規(guī)劃問(wèn)題的教學(xué)例題?一、引言規(guī)劃問(wèn)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，它涉及到如何合理安排資源、制定最優(yōu)策略以達(dá)成特定目標(biāo)。通過(guò)解決規(guī)劃問(wèn)題，學(xué)生能夠培養(yǎng)邏輯思維、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。本文將通過(guò)一系列具體的教學(xué)例題，系統(tǒng)地闡述規(guī)劃問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題方法，幫助學(xué)生更好地掌握這一重要知識(shí)領(lǐng)域。

二、線性規(guī)劃問(wèn)題

（一）例題1某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要A原料4噸、B原料2噸；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要A原料3噸、B原料3噸?，F(xiàn)有A原料120噸、B原料90噸，甲產(chǎn)品每件利潤(rùn)為7萬(wàn)元，乙產(chǎn)品每件利潤(rùn)為6萬(wàn)元。問(wèn)如何安排生產(chǎn)，可使利潤(rùn)最大？

解題步驟1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品\(x\)件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品\(y\)件。2.列出約束條件：\(4x+3y\leq120\)（A原料限制）\(2x+3y\leq90\)（B原料限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)（產(chǎn)品數(shù)量非負(fù)）3.確定目標(biāo)函數(shù)：利潤(rùn)\(z=7x+6y\)，我們要在滿足約束條件下使\(z\)最大。4.求解：先畫(huà)出約束條件所表示的可行域。對(duì)于\(4x+3y=120\)，令\(x=0\)，則\(y=40\)；令\(y=0\)，則\(x=30\)，可得直線\(4x+3y=120\)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)\((0,40)\)和\((30,0)\)，通過(guò)兩點(diǎn)確定直線并畫(huà)出直線及直線下方區(qū)域（因?yàn)槭荺(4x+3y\leq120\)）。對(duì)于\(2x+3y=90\)，令\(x=0\)，則\(y=30\)；令\(y=0\)，則\(x=45\)，可得直線\(2x+3y=90\)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)\((0,30)\)和\((45,0)\)，畫(huà)出直線及直線下方區(qū)域（因?yàn)槭荺(2x+3y\leq90\)）。再結(jié)合\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，可行域是一個(gè)四邊形區(qū)域（包括邊界）。然后求目標(biāo)函數(shù)\(z=7x+6y\)在可行域內(nèi)的最大值。把目標(biāo)函數(shù)變形為\(y=\frac{7}{6}x+\frac{z}{6}\)，\(\frac{z}{6}\)是直線\(y=\frac{7}{6}x+\frac{z}{6}\)在\(y\)軸上的截距，要使\(z\)最大，就是要使截距最大。通過(guò)平移直線\(y=\frac{7}{6}x\)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，找到在\(y\)軸上截距最大的情況。聯(lián)立\(\begin{cases}4x+3y=120\\2x+3y=90\end{cases}\)，兩式相減得\(2x=30\)，解得\(x=15\)，代入\(2x+3y=90\)得\(30+3y=90\)，解得\(y=20\)。即交點(diǎn)坐標(biāo)為\((15,20)\)，把\((15,20)\)代入目標(biāo)函數(shù)\(z=7x+6y\)得\(z=7×15+6×20=105+120=225\)（萬(wàn)元）。

所以，生產(chǎn)甲產(chǎn)品15件，乙產(chǎn)品20件時(shí)，利潤(rùn)最大為225萬(wàn)元。

（二）例題2某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車(chē)與4輛載重量為10噸的B型卡車(chē)，有9名駕駛員。在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運(yùn)360噸瀝青的任務(wù)。已知每輛卡車(chē)每天往返的次數(shù)為A型車(chē)8次，B型車(chē)6次；每輛卡車(chē)每天的成本費(fèi)A型車(chē)160元，B型車(chē)252元。問(wèn)每天派出A型車(chē)與B型車(chē)各多少輛，公司所花的成本費(fèi)最低？

解題步驟1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)每天派出A型車(chē)\(x\)輛，B型車(chē)\(y\)輛。2.列出約束條件：\(x\leq7\)（A型車(chē)數(shù)量限制）\(y\leq4\)（B型車(chē)數(shù)量限制）\(x+y\leq9\)（駕駛員數(shù)量限制）\(6×8x+10×6y\geq360\)，化簡(jiǎn)得\(4x+5y\geq30\)（搬運(yùn)任務(wù)限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)（車(chē)輛數(shù)量非負(fù)）3.確定目標(biāo)函數(shù)：成本\(z=160x+252y\)，要使\(z\)最小。4.求解：畫(huà)出約束條件所表示的可行域。\(x\leq7\)是直線\(x=7\)及其左側(cè)區(qū)域。\(y\leq4\)是直線\(y=4\)及其下方區(qū)域。\(x+y\leq9\)是直線\(x+y=9\)及其下方區(qū)域。\(4x+5y\geq30\)是直線\(4x+5y=30\)及其上方區(qū)域?？尚杏蚴且粋€(gè)多邊形區(qū)域（包括邊界）。把目標(biāo)函數(shù)變形為\(y=\frac{160}{252}x+\frac{z}{252}\)，通過(guò)平移直線求在可行域內(nèi)截距最小的情況。分別將可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)。聯(lián)立\(\begin{cases}x+y=9\\4x+5y=30\end{cases}\)，由\(x+y=9\)得\(x=9y\)，代入\(4x+5y=30\)得\(4(9y)+5y=30\)，\(364y+5y=30\)，\(y=6\)（舍去）。再通過(guò)解其他交點(diǎn)坐標(biāo)并代入目標(biāo)函數(shù)比較。當(dāng)\(x=5\)，\(y=2\)時(shí)，\(z=160×5+252×2=800+504=1304\)（元）。

所以，每天派出A型車(chē)5輛，B型車(chē)2輛時(shí)，公司所花成本費(fèi)最低為1304元。

三、任務(wù)分配規(guī)劃問(wèn)題

（一）例題1有四項(xiàng)任務(wù)\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)，要分配給甲、乙、丙、丁四個(gè)人去完成。每個(gè)人完成各項(xiàng)任務(wù)所需時(shí)間如下表所示：

|任務(wù)\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|10|5|9|18||B|13|14|16|11||C|3|2|4|4||D|18|6|10|9|

問(wèn)如何分配任務(wù)，可使總完成時(shí)間最短？

解題步驟1.匈牙利算法：第一步，找出每行的最小值，然后從每行中減去這個(gè)最小值。第一行最小值是5，得到：|任務(wù)\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|5|0|4|13||B|2|3|5|0||C|1|0|2|2||D|12|0|4|3|第二步，找出每列的最小值，然后從每列中減去這個(gè)最小值。|任務(wù)\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|4|0|2|11||B|1|3|3|0||C|0|0|0|0||D|11|0|2|1|第三步，用最少的直線覆蓋所有的0?？梢园l(fā)現(xiàn)用三條直線（第一行、第二行、第三列）可以覆蓋所有0。第四步，在沒(méi)有被直線覆蓋的數(shù)中找出最小值1，從沒(méi)有被直線覆蓋的數(shù)中減去1，在直線相交的數(shù)上加1。得到：|任務(wù)\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|3|0|2|10||B|0|3|3|0||C|1|1|1|0||D|10|0|2|0|第五步，再用最少的直線覆蓋所有的0，發(fā)現(xiàn)此時(shí)需要四條直線，說(shuō)明已得到最優(yōu)分配。最優(yōu)分配方案為：甲做\(B\)任務(wù)，乙做\(A\)任務(wù)，丙做\(C\)任務(wù)，丁做\(D\)任務(wù)?？偼瓿蓵r(shí)間為\(13+5+4+9=31\)。

（二）例題2某車(chē)間有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種零件\(A\)、\(B\)、\(C\)。已知這三臺(tái)機(jī)床加工這三種零件所需的工時(shí)如下表所示：

|機(jī)床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|3|5|9||乙|4|2|8||丙|8|1|2|

每個(gè)零件都需要加工，問(wèn)如何分配機(jī)床加工任務(wù)，可使總的加工工時(shí)最少？

解題步驟1.同樣采用匈牙利算法：第一步，找出每行最小值并減去。第一行最小值3，得到：|機(jī)床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|2|6||乙|2|0|6||丙|7|0|1|第二步，找出每列最小值并減去。|機(jī)床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|2|5||乙|2|0|5||丙|7|0|0|第三步，用最少直線覆蓋所有0?？梢杂萌龡l直線覆蓋所有0。第四步，在未被覆蓋數(shù)中找最小值2，未覆蓋數(shù)減2，直線相交數(shù)加2。得到：|機(jī)床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|0|3||乙|0|0|3||丙|9|0|2|第五步，再用最少直線覆蓋所有0，此時(shí)需要四條直線，已得最優(yōu)分配。最優(yōu)分配方案：甲加工\(A\)零件，乙加工\(B\)零件，丙加工\(C\)零件。總加工工時(shí)為\(3+2+2=7\)。

四、資源分配規(guī)劃問(wèn)題

（一）例題1某公司有資金100萬(wàn)元，準(zhǔn)備投資甲、乙、丙三個(gè)項(xiàng)目。已知投資甲項(xiàng)目可獲利20%，投資乙項(xiàng)目可獲利15%，投資丙項(xiàng)目可獲利25%。但投資甲項(xiàng)目需占用資金30萬(wàn)元及10個(gè)工作日的時(shí)間；投資乙項(xiàng)目需占用資金20萬(wàn)元及20個(gè)工作日的時(shí)間；投資丙項(xiàng)目需占用資金50萬(wàn)元及30個(gè)工作日的時(shí)間。該公司有資金100萬(wàn)元，且可提供60個(gè)工作日的時(shí)間。問(wèn)如何分配投資，可使公司獲得最大利潤(rùn)？

解題步驟1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)投資甲項(xiàng)目\(x\)萬(wàn)元，投資乙項(xiàng)目\(y\)萬(wàn)元，投資丙項(xiàng)目\(z\)萬(wàn)元。2.列出約束條件：\(x+y+z\leq100\)（資金限制）\(\frac{10}{30}x+\frac{20}{20}y+\frac{30}{50}z\leq60\)，化簡(jiǎn)得\(\frac{1}{3}x+y+\frac{3}{5}z\leq60\)（工作日時(shí)間限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(z\geq0\)（投資金額非負(fù)）3.確定目標(biāo)函數(shù)：利潤(rùn)\(z=0.2x+0.15y+0.25z\)，要使\(z\)最大。4.求解：利用線性規(guī)劃的方法求解。先將\(\frac{1}{3}x+y+\frac{3}{5}z\leq60\)兩邊同乘15化為\(5x+15y+9z\leq900\)。聯(lián)立\(\begin{cases}x+y+z=100\\5x+15y+9z=900\end{cases}\)，由\(x+y+z=100\)得\(x=100yz\)，代入\(5x+15y+9z=900\)得：\(5(100yz)+15y+9z=900\)，\(5005y5z+15y+9z=900\)，\(10y+4z=400\)，\(5y+2z=200\)，\(y=40\frac{2}{5}z\)。代入目標(biāo)函數(shù)\(z=0.2(100yz)+0.15y+0.25z\)，