專項訓練六常考解直角三角形模型1.(2023·日照)日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一,主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務.數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度,如圖所示,在點B處測得燈塔最高點A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,則燈塔的高度AD大約是(結果精確到1m,參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73)()A.31m B.36m C.42m D.53m2.林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面,如圖所示.已知彩旗繩與地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32m(即AC=32m),則彩旗繩AB的長度為 ()A.32sin25°m B.32cos25°mC.32sin25°m D.3.(2023·廣西)如圖,焊接一個鋼架,包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱,則共需鋼材約m.(結果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

4.(2023·內江)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且滿足a2+|c-10|+b-8=12a-36,則sinB的值為5.(2024·宿遷)雙塔是古黃河宿遷景觀帶的標志性建筑之一,由九層的九龍塔和七層的七鳳塔構成.某校數(shù)學實踐小組開展測量七鳳塔高度的實踐活動,該小組制定了測量方案,在實地測量后撰寫活動報告,報告部分內容如表:測量七鳳塔高度測量工具測角儀、皮尺等活動形式以小組為單位測量示意圖測量步驟及結果如圖,步驟如下:①在C處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角∠BDG=37°;②沿著CA方向走到E處,用皮尺測得CE=24米;③在E處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角∠BFG=45°.……已知測角儀的高度為1.2米,點C,E,A在同一水平直線上.根據(jù)以上信息,求塔AB的高度.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)6.(2024·河北三模)如圖,在一個建筑物兩側搭兩個長度相同的滑梯(即BC=EF),設計要求左、右兩邊的滑梯BC,EF的坡度分別為1∶2和1∶0.5.測得AD=3米,CD=5米.(1)求滑梯的長.(2)試猜想兩個滑梯BC,EF的位置關系,并證明.(3)小亮(看成點P)從點E沿滑梯EF下滑,請直接寫出他與C處距離的最小值.(2024·秦皇島北戴河區(qū)一模)四邊形不具有穩(wěn)定性,工程上可利用這一性質解決問題.如圖是某籃球架的側面示意圖,BE,CD,GF為長度固定的支架,支架在A,D,G處與立柱AH連接(AH⊥MN),在B,C處與籃板連接(BC⊥MN),EF是可以調節(jié)長度的伸縮臂(旋轉點F處的螺栓改變EF的長度,使得支架BE繞點A旋轉,從而改變四邊形ABCD的形狀,以此調節(jié)籃板的高度).已知AD=BC,DH=208cm;測得∠GAE=60°時,點C離地面的高度為288cm.調節(jié)伸縮臂EF,使得點C離地面的高度升高16cm,判斷∠GAE增大還是減小了?增大(或減小)了多少度?(參考數(shù)據(jù):sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)

【詳解答案】基礎夯實1.B解析:在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴AD=BD.設AD=xm,則BD=xm,CD=(x-15.3)m.在Rt△ADC中,∠ACD=60°,∴tan∠ACD=ADCD=xx-15.3=3,2.D解析:∵AC表示的是地面,BC表示的是圖書館,∴AC⊥BC.∴△ABC為直角三角形.∴AB=ACcos25°=323.21解析:∵△ABC是等腰三角形,且CD⊥AB,∴AD=BD.∵CD=3m,∴AC=BC=CDsin37°≈30.60=5(m),AD=BD=∴共需鋼材約為2AC+2AD+CD=21m.4.45解析:∵a2+|c-10|+b-8=12a-36,∴a2-12a+36+|c-10|+b-8=0.∴(a-6)2+|c-10|+b-8=0.∴a-6=0,c-10=0,b-8=0.解得a=6,b=8,c=10.∴a2+b2=62+82=100=102=c2.∴∠C=90°5.解:由題意得,DF=CE=24米,AG=EF=CD=1.2米,∠BDG=37°,∠BFG=45°,在Rt△BDG中,tan∠BDG=tan37°=BGDG≈0.∴GD=BG0在Rt△BFG中,∵∠BFG=45°,∴FG=BG,∵DF=24米,∴DG-FG=BG0.75解得BG=72,∴AB=72+1.2=73.2(米),∴塔AB的高度為73.2米.6.解:(1)在Rt△ACD中,∵AD=3米,CD=5米,∴AC=CD∵滑梯BC的坡度分別為1∶2,∴AB=2AC=8(米),在Rt△ABC中,BC=AB2+∴滑梯的長為45米.(2)兩個滑梯BC,EF的位置關系:BC⊥EF.證明:延長BC交EF于點G,如圖1,圖1∵左、右兩邊的滑梯BC,EF的坡度分別為1∶2和1∶0.5,∴ACAB=1∴AB=2AC,DE=2DF,∵BC=EF,BC2=AB2+AC2=5AC2,EF2=DE2+DF2=5DF2,∴AC=DF,又∵∠BAC=∠EDF=90°,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴∠ABC=∠DEF,∵∠DFE+∠DEF=90°,∴∠DFE+∠ABC=90°,∴∠BGF=90°,∴BC⊥EF.(3)他與C處距離的最小值為25米.解析:理由:小亮(看成點P)從點E沿滑梯EF下滑,他與C處距離的最小值就是CG的長.延長BC交EF于點G,連接BE,如圖2,圖2由(1)(2)知AB=DE=8米,AC=DF=4米,BC=EF=45米,∴BF=AB+AD+DF=8+3+4=15(米),∵S△BEF=12EF·BG=12BF·∴BG=BF·DEEF∴CG=BG-BC=65-45=25(米),∴他與C處距離的最小值為25米.能力提升解:∠GAE減小,減小6°.理由:如圖,當∠GAE=60°時,延長BC與底面交于點K,過D作DQ⊥CK于點Q,∵BC⊥MN,AH⊥MN,∴BC∥AH,∵AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠QCD=∠ADC=∠GAE=60°,∵點C離地面的高度為288cm,DH=208cm,∴CQ=288-208=80(c