突破04與代數(shù)'三角形'四邊形'圓有關(guān)的閱讀理解題

目錄一覽

中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一與代數(shù)有關(guān)問題

A考向二與三角形有關(guān)問題

A考向三與四邊形有關(guān)問題

A考向四與圓有關(guān)問題

歲中考解密

“閱讀與思考”是近年中考出現(xiàn)的新題型，設(shè)題背景常結(jié)合數(shù)學(xué)文化考查，這類題改變傳統(tǒng)的“由條件求結(jié)

果”模式，集閱讀、理解、思考、應(yīng)用于一體.通常是以一個新概念、新公式的形式、推導(dǎo)與應(yīng)用的形式出

現(xiàn)，或提供材料，給出一定的操作程序、數(shù)學(xué)思想方法，然后運用從中學(xué)到的知識解決有關(guān)問題，考查學(xué)

生的閱讀思考能力和解決問題的能力.數(shù)學(xué)閱讀因其語言的高度抽象，以及文字語言、符號語言和圖形語

言并存，有別于其他學(xué)科的閱讀，要掌握數(shù)學(xué)閱讀的方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，提高閱讀素養(yǎng).

士重點考向

A考向一與代數(shù)有關(guān)問題

’1寫?①

1.（2023?寧夏）解不等式組12-3x<4-x②

下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：

解:由①得：

4-2（2x-1）>3x-1…第1步

4-4x+2>3x-1…第2步

-4龍-3x>-1-4-2

-7x>-7…第3步

尤>1…第4步

任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是;

不等式①的正確解集是;

任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集.

2.(2023?通遼)閱讀材料：

材料1：關(guān)于x的一元二次方程ar+bx+c=0(存0)的兩個實數(shù)根xi，X2和系數(shù)a,b,c,有如下關(guān)

bc

系：xi+x2=~a,xiX2=a.

材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的兩個實數(shù)根分別為機，n,求的值.

解：；相，”是一元二次方程x2-X-1=0的兩個實數(shù)根，

m+n=1,mn=-1.

貝!]m2n+mn2=mn(m+n)=-lxl=-1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

(1)應(yīng)用：一元二次方程2r+3尤-1=0的兩個實數(shù)根為無1，尤2，則尤1+X2=，xix2=.

(2)類比：己知一元二次方程"+3尤-1=0的兩個實數(shù)根為相，”，求加2+層的值；

(3)提升：已知實數(shù)s,f滿足2s2+3S-1=0,2尸+3片1=0且s#,求st的值.

3.(2022?黃石)閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(f)2-13f+36=0,如果我們把f看作一個整體，然后設(shè)尸—則原方程可化為/-

13y+36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為Xi.2=±2,x3.4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做

換元法.

材料2

己知實數(shù)根，a滿足療-根-1=0,n2-n-1=0,且*〃，顯然相，兒是方程x2-x-1=0的兩個不相

等的實數(shù)根，由韋達定理可知機+”=1,1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程尤4_5/+6=0的解為Xl=&,X2=-近,無3=如，X4=—M_；

(2)間接應(yīng)用：

己知實數(shù)a,b滿足：2a4-7a2+l=0,2/-7〃+1=0且的宏求，+"的值;

(3)拓展應(yīng)用：

111

-r-2-r

己知實數(shù)“3〃滿足：m+m=7,〃2_”=7且">0,求m+/的值.

4.(2022?寧夏)下面是某分式化簡過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù).

—^―12

2------

(x-4-x+2)+x-2

，-----包x-2

99---

=(X-4-X-4).2…第一步

-x---x---2■x-2

=X2-42…第二步

_____22_____rx-2

=(x+2)(x-2)'2...第三步

1

=-前■…第四步

任務(wù)一：填空

①以上化簡步驟中，第步是通分，通分的依據(jù)是

②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是.

任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果.

5.(2022?安順)閱讀材料：被譽為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交

水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍.現(xiàn)有兩塊試驗田，A塊種植雜交水稻，B塊種植

普通水稻，A塊試驗田比8塊試驗田少4畝.

(1)A塊試驗田收獲水稻9600千克、8塊試驗田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)

量各是多少千克？

(2)為了增加產(chǎn)量，明年計劃將種植普通水稻的8塊試驗田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于

17700千克，那么至少把多少畝8塊試驗田改種雜交水稻？

6.(2022?涼山州)閱讀材料：

bc

材料1：若關(guān)于x的一元二次方程辦(存0)的兩個根為無1，xi,則無1+犬2=a,xixi—a.

材料2:己知一元二次方程；C2-X-1=0的兩個實數(shù)根分別為加，"，求源W+7"層的值.

解：；一元二次方程％2-尤-1=0的兩個實數(shù)根分別為”,

/.m+n=1,mn=-1,

貝(J蘇〃+濟〃2=徵〃(m+n)=-lxl=-1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

3_

(1)材料理解：一元二次方程2d-3x-1=0的兩個根為Xi，X2,貝!)Xl+X2=—2—.%1%2=—Z

~2_.

n+![1

(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2f-3尤-1=0的兩根分別為機、n,求飛”■的值.

(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2-3s-1=0,2Z2-3t-1=0,且s存，求s-T的值.

7.(2023?泰州)閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù).

小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式，函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2-尤-6<0的解集？

通過思考，小麗得到以下3種方法：

方法1方程x2-%-6=0的兩根為為=-2,X2=3,可得函數(shù)-x-6的圖象與x軸的兩

個交點橫坐標(biāo)為-2、3,畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在x軸下方的點，其橫坐標(biāo)的范圍是不

等式X2-x-6<0的解集.

方法2不等式6<0可變形為/〈x+G,問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與y=x+6的圖象關(guān)

系.畫出函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)；兩圖象的交點橫坐標(biāo)也是-2、3；y=?的圖象在y=x+6的

圖象下方的點，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集.

_6

方法3當(dāng)尤=0時，不等式一定成立；當(dāng)x>0時，不等式變?yōu)閤-1<X；當(dāng)x<0時，不等

旦旦

式變?yōu)橛?1>1.問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)了="1與的圖象關(guān)系…

任務(wù)：

(1)不等式％2-x-6<0的解集為；

(2)3種方法都運用了的數(shù)學(xué)思想方法(從下面選項中選1個序號即可)；

A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合

(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖象的簡圖，并結(jié)合圖象作出解答.

8.(2023?鄂州)某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究>=加(a>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖

11

1所示，該類型圖象上任意一點尸到定點尸(0,瓦)的距離PR始終等于它到定直線/：y=-瓦的

1

距離PN(該結(jié)論不需要證明).他們稱：定點P為圖象的焦點，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，>=-33叫

1

做拋物線的準(zhǔn)線方程.準(zhǔn)線/與y軸的交點為X.其中原點。為F8的中點，9=2。尸=2a.例如，

11

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

(1)請分別直接寫出拋物線〉=瓦一的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,；

【技能訓(xùn)練】

(2)如圖2,已知拋物線y=4/上一點P(項，為)(x0>0)到焦點F的距離是它到x軸距離的3

倍，求點P的坐標(biāo)；

【能力提升】

(3)如圖3,已知拋物線y=4/的焦點為尸，準(zhǔn)線方程為/.直線機：y=2x-3交y軸于點C,拋物

線上動點P到x軸的距離為由,到直線m的距離為d2,請直接寫出di+dz的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y=ax2(a>0)平移至y=a(尸h)2+k(a>0).拋物線y

11

=a（x-h）2+k（a>0）內(nèi)有一定點F（h,什4a）,直線/過點M（h,k-4a）且與x軸平行.當(dāng)

動點尸在該拋物線上運動時，點尸到直線/的距離PR始終等于點尸到點尸的距離（該結(jié)論不需要證

2523

明）.例如：拋物線y=2（x-1）2+3上的動點尸到點尸（1,T）的距離等于點尸到直線/：y=W-

的距離.

請閱讀上面的材料，探究下題：

3.,1

（4）如圖4,點。（-1,2）是第二象限內(nèi)一定點，點尸是拋物線>=4好-1上一動點.當(dāng)尸。+尸。

取最小值時，請求出△尸0。的面積.

9.（2022?永州）己知關(guān)于無的函數(shù)yuo^+bx+c.

（1）若a=l,函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,-4）和點（2,1）,求該函數(shù)的表達式和最小值；

（2）若a=l,b--2,c=〃z+l時，函數(shù)的圖象與x軸有交點，求切的取值范圍.

（3）閱讀下面材料：

設(shè)。>0,函數(shù)圖象與無軸有兩個不同的交點A,B,若A,B兩點均在原點左側(cè)，探究系數(shù)a,b,c應(yīng)

滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖象，思考以下三個方面：

①因為函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以-4ac>0；

②因為A,B兩點在原點左側(cè)，所以x=0對應(yīng)圖象上的點在x軸上方，即c>0；

③上述兩個條件還不能確保A,B兩點均在原點左側(cè)，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進一步限

b

制拋物線的位置：即需-27<0.

綜上所述，系數(shù)a,b,c應(yīng)滿足的條件可歸納為：

\>0

△=l>2-4ac>0

'c>0

請根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問題：

若函數(shù)2尤+3的圖象在直線x=l的右側(cè)與無軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.

10.(2022?株洲)已知二次函數(shù)>=加+8+。(a>0).

(1)若a=l,6=3,且該二次函數(shù)的圖象過點(1,1),求c的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點A(xi,0)、

B(尤2，0),其中％1<0<尬、I尤1|>|尤2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形A3莊的邊EP上，其對稱

3.

軸與無軸、8E分別交于點加、N,BE與y軸相交于點P,且滿足tan/A8E=4.

①求關(guān)于x的一元二次方程ax1+bx+c=0的根的判別式的值；

工16

2+-----

②若NP=2BP,令T=a5c,求T的最小值.

閱讀材料：十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述

為

“當(dāng)判別式A>0時，關(guān)于尤的一元二次方程ax2+bx+c—0(存0)的兩個根樸松有如下關(guān)系：尤1+及=

C

a,為%2=a”.此關(guān)系通常被稱為“韋達定理

A考向二與三角形有關(guān)問題

11.（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線/1〃勿"BC與ADBC的面積相等嗎？為什么？

解：相等.理由如下：

設(shè)/1與，2之間的距離為〃，

22

則SAABC=23。〃，ShDBc=2BC?h.

??SXABC=SADBC.

S^ABC

【探究】（1）如圖②，當(dāng)點。在/i,/2之間時，設(shè)點4。到直線辦的距離分別為/?,h',則S&DBC

h

h^.

證明：VSAABC=2BC?/7.

S△甌幽

（2）如圖③，當(dāng)點D在/1，/2之間時，連接并延長交L于點M，則S2kDBC=DM.

證明：過點A作垂足為E,過點D作。垂足為凡則/。凹0=90。.

：.AE//.

LAEMs.

AEAM

.,.DF=DM.

遼甌

由【探究】（1）可知,ADBC=,

SAABCAM

SADBC=DM.

（3）如圖④，當(dāng)點D在/2下方時，連接A。交/2于點E.若點A,E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,

,△ABC

1.5,0,貝ijS^DBC的值為

AD

hA

12.（2023?孝義市三模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

怎樣作直角三角形的內(nèi)接正方形

如果一個正方形的四個頂點都在直角三角形的三條邊上，我們把這樣的正方形叫做該直角三角形的內(nèi)

接正方形.那么，怎樣作出一個直角三角形的內(nèi)接正方形呢？我們可以用如下方法：

如圖1,在RtA43C中，NACB=90。，作

（依據(jù)1）容易證明四邊形DPCE是正方形.

cc

HDNKBM

圖2

用上面方法所作出的正方形，有一個頂點恰好是直角三角形的直角頂點.

如圖2,如果R3ABC的內(nèi)接正方形的一邊恰好在斜邊上，我就可用如下方法，

第一步：過直角頂點C作垂足為D；

第二步，延長到使得連接CM；

第三步：作/2DC的平分線，交MC于點E；

第四步：過點E分別作。C,的垂線，垂足分別為P,K,EP交BC于點、F,E尸的延長線交AC交

于G；

第五步：分別過點FG作的垂線，垂足分別為N,H.

則四邊形NFGH就是RtAABC的內(nèi)接正方形，并且NH恰好在該直角三角形的斜邊上.

理由如下：易證四邊形EPOK是正方形，EG//AM.

____________________________________________________(依據(jù)2)

GP二仃EF二CF「CP

AAD=CD；麗FF.

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)材料中畫橫線部分的依據(jù)分別是：

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

(2)請完成圖2說理過程的剩余部分.

(3)分析圖2的作圖過程，不難看出是將圖2轉(zhuǎn)化成圖1去完成的，即先作圖形EPDK,再將正方形

EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH,轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是B(填出字

母代號即可).

A.旋轉(zhuǎn)2.平移C.軸對稱

A考向三與四邊形有關(guān)問題

13.(2023?徐州)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC1=

片+從同理配吟熱乂，故AC2+BZ)2=2(flW).

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形4BCD為平行四邊形，若BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請

加以判斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知8。為AABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形ABC。中，若AB=8,2C=12,點尸在邊上，則尸序的最小值

刃______.

MID入A二At--------------------|D

圖1和副1細

14.(2023?涼山州)閱讀理解題::閱讀材料：

1

如圖1,四邊形ABC。是矩形,AAEP是等腰直角三角形，記/BAE為a、/尸AD為B，若tana=2,

2

則tan0=3.

證明：設(shè)BE=k,

(tana^2,

?'?A3=2左，

(AAS).

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k,

DF1

/.tanp=AD=3k=3,

_12

若a+0=45。時，當(dāng)tana=2,則tan[3=3.

12

同理：若a+0=45。時,當(dāng)tana=3,則tan[3=2.

根據(jù)上述材料，完成下列問題：

m

如圖2,直線y=3尤-9與反比例函數(shù)y=x(尤＞0)的圖象交于點A,與無軸交于點8.將直線繞

點

A順時針旋轉(zhuǎn)45。后的直線與y軸交于點E,過點4作4/_1》軸于點過點A作ANLy軸于點N,

己知OA—5.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出tan/8AA/、tanNMIE的值；

(3)求直線AE的解析式.

15.(2022?南通)【閱讀材料】

老師的問題：

已知：如圖,AE//BF.

求作：菱形A8CD使點C,D分別在8尸，AE上.

小明的作法：

(1)以A為圓心，A8長為半徑畫弧，交AE于點D；

(2)以8為圓心，A8長為半徑畫弧，交于點C；

(3)連接CD

四邊形ABCD就是所求作的菱形.

【解答問題】

請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABC。是菱形.

E

16.（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖1,AABC和ABOE都是等邊三角形，點A在QE上.

求證：以AE、AD.AC為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE,ZADC

120°,從而得出AADC為鈍角三角形，故以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】（2）如圖2,四邊形A8CD和四邊形BGEE都是正方形，點A在EG上.

①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若AE2+AG2=10,試求出正方形ABC。的面積.

16.（2023?通榆縣模擬）下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補充完整.

【作業(yè)】

如圖①，已知正方形ABC。中，E,尸分別是A3、8c邊上的點，且/EDP=45。，求證：EF=

AE+CF.

證明：如圖，將△D4E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM,貝IDE=DM,ZA=ZDCM,ZADE=

ZMDC.

:四邊形ABC。是正方形，

ZA=ZADC^ZDCB=90°,

ZEDM=ZEDC+ZMDC=ZEDC+ZADE=ZADC=9Q°.

'：ZEDF=45°,

：.ZMDF=ZEDF=45°,

又?/ZA=ZDCM=ZDCB=9Q°,

...點8,F,C,〃在一條直線上.

,:DF=DF,

：.AEDFm,

EF=MF=CM+CF=+CF.

【探究】

(1)在圖①中，若正方形ABC。的邊長為3,AE^l,其他條件不變，求所的長.

解：,正方形ABC。的邊長為3,AE=1,

:.BE=2,CM=1.

設(shè)貝!FC=FM-CM=x-1,

：.BF=3-(x-1)=4-x.

在RtABEP中，由2?+(4-無)2=/,解得x=,即EF=；

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=AD=6,8c=4,E是45邊上的點，且

/CDE=45。,則CE=.

(3)如圖③，在AABC中，ZBAC=45°,AD為8C邊上的高.若BD=2,。=3,貝I]AD的長

為.

圖①圖②圖③

17.(2023?芝景區(qū)一模)閱讀下列材料：

如圖1,點A、D、E在直線/上，且ZB￡)A=/BAC=NAEC,

則：ZCAE+ZBAC+ZBAD=180°,

又ZABD+ZBDA+ZBAD=180°,

故

像這樣一條直線上有三個等角頂點的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形.

請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：

(1)如圖2,R3A8C中，ZACB=90°,AC=BC,直線經(jīng)過點C,過A作AO_L即于點。，過8

作BELLED于點E.求證：ABEC”ACDA.

(2)如圖3,在AABC中，點。在8C上，ZCAZ)=90°,AC=AD,ZDBA=ZDAB,AB=2弧,求

點C到A8邊的距離.

(3)如圖4,在平行四邊形ABC。中，E為邊BCk一點,尸為邊上一點.若/DEF=NB,AB=

10,BE=4,EF=6,求。E的長.

A考向四與圓有關(guān)問題

18.(2022?金華)如圖1,正五邊形A8CQE內(nèi)接于0O,閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

作法如圖2.

1.作直徑AE

2.以尸為圓心，尸。為半徑作圓弧，與。。交于點N.

3.連接AM,MN,NA.

(1)求NA8C的度數(shù).

(2)AAMN是正三角形嗎？請說明理由.

(3)從點A開始，以。N長為邊長，在OO上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正w邊形，求

w的值.

19.(2023?鹽都區(qū)三模)【閱讀理解】

在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，把點P沿縱軸或橫軸方向到達點。的最短路徑長記為d(P,。).

例如：如圖1,點A(1,1),點8(3,4),則B)=5.

(1)①已知點C(-1,4)和點。(3,2),則d(C,D)=.

②點E是平面直角坐標(biāo)系xOy中的一點，且d(0,E)=2,則所有滿足條件的點E組成的圖形

是.

A.一條線段

B.一個等邊三角形

C.一個正方形

D.一個圓

【新知運用】

(2)已知點P(1,0),點。在線段MN上.

①如圖2,已知點M(3,2)和點N(0,2),則d(P,。)的最大值是；

②如圖3,已知點M(3,2)和點N(0,4),求d(P,。)的最小值.

(3)如圖4,己知點P(1,0),點G(3,3),以點G為圓心，5為半徑作。G,點。在。G上,

則d(P,Q)的取值范圍是.

【尺規(guī)作圖】

(4)如圖5,請用無刻度直尺和圓規(guī)在直線/上找一點K,使得d(K,E)=d(K,F).

20.(2023?西陵區(qū)模擬)閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：

【研究課題】設(shè)計公園噴水池

【素材11某公園計劃修建一個圖1所示的噴水池，水池中心。處立著一個高為2機的實心石柱OA,

水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點A處匯

合.為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離石柱05〃處能達到最大高度，且離池面的高度為2.25;加

【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個小水池，要求小水池不能影響水流.

【任務(wù)解決】

(1)小張同學(xué)設(shè)計的水池半徑為2加，請你結(jié)合已學(xué)知識，判斷他設(shè)計的水池是否符合要求.

(2)為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少米？

圖1圖2

21.(2023?靈寶市二模)閱讀與思考

請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

彌勒是德國著名數(shù)學(xué)家，他在1471年提出了著名的彌勒定理：

如圖1,己知A,2是NMON的邊ON上的定點，當(dāng)且僅當(dāng)AABC的外接圓與相切(。「與相

切于點C)時NAC2最大，此時OC2=OA?QB.

小明思考后給出如下證明:

證明：如圖2,在上任取一點C，，連接AC,BC,3C與。尸相交于點。，連接AD

;點C,。在。P上，

/.ZACB=ZADB（依據(jù)①），

又；NAO3是AAC'D的一個外角,

ZADB>ZACB,

：.ZACB>ZAC'B,

即當(dāng)且僅當(dāng)AABC的外接圓與0M相切（OP與OM相切于點C）時/ACB最大.

如圖3,過切點C作。P的直徑CQ,連接8。，貝UNC8Q=90。，CQ±OM,

：.ZQ+ZBCQ=9Q°,ZBCQ+ZOCB=90°

：.ZQ=ZOCB,（依據(jù)②）

又?.?/Q=NO4C,

:.OC2^OA-OB.

任務(wù)：

（1）寫出小明證明過程中的依據(jù)：

依據(jù)①：，依據(jù)②：;

（2）請你將小明的證明過程補充完整；

（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖4,已知點A,3的坐標(biāo)分別是（0,1）和（0,4）,C是無軸正半軸上一個動

點，當(dāng)NAC8最大時，點C的坐標(biāo)為.

22.（2023?朔州模擬）下面是小寧同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

x年x月x日星期日

只用無刻度的直尺也能作出已知角的余角

問題一：今天，在數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個問題.如果要在如圖1所示的。。中作NA8C

的余角NAB。，然而手上只有一把無刻度的直尺，該怎么辦呢？

方法：如圖2,過點C作。。的直徑C。，連接8。，則即為所求.

問題二:小明在老師提出問題的基礎(chǔ)上進一步思考，如果以A為頂點作/ABC的余角，應(yīng)該

如何完成?

問題三:如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接。4,0B,設(shè)AB與C。交于點E.若NA8C=30。,

480=15。，0A=V3+l,求線段0E的長.

任務(wù)：

(1)“方法”所依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是

(2)請在圖1中完成問題二，并說明理由.

(3)請直接寫出問題三的答案.

問題一

突破04與代數(shù)'三角形'四邊形'圓有關(guān)的閱讀理解題

目錄一覽

中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一與代數(shù)有關(guān)問題

A考向二與三角形有關(guān)問題

A考向三與四邊形有關(guān)問題

A考向四與圓有關(guān)問題

中考解密

“閱讀與思考”是近年中考出現(xiàn)的新題型，設(shè)題背景常結(jié)合數(shù)學(xué)文化考查，這類題改變傳統(tǒng)的“由條件求結(jié)

果”模式，集閱讀、理解、思考、應(yīng)用于一體.通常是以一個新概念、新公式的形式、推導(dǎo)與應(yīng)用的形式出

現(xiàn)，或提供材料，給出一定的操作程序、數(shù)學(xué)思想方法，然后運用從中學(xué)到的知識解決有關(guān)問題，考查學(xué)

生的閱讀思考能力和解決問題的能力.數(shù)學(xué)閱讀因其語言的高度抽象，以及文字語言、符號語言和圖形語

言并存，有別于其他學(xué)科的閱讀，要掌握數(shù)學(xué)閱讀的方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，提高閱讀素養(yǎng).

士重點考向

A考向一與代數(shù)有關(guān)問題

‘1卓》空①

1.（2023?寧夏）解不等式組2-3x<4-x（2）

下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：

解：由①得：

4-2（2x-1）>3x-1…第1步

4-4x+2>3x-1…第2步

-4x-3x>-1-4-2

-1x>-7…第3步

尤>1…第4步

任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯誤,錯誤原因是不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯誤；

不等式①的正確解集是x<l;

任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集.

解：任務(wù)一：4,不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯誤，%<1；

任務(wù)二：-3x+x<4-2,

-2x<2,

x>-1,

.?.該不等式組的解集為-1%<1.

2.(2023?通遼)閱讀材料：

材料1：關(guān)于x的一元二次方程ar^+bx+c—O((#0)的兩個實數(shù)根xi,&和系數(shù)a,b,c,有如下關(guān)

bc

系：尤i+%2=-a,尤1X2=a■

材料2:已知一元二次方程X2-X-1=0的兩個實數(shù)根分別為相，"，求的值.

解：???/〃，〃是一元二次方程/-X1=0的兩個實數(shù)根，

m+n=1,mn=-1.

則n-Pn+mir—mn{m+n)--lxl=-1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

3_

(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個實數(shù)根為尤I，X2,則X1+無2=—二2—，尤1%2=_二

~2_.

(2)類比：已知一元二次方程2/+3尸1=0的兩個實數(shù)根為相，小求浮+層的值；

(3)提升：已知實數(shù)s,f滿足2s2+3S-1=0,2產(chǎn)+3f-1=0且求st的值.

解：(1)?一元二次方程2%2+3尤-1=0的兩個根為無1,X2,

3.2

?'?Xl+X2=~2,X1X2~~2；

3.2

故答案為：-2,-2；

(2)；一元二次方程2f+3x-1=0的兩根分別為力,n,

31

.'.m+n--2,mn—~2,

213

nr+n2—{m+n}2-2mn—4+1=4；

(3)?.,實數(shù)s,f滿足2s2+3S-1=0,2產(chǎn)+3f-1=0,且屏/,

f是一元二次方程2/+3尤-1=0的兩個實數(shù)根，

3_1

/.s+t=-2,st=-2,

3_1Y7_

V(/-s)2=(f+s)2-4sf=(-2)2-4x(-2)=4,

V17

:.t-s=±2,

,V17

-r------

一2

/.st=st=2=±VTF.

3.(2022?黃石)閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(%2)2-13^+36=0,如果我們把f看作一個整體，然后設(shè)y=V,則原方程可化為產(chǎn)一

13y+36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為也2=±2,科4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做

換元法.

材料2

已知實數(shù)"z,"滿足Mt?-1=0,n2-n-1=0,且祖初，顯然"z,〃是方程x2-%-1=0的兩個不相

等的實數(shù)根，由韋達定理可知比+〃=1,mn--1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程尤4_5/+6=0的解為Xl=&,X2=-尤3=如，尤4=-?一；

(2)間接應(yīng)用：

已知實數(shù)。，?滿足:2a4-7a2+1=0,2b4-7廬+1=0且a處,求/+/的值；

(3)拓展應(yīng)用：

111

~42

已知實數(shù)根，〃滿足：m+m=7,n2-九=7且〃>0,求m+層的值.

解：(1)令丁=/,則有>2一5y+6=0,

???(廣2)(廣3)=0,

；?yi=2,"=3,

?*=2或3,

==

：.xi=42，X2~V2,x3=Vs,X4~V3;

故答案為：X1=J5，%2=-J5，X3=JS，X4=-V3；

(2),:申,

層處2,

令足=m,/=〃?

：.m^n,貝12M2—7根+1=0,2/—7幾+1=0,

Am,〃是方程2?-7%+1=0的兩個不相等的實數(shù)根，

(7

me萬

1

.m=y,

45

止匕時a4+b4=nr+n2=(tn+n)2-2mn=4.

45

綜上所述，/+/=4.

1

~2?。2

(3)令m=a,-n=b,貝!]7=0,b+b-7=0,

Vn>0,

1

m豐一n,BP蚌b,

6是方程f+尤-7=0的兩個不相等的實數(shù)根,

(a+b=-l

Iab=-7,

1

故m+幾2=/+〃=(〃+》)2-2ab=15.

4.（2022?寧夏）下面是某分式化簡過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù).

x

2--1---2-

(x-4-x+2)+x-2

22-------

(X-4-X-4).2…第一步

x-x-2x-2

=X2-42…第二步

-2

(x+2)(x-2)2…第三步

1

-x+2…第四步

任務(wù)一：填空

①以上化簡步驟中，第一步是通分,通分的依據(jù)是分式的性質(zhì).

②第二步開始出現(xiàn)錯誤,錯誤的原因是去括號沒有變號.

任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果.

解：任務(wù)一：①以上化簡步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是分式的性質(zhì).

②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去括號沒有變號.

故答案為：①一，分式的性質(zhì).

②二，去括號沒有變號.

任務(wù)二:

12

x2-4--x--+--2--)4--x----2--

x-2

99------

=(x"-4-x-4).2

x-x+2

2x-2

=(x+2)(x-2).~2~

1

=醞

5.(2022?安順)閱讀材料：被譽為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交

水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍.現(xiàn)有兩塊試驗田，A塊種植雜交水稻，B塊種植

普通水稻，A塊試驗田比8塊試驗田少4畝.

(1)A塊試驗田收獲水稻9600千克、8塊試驗田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)

量各是多少千克？

(2)為了增加產(chǎn)量，明年計劃將種植普通水稻的8塊試驗田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于

17700千克，那么至少把多少畝8塊試驗田改種雜交水稻？

解：(1)設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量是x千克，則雜交水稻的畝產(chǎn)量是2r千克，

72009600

依題意得：x-2x=4,

解得：x=600,

經(jīng)檢驗，x=600是原方程的解，且符合題意，

則2x=2x600=1200.

答：普通水稻的畝產(chǎn)量是600千克，雜交水稻的畝產(chǎn)量是1200千克；

(2)設(shè)把〉畝8塊試驗田改種雜交水稻，

7200

依題意得：9600+600(600-y)+1200y>17700,

解得：y>1.5.

答：至少把1.5畝8塊試驗田改種雜交水稻.

6.(2022?涼山州)閱讀材料：

bc

材料1：若關(guān)于尤的一元二次方程。/+云+。=0(a^O)的兩個根為無1,xi,則無i+x2=a,x\_xi—a.

材料2：己知一元二次方程x-1=0的兩個實數(shù)根分別為機，n,求m2〃+加〃2的值.

解：???一元二次方程％2-尤-1=0的兩個實數(shù)根分別為機，n,

m+n=1,mn=-1,

貝加2〃+加〃2=加幾(m+n)=一lxl=-1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

3_

(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個根為X1，%2，貝Xl+X2=2.X1X2=-

1

2

n__^m

(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2--3x-1=0的兩根分別為相、幾,求7G的值.

工」

(3)思維拓展：已知實數(shù)s、/滿足2--35-1=0,2P-3t-1=0,且s#,求st的值.

解：(1)???一元二次方程2--3%-1=0的兩個根為為，x2,

^33_」」

.??為+入2=2=2,X1X2=2=-2,

3_1

故答案為：2,-2；

(2)???一元二次方程2?-3x-1=0的兩根分別為m、n,

3_2

m+n=2,mn=-2,

nm

-4-

mn

=inn

(m+n)2-2mn

=inn

(?f)2-2X(*

1

=~~2

13

=2；

(3)?..實數(shù)s、f滿足2s2-3s-1=0,2產(chǎn)-3r-1=0,

；.s與r看作是方程2f-3尤-1=0的兩個實數(shù)根，

2