試題PAGE1試題2024北京和平街一中高二（下）期中數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C. D.2.已知隨機(jī)變量的分布列為：X01Pa則的數(shù)學(xué)期望的值是（）A. B. C. D.3.從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（）A. B. C. D.4.是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的（）A. B. C. D.5.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A. B. C.120 D.1606.已知函數(shù)在定義域D內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且，則“”是“是的極值點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若安排甲、乙兩人同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種8.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）.A. B.C. D.9.反射性元素的特征是不斷發(fā)生同位素衰變，而衰變的結(jié)果是放射性同位素母體的數(shù)目不斷減少，但其子體的原子數(shù)目將不斷增加，假設(shè)在某放射性同位素的衰變過(guò)程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為時(shí)該同位素的含量，已知當(dāng)時(shí)，該放射性同位素含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A.12貝克 B.12e貝克 C.24貝克 D.24e貝克10.已知函數(shù)，下列命題正確的是（）①是奇函數(shù)；②在R上是增函數(shù)；③方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根；④如果對(duì)任意，都有，那么的最大值為2.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.設(shè)函數(shù)，則__________．12.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B不相鄰，則不同的擺法有_____________種.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)是________，二項(xiàng)式系數(shù)的和是________.14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．15.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為_(kāi)_________.16.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.每個(gè)瓶子的造價(jià)P1（單位：元）、瓶?jī)?nèi)飲料的獲利P2（單位：元）分別與瓶子的半徑r（單位：cm，）之間的關(guān)系如圖甲、乙所示.設(shè)制造商的利潤(rùn)為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③在區(qū)間上存在極小值；④在區(qū)間上存在極小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值．18.已知箱中裝有2個(gè)白球，1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從該箱中任?。o(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）3個(gè)球，（1）求取出的三個(gè)球的顏色互不相同的概率；（2）記隨機(jī)變量X為取出3球中白球的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望．19.第屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日在北京、張家口盛大開(kāi)幕．為保障本屆冬奧會(huì)順利運(yùn)行，共招募約萬(wàn)人參與賽會(huì)志愿服務(wù)．賽會(huì)共設(shè)對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)、競(jìng)賽運(yùn)行服務(wù)、媒體運(yùn)行與轉(zhuǎn)播服務(wù)、場(chǎng)館運(yùn)行服務(wù)、市場(chǎng)開(kāi)發(fā)服務(wù)、人力資源服務(wù)、技術(shù)運(yùn)行服務(wù)、文化展示服務(wù)、賽會(huì)綜合服務(wù)、安保服務(wù)、交通服務(wù)、其他共類志愿服務(wù)．（1）甲、乙兩名志愿者被隨機(jī)分配到不同類志愿服務(wù)中，每人只參加一類志愿服務(wù)．已知甲被分配到對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)，求乙被分配到場(chǎng)館運(yùn)行服務(wù)的概率是多少？（2）已知來(lái)自某中學(xué)的每名志愿者被分配到文化展示服務(wù)類的概率是，設(shè)來(lái)自該中學(xué)的名志愿者被分配到文化展示服務(wù)類的人數(shù)為，求的分布列與期望；（3）萬(wàn)名志愿者中，歲人群占比達(dá)到，為了解志愿者對(duì)某一活動(dòng)方案是否支持，通過(guò)分層抽樣獲得如下數(shù)據(jù)：歲人群其它人群支持不支持支持不支持方案人人人人假設(shè)所有志愿者對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．將志愿者支持方案的概率估計(jì)值記為，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）20.已知，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；（3）若，設(shè)，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．21.設(shè)函數(shù)．（1）若，①求曲線在點(diǎn)處的切線方程；②當(dāng)時(shí)，求證：．（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.【答案】B【分析】由常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得答案.【詳解】，故選：B.2.【答案】A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可求出，再根據(jù)期望公式即可求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)，得，解得，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．故選：A.3.【答案】C【分析】根據(jù)條件概型的知識(shí)求得正確答案.【詳解】在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，再次抽取時(shí)，抽到奇數(shù)的概率為.故選：C4.【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項(xiàng)C符合，故選：C5.【答案】A【分析】先求出通項(xiàng)，然后令的指數(shù)為零求出，再代入計(jì)算可得．【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：A6.【答案】B【分析】先驗(yàn)證充分性，不妨設(shè)，在處有，但為單調(diào)遞增函數(shù)，不是極值點(diǎn)；再驗(yàn)證必要性，即可得結(jié)果．【詳解】充分性：不妨設(shè)，則，在處有，但是，為單調(diào)遞增函數(shù)，在處不是極值，故充分性不成立．必要性：根據(jù)極值點(diǎn)的性質(zhì)可知，極值點(diǎn)只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，所以不存在不可導(dǎo)的點(diǎn)，因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)就是極值點(diǎn)，故必要性成立．故選：B7.【答案】B【分析】按照元素甲、乙所在艙位進(jìn)行討論，特殊元素優(yōu)先考慮即可求解.【詳解】按照甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙或問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙兩種情況討論：①若甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙，則需要從剩余4人中再選1人，剩下的3人去剩下的兩個(gè)艙位，則有種可能；②若甲、乙兩人同時(shí)在問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙，則剩下的4人選3人去天和核心艙即可，共有種可能，根據(jù)分類加法計(jì)算原理，共有種可能，故選：B.8.【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?，可知在上單調(diào)遞增，又，所以.故選：D.9.【答案】C【分析】求出關(guān)于的導(dǎo)函數(shù)，由求得，再計(jì)算即得．【詳解】由題意，，，．故選：C．10.【答案】B【分析】對(duì)于①，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，對(duì)于②，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)判斷，對(duì)于③，令，可得，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷，對(duì)于④,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析判斷.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，所以①正確，對(duì)于②，由，得，所以在上是增函數(shù)，所以②正確，對(duì)于③，令，因?yàn)?，所以方程所以有一個(gè)根為0，因?yàn)椋?，所以方程在至少有一個(gè)根，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，若對(duì)任意，都有，即恒成立，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋匀〔坏降忍?hào)，所以，若，則恒成立，所以在上遞增，所以，即恒成立，若，則存在使，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在上，有不合題意，綜上，，所以的最大值為2，所以④正確，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第④個(gè)解的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式討論.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.【答案】【分析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.12.【答案】72【分析】利用間接法求出5件不同的產(chǎn)品排成一排及產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰的情況，即可得出結(jié)論.【詳解】5件不同的產(chǎn)品擺成一排共有，產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，把和看做一個(gè)元素,使得它與另外3個(gè)元素排列，再者和之間還有一個(gè)排列，共有，所以產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，不同的擺法有.故答案為：7213.【答案】①.10②.32【分析】寫出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令即可求出的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，代入的值即可求解．【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)的和為.故答案為：10；32.14.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變最分離法、反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，，則由題意可知在上，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)樵谏?，，所以．故答案為?5.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解抽象不等式即可.【詳解】由題知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，綜上的解集為故答案為：16.【答案】①③④【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的幾何意義可逐一判斷.【詳解】由圖可知：當(dāng)時(shí)，，故，故①正確；,當(dāng)時(shí)，由圖象可知，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，故，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，②錯(cuò)；根據(jù)圖象可知：圖象先快后慢，而圖象先慢后快，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，③正確；，當(dāng)趨近于時(shí)，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，而當(dāng)趨近于0時(shí)，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，故④正確.故答案為：①③④三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）17.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為和（2）最大值為，最小值為【分析】（1）求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值，再與、比較大小，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，其中，則，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.【小問(wèn)2詳解】解：列表如下：增極大值減極小值增又因?yàn)?，，則，因此，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.18.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）通過(guò)古典概型公式及組合方法即可求出答案；（2）通過(guò)超幾何分布求概率的方法求出概率及分布列，進(jìn)而根據(jù)期望公式求出期望即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)取出的三個(gè)球的顏色互不相同的事件為M，∴.【小問(wèn)2詳解】由題意得X取0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P∴.19.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式直接計(jì)算；（2）分別計(jì)算概率并列出分布列，并求期望；（3）根據(jù)古典概型計(jì)算公式分別計(jì)算與，并比較大小.【小問(wèn)1詳解】由已知共類志愿服務(wù)，甲被分配到對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)，且甲、乙兩名志愿者被隨機(jī)分配到不同類志愿服務(wù)中，故乙可被分配的志愿服務(wù)共，所以乙被分配到場(chǎng)館運(yùn)行服務(wù)的概率為；【小問(wèn)2詳解】由已知可得隨機(jī)變量的可能取值為，，，故，，，分布列如下：期望；【小問(wèn)3詳解】由已知得志愿者支持方案的概率估計(jì)值記為，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估計(jì)值記為，故.20.【答案】（1）（2）（3）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而得答案；（2）由題知在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（3）由題知，進(jìn)而判斷的單調(diào)性并進(jìn)而結(jié)合得函數(shù)在上恒成立，進(jìn)而判斷單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，，則，所以函數(shù)在出的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故要使在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，則，即，綜上，，即的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，理由如下：，，，所以，令，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于，所以函數(shù)在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減.21.【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解；（2）.【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，求得，得到，進(jìn)而求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；②令，利用導(dǎo)數(shù)求得在單調(diào)遞減，得到，即可求解；（2）求得，令，分和兩種情況，結(jié)合和單調(diào)性，求得，設(shè)使得，利用