+2>0>,是真命題.

(4)當(dāng)直線的傾斜角等于90。時(shí)不存在斜率，故所有的直線都有斜率是假命題.

拓展提升

全稱與特稱命題真假的判斷方法

(1)要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證

p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x=xo,使

得p(xo)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”).

(2)判斷存在性命題p(xo)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合“中xo的

存在性.若找到一個(gè)元素使p(xo)成立，則該命題是真命題；若不存在xo

使p(xo)成立，則該命題是假命題.

【跟蹤訓(xùn)練21判斷下列命題的真假：

(1)任意兩向量a,b,若a山>0,則a,8的夾角為銳角；

(2)3xo,yo為正實(shí)數(shù)，使x8+〉8=O；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P.

解(1)因?yàn)閍山=|a||四?cos(a,b>>0,所以cos(a,b>>0,又0W(a,b〉

WTI,所以0W〈a,b)〈會(huì)即a,8的夾角為零或銳角.故它是假命題.

(2)因?yàn)镹+y2=o時(shí)，x=y=0,所以不存在xo,yo為正實(shí)數(shù)，使向十弟=0,

故它是假命題.

(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題.

探究3含有量詞的命題的應(yīng)用

例3(1)已知命題"VxdHZbf—m'O”為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)已知命題q：［0,兀］，使得sin%+cosx=機(jī)有解為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)

的取值范圍.

［解］(l)vaVxe［l,2］,X2—加20”成立，

/.x2—m^O在無￡［1⑵恒成立.

又尸一在〔I?上單調(diào)遞增，

.\y=x1—m的最小值為1一根.

1一機(jī)N0,得加W1.

???實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,1］.

(2)命題q為真，即方程sinx+cosx=m在冗￡［。,兀］上有解，設(shè)火x)=sinx+cosx,

Am的取值范圍就是火工)=sinx+cosx在［0,兀］上的值域.

?;於)=sinx+cosx=^/2sin(x+^.

.?！肛?兀

而入￡［0,兀］,..x+~E,

sin(x+^)e—亭，1，

故於)0一1,的,

.?.機(jī)的取值范圍為［—1,^2］.

［條件探究］若把例3(1)中的“V”改為“三”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m

的取值范圍.

解u3%e［1,2］,%2一機(jī)三0”成立，

.'.x2—m^0在x?［1,2］有解.

又函數(shù)在口,2］上單調(diào)遞增，

二y二%2的最大值為22=4.

.*.4一m^O,即機(jī)W4,

,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,4］.

拓展提升

應(yīng)用全稱命題與特稱命題求參數(shù)范圍的兩類題型

(1)全稱命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)

應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元

素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.

(2)特稱命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是

否存在”等語(yǔ)句表述.解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然

后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在

性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè).

【跟蹤訓(xùn)練3】若存在xoGR,使axB+2xo+a<O,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解當(dāng)aWO時(shí)，顯然存在xo?R,使axd+2xo+a<O；

當(dāng)a>0時(shí)，需滿足4=4—4/>0,得一l<a<l,故0<a<l.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（一8,1）.

1

f---------------------------------1舞刖------------------------

1.有些全稱命題和特稱命題沒有定義中的量詞，需要自己“翻譯”，找出其

中的量詞，才可以判斷其是全稱命題還是特稱命題，進(jìn)而再判斷其真假.

2.判定全稱命題p。）”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x,

證明p（x）成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素xo,使Q（XO）不成立，那么這個(gè)全稱

命題就是假命題.

3.判定特稱命題p（xo）”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元

素xo,使p（xo）成立即可；如果在集合M中，使2Q）成立的元素x不存在，那么這

個(gè)特稱命題是假命題.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.下列命題是“\/xGR,f>3”的另一種表述方法的是（）

A.有一個(gè)xGR,使得一>3

B.對(duì)有些xGR,使得一>3

C.任選一個(gè)x?R,使得f>3

D.至少有一個(gè)x?R,使得f>3

答案C

解析“Vx?R,f>3”是全稱命題，改寫時(shí)應(yīng)使用全稱量詞.

2.下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）

①末位是0的整數(shù)，可以被2整除；②角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距

離相等；③正四面體中兩側(cè)面的夾角相等.

A.1B.2C.3D.0

答案C

解析①②③均為全稱命題且均為真命題.故選C.

3.設(shè)非空集合A,3滿足則（）

A.ElxoeA,使得xoiB

B.X/尤?A,有xGB

C.使得

D.\/x^B,有xGA

答案B

解析因?yàn)榉强占螦,3滿足AU3,所以A中元素都在3中，即Vx?A,

有無GB

4.特稱命題“Ao?R,|xo|+2WO”是(填“真”或“假”)命題.

答案假

解析因?yàn)閂x?R,|x|NO,所以|x|+2>2,不存在xo?R,使|xo|+2WO.

5.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題？并判斷其真假.

(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使等式N+x+8=O成立；

(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交；

(3)若對(duì)所有的正實(shí)數(shù)，不等式根都成立，則加W2；

(4)如果對(duì)任意的正整數(shù)附，數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和6為常數(shù))，

那么數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列.

解(1)特稱命題.

..“2+1+8=卜+習(xí)2+,>0,...命題為假命題.

(2)全稱命題，假命題.

如存在y=f+x+l與x軸不相交.

(3)全稱命題.

是正實(shí)數(shù)，

.,.%+1>21/萬(wàn)』=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)"="成立).

即x十』的最小值是2,而m<x+-,從而根W2.

X

所以這個(gè)全稱命題是真命題.

(4)全稱命題.

=-=

?SnctrP'Hbn9??ciiu~\~b.

=22=

當(dāng)時(shí)，an—Sn—Sn-1an-[-bn-a(n—l)—b(n—l)2na~\~b—a,an—ctn

-\—2na~\~b—a—[2(〃一l)a~\~b—a]—2a,

又〃=1時(shí)，ai—a~\~b,02=2X2。+6一a—3a~\~b,ai—m=2〃，也滿足上式，

從而數(shù)列｛〃”｝是等差數(shù)列，即這個(gè)全稱命題是真命題.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.下列命題是特稱命題的是()

A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以o都等于o

B.每一個(gè)向量都有大小

C.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D.存在實(shí)數(shù)不小于3

答案D

解析A,B,C是全稱命題，D是特稱命題.

2.“存在集合A,使。A"，對(duì)這個(gè)命題，下面說法中正確的是()

A.全稱命題、真命題B.全稱命題、假命題

C.特稱命題、真命題D.特稱命題、假命題

答案C

解析當(dāng)時(shí)，0A,是特稱命題，且為真命題.

3.下列命題中是全稱命題并且是真命題的是()

A.每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上

B.對(duì)任意非正數(shù)c,若。W》+c,則。W6

C.存在一條直線與兩個(gè)相交平面都垂直

D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo使不等式看一3xo+6<O成立

答案B

解析C,D是特稱命題，A是假命題.

4.下列命題中假命題的個(gè)數(shù)為()

2

①X/x?R,2Li>0；②VxdN*,(x-l)>0；(3)3xoGR,lgx0>l；?Bxo^R,

tan%o=2；⑤ElxoCR,sin2xo+sinxo+1=0.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析①中命題是全稱命題，易知2廠1>0恒成立，故是真命題；②中命題是

全稱命題，當(dāng)x=1時(shí)，(X—1)2=0,故是假命題；③中命題是特稱命題，當(dāng)X=

100時(shí)，lgx=2,故是真命題；④中命題是特稱命題，依據(jù)正切函數(shù)定義，可知

是真命題.⑤,通0+32+(>]>0恒成立，可知為假命題.

5.命題2：短叱；命題儀V?G(O,1)U(1,+8),函數(shù)人x)=k)ga(x

—1)的圖象過點(diǎn)(2,0),則()

A.2彳取q真B.p真q彳取

C.2假q彳取D.p真q真

答案A

解析當(dāng)%=0或1時(shí)，x3=x2,

當(dāng)X>1時(shí)，X3〉%2,所以不存在x?N使^a2,所以P是假命題.

因?yàn)榇?)=loga(2—l)=logal=0,所以q是真命題.故選A.

6.下列命題中既是pAq形式的命題，又是真命題的是()

A.10或15是5的倍數(shù)

B.方程一—3x—4=0的兩根是4和一1

C.集合A是AA5的子集或是AUB的子集

D.有兩個(gè)角為45。的三角形是等腰直角三角形

答案D

解析“有兩個(gè)角是45。的三角形是等腰三角形，而且是直角三角形”，是

且q”的形式且為真.

二、填空題

7.“任意一個(gè)不大于0的數(shù)的立方不大于0”用“三”或“V”符號(hào)表示為

答案X/xWO,x'wo

解析“任意一個(gè)”為全稱量詞，所以表示為VxWO,x3<0.

8.下列命題：

①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)；②與同一個(gè)平面所成的角相等的兩條直線平行；③有的

三角形三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列；④與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.

其中是全稱命題的為,是特稱命題的為.(填序號(hào))

答案②④①③

解析①③是特稱命題，②④是全稱命題.

9.已知p：函數(shù)兀0=/+膽+1的圖象與大軸有兩個(gè)交點(diǎn)，q-VxCR4%2

+4(m-2)x+l>0恒成立.若pVq為真，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

答案(一8,—2)U(1,+°0)

解析若函數(shù)次》)=%2+膽+1的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則/=冽2—4>0,

解得m>2或機(jī)<一2.若Vx?^d爐+曲機(jī)一？)；!^1>0恒成立，則J=16(m—2)2—

16<0,解得l<m<3.

,.,pVq為真，，p真4假或p假9真或p真鄉(xiāng)真.

機(jī)>2或機(jī)<—2,f—

<、或，

〔用23或加ll<m<3

、/加>2或帆<一2,

或

解得加<—2或m>1,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(