立體空間解析空間幾何問題的數(shù)學(xué)分析方法從基礎(chǔ)坐標(biāo)系到復(fù)雜曲面理論課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)要求掌握空間幾何基礎(chǔ)理解坐標(biāo)系與向量運(yùn)算建立數(shù)學(xué)模型能力用方程描述空間幾何體培養(yǎng)空間想象力構(gòu)建立體幾何直覺應(yīng)用解決工程問題第一章：空間直角坐標(biāo)系三維空間定位用三個(gè)數(shù)值確定點(diǎn)位置坐標(biāo)軸垂直相交X、Y、Z軸兩兩垂直右手系統(tǒng)空間點(diǎn)的表示點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y,z)三個(gè)數(shù)值唯一確定位置原點(diǎn)O(0,0,0)三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)八個(gè)卦限坐標(biāo)正負(fù)不同組合兩點(diǎn)間距離公式數(shù)學(xué)表達(dá)d=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2+(z?-z?)2]勾股定理擴(kuò)展三維空間的距離計(jì)算應(yīng)用廣泛空間向量的概念1有大小有方向由模長(zhǎng)和方向確定2表示方法a=(x,y,z)或a=xi+yj+zk3零向量模長(zhǎng)為零的特殊向量4單位向量模長(zhǎng)為1的規(guī)范化向量向量的代數(shù)運(yùn)算1向量加減對(duì)應(yīng)分量相加減2數(shù)乘運(yùn)算各分量同乘以常數(shù)3點(diǎn)乘(內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ4叉乘(外積)a×b=|a||b|sinθ·n向量的幾何應(yīng)用方向角計(jì)算向量與坐標(biāo)軸夾角平行判定兩向量成比例關(guān)系垂直判定兩向量點(diǎn)積為零面積計(jì)算兩向量叉積的模第二章：平面與直線1空間基本元素點(diǎn)、線、面的數(shù)學(xué)表示2位置關(guān)系平行、垂直、相交規(guī)律3度量關(guān)系距離、夾角計(jì)算方法平面的一般方程1一般式Ax+By+Cz+D=03參數(shù)A、B、C為法向量分量∞解集滿足方程的無窮多點(diǎn)平面的截距式方程截距式方程x/a+y/b+z/c=1x軸截距ay軸截距bz軸截距c適用條件平面與三坐標(biāo)軸都相交平面的法向量定義垂直于平面的向量1表示n=(A,B,C)2性質(zhì)平行平面有平行法向量3應(yīng)用確定平面方向和位置4點(diǎn)到平面的距離空間直線的參數(shù)方程x=x?+aty=y?+btz=z?+ct點(diǎn)向式：過點(diǎn)P?(x?,y?,z?)，方向向量s(a,b,c)空間直線的一般方程平面束方程兩平面相交表示法標(biāo)準(zhǔn)方程(x-x?)/a=(y-y?)/b=(z-z?)/c對(duì)稱式各坐標(biāo)等比變化直線與平面的位置關(guān)系相交一個(gè)交點(diǎn)1平行無交點(diǎn)，方向向量與法向量垂直2垂直方向向量與法向量平行3包含直線完全在平面內(nèi)4直線與平面的夾角1夾角定義直線與平面法向量的余角2計(jì)算公式sinθ=|s·n|/(|s|·|n|)3特殊情況垂直時(shí)θ=90°，平行時(shí)θ=0°第三章：曲面與曲線1曲面定義三元方程F(x,y,z)=0的點(diǎn)集2曲線定義空間點(diǎn)的連續(xù)軌跡3分類方法按生成方式和幾何特征4研究重點(diǎn)方程表示與幾何性質(zhì)球面方程標(biāo)準(zhǔn)方程(x-x?)2+(y-y?)2+(z-z?)2=R2幾何意義到定點(diǎn)距離等于R的點(diǎn)集截面特性任意平面截得圓橢球面方程標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2+z2/c2=1半軸長(zhǎng)度a、b、c分別為x、y、z方向半軸特殊情況當(dāng)a=b=c時(shí)退化為球面旋轉(zhuǎn)拋物面方程標(biāo)準(zhǔn)方程z=x2/2p+y2/2p焦點(diǎn)F(0,0,p/2)，p為參數(shù)應(yīng)用反射面、天線、燈具雙曲面方程單葉雙曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1雙葉雙曲面-x2/a2-y2/b2+z2/c2=1漸近錐面x2/a2+y2/b2-z2/c2=0圓柱面方程1定義直線沿曲線平行移動(dòng)形成2標(biāo)準(zhǔn)方程x2+y2=R2（z軸圓柱）3截面特性截面為圓或矩形4應(yīng)用實(shí)例管道、柱狀建筑設(shè)計(jì)圓錐面方程定義直線經(jīng)過定點(diǎn)并沿曲線移動(dòng)形成標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=z2/c2頂點(diǎn)與軸頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸為z軸截面曲線可得圓、橢圓、拋物線、雙曲線空間曲線的參數(shù)方程x=x(t)y=y(t)z=z(t)參數(shù)t變化產(chǎn)生空間點(diǎn)軌跡空間曲線的一般方程兩曲面交線F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0投影方程在坐標(biāo)平面上的投影曲線隱式表示方程組聯(lián)立確定曲線第四章：二次曲面1定義變量二次齊次方程表示的曲面2分類橢球面、拋物面、雙曲面等3標(biāo)準(zhǔn)化通過坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化方程4應(yīng)用建筑設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)橢圓錐面1標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=z2/c21頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)2部分上下兩個(gè)錐體橢圓拋物面1標(biāo)準(zhǔn)方程z=x2/a2+y2/b22頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)3軸向z軸為對(duì)稱軸4橫截面平行于xy平面的截面為橢圓雙曲拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程z=x2/a2-y2/b2形狀特征馬鞍形曲面幾何性質(zhì)包含兩族直線二次曲面的一般方程一般形式Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+Gx+Hy+Iz+J=01分類方法通過不變量和特征多項(xiàng)式2化簡(jiǎn)過程平移坐標(biāo)系消去一次項(xiàng)3旋轉(zhuǎn)變換消除混合二次項(xiàng)4二次曲面的幾何性質(zhì)漸近錐與曲面無限接近的錐面主截面包含主軸的平面截曲面直母線完全位于曲面上的直線圓截面特定方向的圓形橫截面第五章：坐標(biāo)變換1基本問題同一幾何體在不同坐標(biāo)系下的表示2變換類型平移、旋轉(zhuǎn)、比例、投影等3矩陣表示用矩陣乘法簡(jiǎn)化變換操作4不變量變換中保持不變的性質(zhì)平移變換變換公式x'=x+ay'=y+bz'=z+c矩陣表示齊次坐標(biāo)下的矩陣乘法幾何意義坐標(biāo)系原點(diǎn)的位移旋轉(zhuǎn)變換繞x軸：y'=y·cosα-z·sinα,z'=y·sinα+z·cosα繞y軸：x'=x·cosβ+z·sinβ,z'=-x·sinβ+z·cosβ繞z軸：x'=x·cosγ-y·sinγ,y'=x·sinγ+y·cosγ比例變換變換公式x'=kx·x,y'=ky·y,z'=kz·z等比變換kx=ky=kz，保持形狀非等比變換三方向系數(shù)不等，形狀變化正交變換1定義保持距離不變的線性變換2矩陣特性正交矩陣，A?A=I3幾何意義坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)不改變長(zhǎng)度和角度4應(yīng)用剛體運(yùn)動(dòng)、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換仿射變換定義保持直線性和平行性的變換矩陣表示線性變換加平移的組合不變量平行關(guān)系、分點(diǎn)比應(yīng)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、投影幾何第六章：曲面積分1234定義函數(shù)在曲面上的累積和分類第一類和第二類曲面積分計(jì)算方法參數(shù)化和投影法物理意義質(zhì)量、流量、通量等第一類曲面積分定義式?_Sf(x,y,z)dS物理意義曲面質(zhì)量、表面密度計(jì)算方法轉(zhuǎn)化為二重積分第二類曲面積分定義?_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy向量形式?_SF·ndS物理意義通量、流量計(jì)算方法參數(shù)方程或投影法高斯公式積分關(guān)系?_VdivFdV=?_SF·ndS散度定理體積散度等于通過閉合表面的通量應(yīng)用電磁學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)斯托克斯公式曲線積分曲面積分?_ScurlF·ndS=∮_CF·dr曲面旋度等于邊界曲線環(huán)流量第七章：空間向量分析1研究對(duì)象向量場(chǎng)的微分運(yùn)算2梯度場(chǎng)標(biāo)量函數(shù)的向量性質(zhì)3通量與環(huán)流向量場(chǎng)的積分特性4守恒定律物理場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)梯度定義gradf=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)幾何意義最大增長(zhǎng)率方向的向量性質(zhì)垂直于等值面應(yīng)用優(yōu)化問題、電場(chǎng)理論散度divF=?P/?x+?Q/?y+?R/?z正值：源點(diǎn)(流出)；負(fù)值：匯點(diǎn)(流入)；零值：無源物理意義：?jiǎn)挝惑w積流出率旋度定義式curlF=(?R/?y-?Q/?z,?P/?z-?R/?x,?Q/?x-?P/?y)無旋場(chǎng)curlF=0物理意義流體旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度拉普拉斯算子定義?2f=?2f/?x2+?2f/?y2+?2f/?z2調(diào)和函數(shù)滿足?2f=0的函數(shù)物理應(yīng)用熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、電位波動(dòng)方程?2f=(1/c2)·?2f/?t2第八章：空間曲線論1研究焦點(diǎn)曲線的局部幾何性質(zhì)2切線和法平面一階微分特性3曲率和撓率二階和三階微分特性4弗萊納公式描述曲線運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線的切線和法平面切向量T=r'(t)/|r'(t)|切線方程(x-x?)/x'(t?)=(y-y?)/y'(t?)=(z-z?)/z'(t?)法平面方程x'(t?)(x-x?)+y'(t?)(y-y?)+z'(t?)(z-z?)=0曲率和撓率曲率κ曲線偏離直線的程度撓率τ曲線偏離平面的程度計(jì)算公式κ=|r'×r''|/|r'|3,τ=(r'×r'')·r'''/|r'×r''|2弗萊納公式3正交向量切向量T、主法向量N、副法向量B1標(biāo)架隨體坐標(biāo)系{T,N,B}3公式數(shù)T'=κN,N'=-κT+τB,B'=-τN第九章：曲面論1研究?jī)?nèi)容曲面的局部微分幾何性質(zhì)2切平面與法線一階微分特性3曲面曲率二階微分特性4測(cè)地線曲面上的最短路徑曲面的切平面和法線參數(shù)曲面r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))1切平面方程(x-x?)?F/?x+(y-y?)?F/?y+(z-z?)?F/?z=02法線方程(x-x?)/?F/?x=(y-y?)/?F/?y=(z-z?)/?F/?z3法向量n=ru×rv/|ru×rv|4曲面的第一基本形式定義ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2系數(shù)EE=ru·ru系數(shù)FF=ru·rv系數(shù)GG=rv·rv幾何意義度量曲面上點(diǎn)間距離曲面的第二基本形式1定義II=Ldu2+2Mdudv+Ndv22系數(shù)計(jì)算L=ruu·n,M=ruv·n,N=rvv·n3幾何意義曲面彎曲程度的度量4應(yīng)用確定曲面的主曲率方向高斯曲率和平均曲率高斯曲率KK=(LN-M2)/(EG-F2)內(nèi)蘊(yùn)量，不隨彎曲變化平均曲率HH=(EN-2FM+GL)/(2(EG-F2))外蘊(yùn)量，與嵌入空間有關(guān)曲面類型K>0：橢圓點(diǎn)K<0：雙曲點(diǎn)K=0：拋物點(diǎn)或平點(diǎn)