第02講整式［3大考點(diǎn)13大題型】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

題型1實(shí)際問題中的代數(shù)式

題型2求代數(shù)式的值

題型3與代數(shù)式有關(guān)的規(guī)律探究

題型4整式的相關(guān)概念

題型整式的加減與幕的運(yùn)算

//^**—，，5，■，，，--一?二...“一，……—,一

%」畫型6整式的乘除）

考點(diǎn)二整式及其運(yùn)算yi題型7乘法公式的應(yīng)用；

題型8化簡(jiǎn)求值

題型9用圖形面積驗(yàn)證乘法公式

整式題型10提公因式法因式分解）

題型11直接運(yùn)用公式法因式分解）

考點(diǎn)三因式分解

題型12提公因式后應(yīng)用公式法因式分解）

題型13因式分解的實(shí)際應(yīng)用）

新考向：新考法）

新考向：新趨勢(shì)）

特色專項(xiàng)練新考向：新情境）

新考向：跨學(xué)科）

中考真題練

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2.代數(shù)式的值

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

典例分析

【題型1實(shí)際問題中的代數(shù)式】

【例1】（2024中考?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校

園”的讀書活動(dòng).現(xiàn)需購(gòu)買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀

本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買甲種讀本x本，則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為（）

A.8久元B.10（100―久）元C.8（100—%）元D.（100—8x）元

【變式1-1］（2024中考?浙江溫州?中考真題）某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過17立方米,

每立方米a元；超過部分每立方米（a+1.2）元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應(yīng)繳水費(fèi)為（）

A.20a元B.（20a+24）元C.（17a+3.6）元D.（20a+3.6）元

【變式1-2］（2024中考?四川雅安?中考真題）如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探

究紙杯疊放在一起后的總高度〃與杯子數(shù)量〃的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)

選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡=.

①杯子底部到杯沿底邊的高加②杯口直徑。；③杯底直徑1；④杯沿高a.

【變式1-3］（2024中考?吉林長(zhǎng)春?中考真題）2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開跑，某同

學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終

點(diǎn)的路程為公里.（用含x的代數(shù)式表示）

【題型2求代數(shù)式的值】

【例2】（2024中考?廣西?中考真題）如果a+b=3,ab-1,那么+2a2b2+ab3的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【變式2-1］（2024中考?四川瀘州?中考真題）已知點(diǎn)A（a,-1）與點(diǎn)8（-4,b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a—b的值

為（）

A.-5B.5C.3D.-3

【變式2-2］（2024中考?四川達(dá)州?中考真題）如圖是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖，若開始輸入久的值為3,則輸出

y值為_________

【變式2-3］（2024中考?山東濟(jì)寧?中考真題）已知a2-26+1=0,則券的值是.

【題型3與代數(shù)式有關(guān)的規(guī)律探究】

【例3】（2024中考?重慶?中考真題）下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖

形的面積為2cm2,第（2）個(gè)圖形的面積為8cm2,第（3）個(gè)圖形的面積為18cm2,……,由第（10）個(gè)圖

【變式3-1］（2024中考?山東?中考真題）已知一列均不為1的數(shù)的,a2,a3,an滿足如下關(guān)系:a2=

詈'，。3=芝黃'。4=芝黃，…，斯+1=三腎，若。1=2,貝胴2023的值是（）

J.U-l-L"2，"3，,-*-71

A.--B.-C.-3D.2

【變式3-2］（2024中考?青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第九個(gè)圖

中共有木料根.

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【變式3-3］（2024中考?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按

照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“?！眰€(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3倍.

O

OOO

CDOOOOOO

0OOOOOOOOOOO……

0OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

00OOOOOOoo

OOOOOOOooooo

⑴

(3)(4)(5)

考點(diǎn)二卜"式及其運(yùn)胃

知識(shí)導(dǎo)航

1.單項(xiàng)式

用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如-4-/a,這種表示

3

就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成-1二7/分。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如-

3

是6次單項(xiàng)式

2.多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式

里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

3.同類項(xiàng)

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

4.合并同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。

5.整式的運(yùn)算

⑴整式的加減

幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。

去括號(hào)法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。即括號(hào)外的因數(shù)的符號(hào)決定了括號(hào)內(nèi)的符號(hào)是否改變：

如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；

如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。

⑵整式的乘除運(yùn)算

①同底數(shù)塞的乘法：。"""=優(yōu)"+"。同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

②塞的乘方：（/）"=#"。幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

③積的乘方：（。6）"=屋勿。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的累相乘。

④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)

單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

⑤單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：p{a+b+c）=pa+pb+pc?單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每

一項(xiàng)，再把所得的積相加。

⑥多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一

項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

平方差公式：（a+6）（ad尸/_62。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫

做平方差公式。

完全平方公式：（。+6）2=4+2"+62,（a-b￥=?-2ab+R。兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，

加上（或減去）它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。

⑦同底數(shù)塞的除法：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

任何不等于0的數(shù)的0次幕都等于lo

⑧單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)哥分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式

里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

⑨多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商

相加。

典例分析

【題型4整式的相關(guān)概念】

【例4】（2024中考?山東泰安?中考真題）單項(xiàng)式-3ab2的次數(shù)是.

【變式4-1］（2024中考?上海?中考真題）計(jì)算：（4/）3=.

【變式4-2］（2024中考?湖北荊州?中考真題）下列代數(shù)式中，整式為（）

A.x+1B.--C.V%24-1D.--

x+lX

【變式4-3］（2024中考?重慶?中考真題）已知整式M:a九廿+a九_(tái)1/-1+…+Qi%+Qo，其中幾,冊(cè)劭為

自然數(shù)，a九為正整數(shù)，且九+a九+冊(cè)_1+…+%+的=5.下列說法:

①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)小使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè);

③滿足條件的整式M共有16個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【題型5整式的加減與募的運(yùn)算】

【例5】（2024中考?四川資陽(yáng)?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.2a+36=5abB.（a+b）（a—b）=a2—b2

C.2a2-3b=6abD.（a3）2=a5

【變式5-1］（2024中考?廣東廣州?中考真題）若aWO,則下列運(yùn)算正確的是（）

aCLCLQOu

A.2"*"3=5B.a?（!=a

C.---=-D.a3-i-a2=1

CLcia

【變式5-2］（2024中考?吉林?中考真題）下列各式運(yùn)算結(jié)果為a5的是（）

A.a2+a3B.a2-a3C.（a2）3D.a104-a2

【變式5-3］（2024中考?山東日照?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.（2a2）3-6a6B.a3—a2=aC.a3-a4=a12D.a4d3—a

【題型6整式的乘除】

【例6】（2024中考?甘肅蘭州?中考真題）計(jì)算：2a（a—1）—2a2=（）

A.aB.—aC.2aD.-2a

【變式6-1］（2024中考?山東青島?中考真題）若（x+4）（x—2）=%2+px+q,則人4的值是（）

A.2,-8B.-2,-8C.-2,8D.2,8

【變式6-2］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為加，寬為〃的矩形（機(jī)＞n）.用7張圖1中的小矩

形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長(zhǎng)是寬的|.

m

圖1圖2

(1)求m與n的關(guān)系；

(2)若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【變式6-3](2022,江蘇無錫一模)已知計(jì)算(5—3x+mx2—6x3)?(―2x2)—x(—3x3+nx—1)的結(jié)果中不含

—和久2的項(xiàng)，求加，〃的值.

【題型7乘法公式的應(yīng)用】

【例7】(2024中考?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)已知2a2—a—3=0,則(2a+3)(2a—3)+(2a—1尸的值是

()

A.6B.-5C.-3D.4

【變式7-1](2024中考?四川涼山?中考真題)己知y2-ay+i是完全平方式，則m的值是.

【變式7-2](2024中考?湖南益陽(yáng)?中考真題)己知加，"同時(shí)滿足2加+〃=3與2加-〃=1,則4/-/的值

是—.

【變式7-3](2024中考?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從

3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對(duì)：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；

(31,37)…如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫出

第〃個(gè)數(shù)對(duì)：.

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【題型8化簡(jiǎn)求值】

【例8】(2024中考?吉林?中考真題)某同學(xué)化簡(jiǎn)a(a+2b)-(a+b)(a-b)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下:

原式=a?+2ab-(a2-b2)(第一步)

=a2+2ab-a2-b2(第二步)

=2ab-b2(第三步)

(1)該同學(xué)解答過程從第幾步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是什么；

(2)寫出此題正確的解答過程.

【變式8-1](2024中考?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：+(m+3)(m-3),其中

5

m

【變式8-2](2024中考?北京?中考真題)已知%2-4%-1=0,求代數(shù)式(2%-3)2-(％+y)(x-y)-y2的值.

【變式8-3](2024中考?湖北隨州?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(2+。)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3-^

i

(-a2b)2,其中ab=~~.

【題型9用圖形面積驗(yàn)證乘法公式】

【例9】(2024中考?湖北隨州?中考真題)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)

發(fā)展史的一個(gè)里程碑.在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利

用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，(下

面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào))

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+fo)(c+d)=ac+ad+be+bd

公式③：(a—b)2=a2—2ab+b2

公式④：Ca+b)2=a2+2ab+b2

圖1對(duì)應(yīng)公式,圖2對(duì)應(yīng)公式,圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式:

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式9+匕)9-匕)=。2-》2的方法，如圖5,請(qǐng)寫出

證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

圖5

（3）如圖6,在等腰直角三角形ABC中，^BAC=90°,。為8C的中點(diǎn)，E為邊/C上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），過點(diǎn)E作EG1BC于點(diǎn)G,作點(diǎn)8過點(diǎn)2作AF7//C交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足記△AFG與

△CEG的面積之和為Si，AABD與的面積之和為S2.

①若E為邊ZC的中點(diǎn)，則的值為；

②若￡不為邊/C的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理

由.

【變式9-1］（2024中考?浙江衢州?中考真題）有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正

方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案:

方案一

小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2=（a+b）2,對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的:

a2+ab+ab+b2=a2+1ab+b2=(a+6)2

請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過程.

方案二：

方案三：

【變式9-2］（2024中考?浙江金華?中考真題）如圖1,從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小

正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形.

圖1圖2

（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2,請(qǐng)直接用含a,b的代數(shù)式表示Si和S2；

（2）請(qǐng)寫出上述過程所揭示的乘法公式.

【變式9-3］（2024中考?江蘇常州?中考真題）【閱讀】：數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、

三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”.“算兩次”

也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想.

【理解】：（1）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一

個(gè)梯形.用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

（2）如圖2,n行n列的棋子排成一個(gè)正方形，用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，可得等式：聲=

???

【運(yùn)用】：（3）邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫小個(gè)點(diǎn)，以（m+n）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把n邊形剪成若干個(gè)

三角形，設(shè)最多可以剪得y個(gè)這樣的三角形.當(dāng)n=3,機(jī)=3時(shí)，如圖，最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形,

所以y=7.

y=；當(dāng)n=5,m=時(shí),y—9；

②對(duì)于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫小個(gè)點(diǎn)，通過歸納猜想，可得y=(用含小、踐的代數(shù)式表示).請(qǐng)

對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說明你的猜想成立.

1.因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這

個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

以上公式都可以用來對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

11222222

②公式法：a-b=(a+b)(a-b)；a+2ab+b=(a+b)；a-2ab+b=(a-b)o

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq={a+p)(。+1)

2.因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式

法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解

法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解

典例分析

【題型10提公因式法因式分解】

【例10】(2024中考?江蘇徐州?中考真題)若nm=2,m-n-1,則代數(shù)式m2n一小層的值是.

【變式10-1](2024中考?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)分解因式：a+2ab+ab2^.

【變式10-2](2024中考?湖北黃石?中考真題)因式分解：x(y-l)+4(l-y)=.

【變式10-3】(2024中考?青海西寧?中考真題)長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形的周長(zhǎng)為14,面積為10,貝必2。+a

/的值為.

【題型11直接運(yùn)用公式法因式分解】

【例11】(2024中考?四川眉山?中考真題)已知a2+#=2a—b—2,貝|3a-3的值為()

A.4B.2C.-2D.-4

【變式11-1](2024中考?山東威海?中考真題)因式分解：(%+2)(%+4)+1=.

【變式11-2】(2024中考?四川自貢?中考真題)把x2—y2—2y—1分解因式結(jié)果正確的是().

A.(x+y+1)(x—y—1)B.(x+y—1)(x—y—1)

C.(x+y—1)(x+y+1)D.(x—y+1)(x+y+1)

【變式11-3】(2024中考?山東淄博?中考真題)若多項(xiàng)式4/—?1肛+9y2能用完全平方公式因式分解，則小

的值是.

【題型12提公因式后應(yīng)用公式法因式分解】

【例12】(2024中考?四川綿陽(yáng)?中考真題)把代數(shù)式m%2_，6nix+9m分解因式，下列結(jié)果中正確的是()

A.m(x+3)2B.m(x+3)(x—3)

C.m(x—4)2D.m(x—3)2

【變式12-1】(2024中考?江西南昌?中考真題)分解因式：2a2-4a+2=—.

【變式12-2](2024中考?湖南?中考真題)閱讀理解：對(duì)于/-(序+1)這類特殊的代數(shù)式可以按下面

的方法分解因式：

x3-(n2+l)x+n—x3-n2x-x+n—x(x2-n2)-(x-n)—x(x-n)(x+〃)-(x-〃)=(x-〃)

Cx2+nx-1).

理解運(yùn)用：如果V-(?2+1)x+n=0,那么(x-/?)Cx2+nx-1)=0,即有x-〃=0或爐+vx-1=0,

因此，方程x-"=0和-1=0的所有解就是方程3-(序+])x+"=0的解.

解決問題：求方程x5-5x+2=0的解為.

【變式12-3](2024中考?廣西百色?中考真題)閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2*2一久一3的方法.

(1)二次項(xiàng)系數(shù)2=1X2；

(2)常數(shù)項(xiàng)—3=—1x3=lx(—3)驗(yàn)算：“交叉相乘之和”；

①②③④lx3+2x(-1)=1；1x(-1)+2x3=5；

1x(-3)+2xl=-l；1x1+2x(-3)=-5

（3）發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果1x（—3）+2xl=-l,等于一次項(xiàng)系數(shù)個(gè),即（久+1）（2久-3）=2/

一3久+2久-3=2/一久—3,貝1]2%2-久-3=（久+l）（2x-3）.像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項(xiàng)式分解

因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3"+5*-12=.

【題型13因式分解的實(shí)際應(yīng)用】

【例13】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）定義：若4?i3_3n—25正整數(shù)，且0<n<500）等于兩個(gè)連續(xù)正奇

數(shù)的乘積，則稱〃為“彗星數(shù)”.貝『'彗星數(shù)"〃的最小值為，最大值為.

【變式13-1]（2024中考?陜西?中考真題）小穎說：“對(duì)于任意自然數(shù)〃,（〃+7）2-（小5）2都能被24整除.”你同

意他的說法嗎？理由是什么？

【變式13-2】（2024中考?浙江杭州?中考真題）閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為△A8C的三邊，且滿足a2c2-6"=〃_〃，試判斷八42。的形狀.

解：：a2c2-匕2c2=/-〃（A）

那（a?-52）=（a2+Z?2）（a2-b2'）（B）

.'.c2=a2+b2（C）

.■.AABC是直角三角形

問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)：；

（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋海?/p>

（3）本題正確的結(jié)論為：.

【變式13-3]（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)：4,12,20,....這些正整數(shù)都能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的

平方差，我們把這樣的正整數(shù)稱為“好數(shù)”.如：

第1個(gè)數(shù)：4=22-02.

第2個(gè)數(shù)：12=42—22.

第3個(gè)數(shù)：20=62—42.

（1）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k和2k-2（其中左取大于1的整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是4的倍數(shù)

嗎？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明？

（2）2024是“好數(shù)”嗎？請(qǐng)通過計(jì)算判斷，如果是，它是第幾個(gè)“好數(shù)”；如果不是，寫出小于它的最大“好數(shù)”.

特色專項(xiàng)練

【新考向：新考法】

1.（2024中考?河北?中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個(gè)圍棋盒.

（1）甲盒中都是黑子，共10個(gè)，乙盒中都是白子，共8個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出。個(gè)黑子放入乙盒，使乙盒

棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a=；

（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共爪（爪>2）個(gè)，乙盒中都是白子，共2加個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a（l<a<m）個(gè)黑

子放入乙盒中，此時(shí)乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多個(gè)；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回0個(gè)棋子放到

甲盒，其中含有穴0（萬<a）個(gè)白子，此時(shí)乙盒中有y個(gè)黑子，貝吟的值為.

a個(gè)

2.（2024中考?浙江杭州?中考真題）若整式/+小產(chǎn)（爪為常數(shù)，且640）能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，

則機(jī)的值可以是（寫一個(gè)即可）.

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)四位自然數(shù)如果M滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0,它的百位上的數(shù)字

比千位上的數(shù)字大1,個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,則稱“為“珊瑚數(shù)”.對(duì)于一個(gè)“珊瑚數(shù)”同時(shí)

將〃的個(gè)位數(shù)字交換到十位、十位數(shù)字交換到百位、百位數(shù)字交換到個(gè)位，得到一個(gè)新的四位數(shù)N.稱N

為“明佳數(shù)”，規(guī)定：F（M）=要如果〃是最大“珊瑚數(shù)”，則F（M）是，對(duì)于任意四位自然數(shù)

abed=1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整數(shù)且lWaW9,0<b>c、d<9）,規(guī)定：

G（abcd）-exd-axb.已知尸、。是“珊瑚數(shù)”，其中尸的千位數(shù)字為加（加是整數(shù)且13mW7）,十位

數(shù)字為8；。的百位數(shù)字為5,十位數(shù)字為s（s是整數(shù)且3WsW8）,且s>m.若G（P）+G（Q）能被13整

除，則尸伊）的最小值是.

【新考向：新趨勢(shì)】

1.（2024中考?四川德陽(yáng)?中考真題）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智

取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，

使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為〃?.王小明抽取到的題目如圖所

示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則爪=

2.（2024中考?河北?中考真題）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)

乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算.淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運(yùn)算結(jié)果為

3036.圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推

036

圖1圖2

A.“20”左邊的數(shù)是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運(yùn)算結(jié)果小于6000D.運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a+1025

3.（2024中考?湖北武漢?中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方

九宮格.將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例

如圖（1）就是一個(gè)幻方.圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是（）

492X620

35722y

816

(1)(2)

A.9B.10C.11D.12

【新考向：新情境】

1.（2024中考?貴州安順?中考真題）給出三個(gè)整式a2,爐和2ab.

⑴當(dāng)a=3,b=4時(shí),求a?+爐+2就的值;

(2)在上面的三個(gè)整式中任意選擇兩個(gè)整式進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，使所得的多項(xiàng)式能夠因式分解.請(qǐng)寫出你

所選的式子及因式分解的過程.

2.(2024中考?湖北宜昌?中考真題)小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：

a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a?-b?分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將(x?-y2)

a2-(x2-y2)b?因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()

A.我愛美B.宜昌游C.愛我宜昌D.美我宜昌

3.(2024七年級(jí)上?江蘇泰州?一模)天平在初中物理學(xué)科中是用來測(cè)物體質(zhì)量的一種重要工具，是根據(jù)杠

桿平衡原理制成的.在數(shù)學(xué)學(xué)科中我們定義：若a—b=0,則稱。與6互為“天平數(shù)”，若3必-5與-*+4互

為"天平數(shù)”，則代數(shù)式97+3%-7=.

4.(2024中考?安徽?中考真題)數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為爐-產(chǎn)(工,丫均

為自然數(shù))”的問題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下5為正整數(shù))：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22—128=32—12

5=32—2212=42-22

表示結(jié)果

7=42—3216=52-32

9=52—4220=62-42

2n—l=n2—4n=

一般結(jié)論

（九—1）2

按上表規(guī)律，完成下列問題:

(i)24=()2_()2.

(ii)4n=；

(2)興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為好一步(久，y

均為自然數(shù)).師生一起研討，分析過程如下：

假設(shè)4n一2=——7，其中％,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若x,y均為偶數(shù)，設(shè)x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數(shù)，

22

則久2-y2=(2fc)-(2m)=4(/一7n2)為4的倍數(shù).

而4幾-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故％,y不可能均為偶數(shù).

②若久，y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+l,y=2m+1,其中k,ni均為自然

數(shù)，

則y2—Qk+1)2—(2m+l)2=為4的倍數(shù).

而4九-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù).

③若x,y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則y2為奇數(shù).

而4幾-2是偶數(shù)，矛盾.故凡y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容.

5.(2024中考?青海西寧?中考真題)八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

將2a-3a6-4+66因式分解.

【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3ab)—(4-6b)=曲2-36)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3a/)-6fa)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-36)

【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方

程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用.(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)

【類比】

⑴請(qǐng)用分組分解法將久2-a?+久+a因式分解；

【挑戰(zhàn)】

(2)請(qǐng)用分組分解法將ax+a2-2ab-bx+廿因式分解；

【應(yīng)用】

(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直

角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。和b(a>6),

斜邊長(zhǎng)是3,小正方形的面積是1.根據(jù)以上信息，先將。4—2a3b+2a2廿一2a/因式分解，再求值.

1.（2024中考?廣東廣州?中考真題）如圖，把Ri，R2,R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來，線路力B上的電流為/,電壓

為U,則［/=/%+//?2+笈3.當(dāng)Ri=20.3,/?2=31.9,/?3=47.8,/=2.2時(shí)，U的值為.

/1IB

Ri&Rs

中考真題練1

I.（2024中考?山西?中考真題）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為6m4的是（）

A.3m+3m3B.（-3m2）2C.12m52mD.—2m3-3m

2.（2024中考?河北?中考真題）若a,6是正整數(shù)，且滿足2a+2。j■…+,=法x211專則a與b