2024學年第二學期杭州市高三年級教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知向量，，，則（）A．2 B．0 C． D．3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（）A．或 B．或 C． D．4．已知數(shù)據(jù)，，…，的方差，則（）A． B． C． D．5．已知，為任意正數(shù)，若恒成立，則（）A． B． C． D．6．定義“真指數(shù)”（e自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A． B．C． D．7．設函數(shù)是奇函數(shù)．若函數(shù)，，則（）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，則（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．設函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．為的極小值點11．設曲線，直線與曲線C的交點的可能個數(shù)的集合記為，則（）A． B．C． D．若，則且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在點處的切線方程是__________．13．已知是單位圓，正三角形的頂點A，B在上，則的最大值為__________．14．甲、乙、丙三人分別從2個不同的數(shù)中隨機選擇若干個數(shù)（可以不選），分別構(gòu)成集合A，B，C，記中元素的個數(shù)為m，則的概率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計男性5010x女性251540總計y25100（1）求x，y；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？（3）假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立．若從購買者中隨機抽取3人，設被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．附：，．0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.87916．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當時，設的極大值為，求證：．17．（15分）在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中P為動點．（1）設，（i）證明：平面；（ii）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知拋物線的焦點F到準線l的距離為2，點，過F的直線交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點M，N．（1）求的方程；（2）記M，N的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；（3）設E為x軸上一點，記，分別為直線，的斜率．若為定值，求點E的坐標．19．（17分）設，，…，是1，2，…n（且）的一個排列．數(shù)列滿足為，，的中位數(shù)，規(guī)定，．將中的所有取值構(gòu)成的集合記為．（1）當時，求和；（2）求中所有元素之和的最大值；（3）求中元素個數(shù)的最小值．2024學年第二學期杭州市高三年級教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．12345678BCCDACBA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9．ABC 10．BD 11．ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13．2 14．四、解答題：本大題共5小題，共77分．15．（13分）（1），；（2）零假設為：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，可以認為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；（3）隨機抽取1人購買B款車的概率為：，X的可能取值有0，1，2，3，依題意X服從，．因此，．16．（15分）由題意知．（1）若，則，所以．令，得．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于．（2）因為，所以，由，即，解得或．故的單調(diào)增區(qū)間為和．（3）當時，的極大值等于；當時，，無極大值；當時，由題意得，的極大值等于，令，所以，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，．17．（15分）（1）（ⅰ）因為，，所以，所以．又因為，所以平面BPD．（ⅱ）．（2）如圖，建立以B為原點的空間直角坐標系，設二面角的平面角為，則，，，．所以．平面ABD的法向量為．設直線AP與平面ABD所成角為，則，設，設，所以，（當且僅當，即時取等號），即．直線AP與平面ABD所成角的正弦值的最大值為．18．（17分）（1）由題意知，所以拋物線方程為．（2）設直線AB的方程為，，，則，，．所以，得，所以，．所以直線的方程為：，與直線AB的方程聯(lián)立，解得，同理．所以．所以．所以直線AB的斜率為．（3）設，因為．因為，．所以，當時，為定值．所以．19．（17分）（1）當時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數(shù)只能是2，故．當時，在1，2，3，4中任取3個數(shù)：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數(shù)只能為2或3，所以．（2）顯然，不存在i使得或，故中所有元素的和，且當時，有此時成立．（3）注意到對于任意，，記中元素個數(shù)的最小值為，由（1）可知，，．考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數(shù)；不妨，考慮三元素組，，，至少產(chǎn)生2個不同的中位數(shù)．①若此時中位數(shù)為，，不妨，則，．所以三元組將產(chǎn)生新的中位數(shù)，所以；②若此時的中位數(shù)為，，則，，．若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)；若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)．所以．③同理可知，若此時中位數(shù)為，；，也有；所以，，．下面證明：．比較下面兩個數(shù)列：（?。?，，…，，，．（ⅱ），，…，，，，，，．其中，，…，和，，…，具有相同的大小順序．因此，這兩個數(shù)列的前個三元數(shù)組所對應的中位數(shù)個數(shù)相同．因此，只需要比較數(shù)列（?。┲腥M，和數(shù)列（ⅱ）中三元組，，，，．因為，數(shù)列（ⅱ）中至少增加1個