五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編

17一直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在正方體ABCD-A耳CQ中，E,F分

別為的中點(diǎn)，則（）

A.平面與砰，平面BDRB.平面與E尸，平面

C.平面4所〃平面AACD.平面耳EF//平面AC。

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在長(zhǎng)方體ABCD-ABCQ中，已知BQ

與平面A8CD和平面所成的角均為30。，則（）

A.AB=2ADB.AB與平面"CQ所成的角為

C.AC=CBtD.與平面B8CC所成的角為

45°

3.（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱

ABC-AiBtCt,AC=AAt,E,尸分別是棱叱，AG上的點(diǎn).記叮與M所成

的角為a,EF與平面ABC所成的角為夕，二面角尸-8C-A的平面角

為乙則（）

4.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體ABS-ABCa,

M,N分別是A。，RB的中點(diǎn)，貝!J()

A.直線A。與直線垂直，直線肱V〃平面A8CQ

B.直線A。與直線R8平行，直線MN，平面血油與

C.直線A。與直線RB相交，直線MN//平面

D.直線A。與直線異面，直線W平面8。。百

5.（2020.山東.統(tǒng)考高考真題）已知正方體ABCD-A4CQ（如圖所

示），則下列結(jié)論正確的是（）

A.BDJIA\AB.BDJ/A\DC.叫“CD.叫：心

6.（2019?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，點(diǎn)N為正方形A8C。的中心,

△￡8為正三角形，平面ECO_L平面ABC2M是線段EZ）的中點(diǎn)，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM*EN,且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM豐EN,且直線是異面直線

7.（2018?全國(guó)?高考真題）在長(zhǎng)方體A88-A8CQ中，AB=BC=2,

AG與平面88CC所成的角為30,則該長(zhǎng)方體的體積為

A.8B.6夜C.85/2D.8上

8.（2018?全國(guó)?高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直

線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大

值為

A.孚B?竿C.乎D.當(dāng)

二、多選題

9.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知正方體ABCD-A8C。，則

（）

A.直線g與所成的角為90。B.直線g與CA所成的角為90。

C.直線8a與平面網(wǎng)2。所成的角為45。D.直線BC|與平面

A8CO所成的角為45。

10.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形A8CD為正方形，

平面A8C￡>,FB〃ED,AB=ED=2FB,t己三棱錐E-ACD,F-ABC,

尸-ACE的體積分別為則（）

B

A,匕=2%B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

11.（2021.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的

中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿(mǎn)足MNLOP

的是（）

三、填空題

12.（2019?全國(guó)?高考真題）已知NACB=90。，尸為平面ABC外一

點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)尸到NAC5兩邊AC,BC的距離均為g,那么P到

平面ABC的距離為.

13.（2018.全國(guó)?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為s,母線SA,S3所

成角的余弦值為《，弘與圓錐底面所成角為45。，若asAB的面積為

O

5而，則該圓錐的側(cè)面積為.

四、解答題

14.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱ABC-A8G的體積

為4,ABC的面積為20.

⑴求A到平面A8C的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAl=AB,平面A8C_L平面A網(wǎng)A,求二面角

A-8O-C的正弦值.

15.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體中，

ADLCD,AD^CD,ZADB=^BDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面3EC平面AC￡＞；

(2)設(shè)AB=8D=2,ZACB=60。，點(diǎn)廠在即上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),

求仃與平面A8/)所成的角的正弦值.

16.(2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)在四棱錐p-A8CD中，PZU底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=6.

(1)證明：BDLPA；

(2)求尸。與平面皿所成的角的正弦值.

17.(2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體A8CO中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,石為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面8EZU平面AC。；

⑵設(shè)AB=8r>=2,ZACB=60。，點(diǎn)尸在上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，

求三棱錐尸-ABC的體積.

18.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知A8C。和8）都是直角

梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,DC=3,EF=\,

NBAD=NCDE=3,二面角尸-DC-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別

為的中點(diǎn).

⑴證明：FNLAD；

（2）求直線BM與平面AOE所成角的正弦值.

19.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱A"-ABC中，側(cè)面

44由8為正方形，AB=BC=2,E,尸分另ll為AC和CC,的中點(diǎn)，。為棱

A冉上的點(diǎn).BFLA^

（1）證明：BFYDE-

（2）當(dāng)A。為何值時(shí)，面叫CC與面力FE所成的二面角的正弦值最

??？

20.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在四棱錐。-A8CZ）中，底面ABC。

是正方形，若AO=2,Q￡>=QA=6QC=3.

Q

(1)證明：平面QA/〃平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

21.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐A-BS中，平面

平面6C。，AB=AD,。為比＞的中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD；

(2)若一08是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱上，

DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

22.(2021?全國(guó)?高考真題)已知直三棱柱ABC-MG中，側(cè)面

AAB也為正方形，AB=BC=2,E,尸分另Ij為AC和cc,的中點(diǎn)，

BF1%耳,

(1)求三棱錐尸-EBC的體積；

(2)已知。為棱A4上的點(diǎn)，證明：BFYDE.

23.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，四棱錐P-438的底面是矩

形，如，底面ABC。，M為BC的中點(diǎn)，且

(1)證明：平面PW平面「比)；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

24.(2020.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)如圖，已知三棱柱ABC-4囪。的

底面是正三角形，側(cè)面33/GC是矩形，M,N分別為BC,8/G的

中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過(guò)歷。和P的平面交A3于石，交AC于尸.

B

(1)證明：AA1//MN,且平面A/AMN_L￡BQF；

(2)設(shè)。為△A/8/G的中心，若AO〃平面所/GR且AO=AB,

求直線5店與平面A/AMN所成角的正弦值.

25.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，在長(zhǎng)方體ABS-ABCa中,

點(diǎn)E，尸分別在棱。A，BB1上，且2?E=EQ,BF=2FB,.

(1)證明：點(diǎn)G在平面AEF內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=1,M=3,求二面角A—EF-A的正弦值.

26.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在正方體ABS-ABCa中,

(II)求直線AA與平面ARE所成角的正弦值.

27.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐

底面的圓心，48c是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，

ZAPC=9Q°.

(1)證明：平面如8_1_平面而C；

(2)設(shè)。0=及，圓錐的側(cè)面積為百兀，求三棱錐P-A8C的體積.

28.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，已知三棱柱A3C-A由/G的

底面是正三角形，側(cè)面36/GC是矩形，M,N分別為BC,的

中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn).過(guò)囪G和尸的平面交A8于E,交AC于

F.

(1)證明：AA1//MN,且平面A/AMN，平面EB/C//；

(2)設(shè)。為的中心，若AOA3=6,AO//平面EB/C//，

且NMPN=W，求四棱錐3-砥/G尸的體積.

29.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)如圖，三棱臺(tái)ABC—尸中，平

面ACFO,平面ABC,NACB=NACO=45。，DC=2BC.

(I)證明：EFLDB-,

(II)求與面。BC所成角的正弦值.

30.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐P-ABCO的底面為正方

形，底面A8CD.設(shè)平面％。與平面P8C的交線為/.

(1)證明：/J"平面PDC；

(2)已知PO=AQ=1,。為/上的點(diǎn)，QB=&,求尸3與平面QCO

所成角的正弦值.

31.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)E,尸分別是正方形A8C。

的邊AZ）,8c的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形E/PD沿方折起，使二面角

C-為直二面角，如圖所示.

(1)若點(diǎn)G,H分別是AC,9■的中點(diǎn)，求證：G"http://平面EFCZ)；

(2)求直線AC與平面43在所成角的正弦值.

32.(2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題)在三棱柱4BC-A/3/G中，

AB1AC,3/C_L平面ABC,E,f分別是AC,B/C的中點(diǎn).

B

(1)求證：EF〃平面AB/G；

(2)求證：平面ABC平面A8B/.

33.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P-A8C中,

AB=BC=2血,PA=PB=PC=AC^4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：POJ?平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面

PAM所成角的正弦值.

34.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，四邊形MS為正方形，E,F分

別為A28C的中點(diǎn)，以。F為折痕把一。叫折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位

置，且PFLBF.

(1)證明：平面PE/F平面ABFD;

(2)求DP與平面ABED所成角的正弦值.

35.(2019?全國(guó)?高考真題)如圖，直四棱柱ABCO-A/B/。。/的底

面是菱形，44/=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是3C,

BB1,A/O的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面C〃)E；

(2)求點(diǎn)C到平面C7OE的距離.

36.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，

AB=BC=2a,PA=PB=PC=AC^4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面A8C；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2M8,求點(diǎn)C到平面POM的距

離.

37.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱A"-ABC,平面

AAtCtC，平面ABC,ZABC=90。，"AC=30。,AA=\C=AC,E,尸分別是

AC，AB1的中點(diǎn).

B

(1)證明：EFJ.BC；

(2)求直線瓦?與平面ABC所成角的余弦值.

38.(2019?天津?高考真題)如圖，在四棱錐尸-加。中，底面

ABC。為平行四邊形，.PCD為等邊三角形，平面PAC，平面PCD,

PAA.CD,CD=2,AD=3,

(I)設(shè)G，“分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH平面尸4)；

(H)求證：PA_L平面PC。；

(HI)求直線4)與平面PAC所成角的正弦值.

39.(2019?全國(guó)?高考真題)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A/B/。。的底面

A8CQ是正方形，點(diǎn)石在棱AA/上，BELECi.

(1)證明：平面砧/G；

(2)若AE=AjE,求二面角3-石C-C/的正弦值.

40.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的

平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CO上異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面4如，平面

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面M4B與面MC￡＞所成二面角

的正弦值.

41.(2019?全國(guó)?高考真題)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A/B/G。/的底面

ABCD是正方形，點(diǎn)石在棱44/上，BELEC,.

(1)證明：平面砧/G；

(2)若AE=A/E,45=3,求四棱錐E-BB^C的體積.

42.(2019?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P-A3C。中，雨，平

?ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為P。的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠在PC上，且黃=：?

(I)求證：CD,平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)設(shè)點(diǎn)G在P8上，且薪=|.判斷直線AG是否在平面A族

內(nèi)，說(shuō)明理由.

43.(2019?全國(guó)?高考真題)圖1是由矩形A￡>EB,RfA/WC和菱形MGC

組成的一個(gè)平面圖形，其中A8=1,BE="=2,NFBC=60,將其沿

AB,3c折起使得8E與班?重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明圖2中的ACG,。四點(diǎn)共面，且平面ABC1平面8CGE；

(2)求圖2中的四邊形ACG。的面積.

困1圖2

44.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，在平行四邊形A5CM中,

AB=AC=3,ZACM=9O°,以AC為折痕將^ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)

。的位置，且

(1)證明：平面AC。，平面A8C；

(2)2為線段A。上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=QQ=gzM,

求三棱錐Q-ABP的體積.

45.(2018.北京.高考真題)如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面

ABCD為矩形，平面皿>_L平面ABC￡>,PAA.PD,PA=PD,E、F分別

為AD、PB的中點(diǎn).

(I)求證：PE±BC；

(II)求證：平面平面PC。；

(III)求證：￡/〃平面PCD.

46.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，矩形A88所在平面與半圓弧C。

所在平面垂直，M是CD上異于c,。的點(diǎn).

(1)證明：平面ND,平面BMC；

(2)在線段3上是否存在點(diǎn)尸，使得MC〃平面尸如？說(shuō)明理由.

47.(2019?北京?高考真題)如圖，在四棱錐中，PA_L平面

ABCD,底部ABCO為菱形，石為。的中點(diǎn).

(I)求證：50,平面以C；

(II)若NABC=60。，求證：平面膽平面公石；

(III)棱PB上是否存在點(diǎn)尸，使得C尸〃平面也石？說(shuō)明理由.

48.(2019?江蘇?高考真題)如圖，在直三棱柱ABC—4氏。中,

D,E分別為8C,AC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：(1)43/〃平面。E。；

(2)BELCiE.

49.(2018?浙江?高考真題)如圖，已知多面體

A8C-ABC|,A|A，4B，GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AA=4,CQ=1,A3=BC=瓦8=2.

(I)求證：AB|_L-平面AgC］；

(II)求直線AG與平面4B4所成角的正弦值.

參考答案：

1.A

【分析】證明痔上平面BOR,即可判斷A;如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn),

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)45=2,分別求出平面用房，A.BD,AQD

的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCD-ABCA中，

AC上8。且OD,1平面ABCD,

又所u平面ABC。，所以稗，力2，

因?yàn)镋,F分別為AB/C的中點(diǎn)，

所以E/"AC,所以EFLBD,

又B。DD、=D,

所以所上平面8。。，

又EFu平面BgJ

所以平面平面8叫，故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)45=2,

則4（2,2,2）,E（2,l,0）,F（L2,0）,3（2,2,0），A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C,（O,2,2）,

則EF=（-1,1,0）,EB；=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,出=（2,0,2）,

M=（O,O,2）,AC=（-2,2,0），AG=（-2,2,0）,

設(shè)平面B、EF的法向量為〃?=（5,如4）,

則有E二c，可取加=2,2,-1,

〃??EB[=y+24=0

同理可得平面A8D的法向量為4=（1,T,-1）,

平面AAC的法向量為%=(1,1,0),

平面AC。的法向量為〃3=（1/，T）,

貝1卜77事=2—2+1=1力0,

所以平面々EF與平面AB。不垂直，故B錯(cuò)誤;

UU

因?yàn)榧优c〃2不平行，

所以平面與所與平面AAC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c應(yīng)不平行，

所以平面與EF與平面ACQ不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二:

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)A8BIE=M,EFBD=N,則MN為

平面B.EF與平面AtBD的交線，

在內(nèi)，作3PLMV于點(diǎn)P,在“EMN內(nèi)，作GPJ_MN,交EN于點(diǎn)

G,連結(jié)8G,

則4PG或其補(bǔ)角為平面尸與平面AB。所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB1+PN2=BN2,PG-+PN2=GN-,

底面正方形ABC。中，E,尸為中點(diǎn)，則

由勾股定理可得A^+NG=BG?,

從而有：NB?+NG。=（PB、PM）+（PG2+P%=BG。,

據(jù)此可得PB2+PG2*BG2,即NBPG*90,

據(jù)此可得平面平面A8D不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取AA的中點(diǎn)“，則A"BtE,

由于AH與平面AAC相交，故平面耳所〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)

誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,取AD的中點(diǎn)M,很明顯四邊形AB/M為平行四邊形,

則AM4產(chǎn)，

由于AM與平面AG。相交，故平面B盧/"平面ACQ不成立，選項(xiàng)D

錯(cuò)誤;

AG

C

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示:

不妨設(shè)A8=a,AD=6,A4=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與。與

平面ABCZ）所成角為N8Q8,與平面。他所成角為NgA,所以

cb/

Sin3==J222

0~BD~BD即匕=。，BtD=2c=y/a+b+c,解得a=0c.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=yflAD,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)8作BELA用于E,易知8E_L平面ABCQ,所以A8與平面

AB。。所成角為/BAE,因?yàn)閠anNB4E=￡=玄，所以NBAEH30,B錯(cuò)

a2

誤；

2222

對(duì)于C,AC=\/a+b=V3c9CBi=\jb+c=67,AC豐CB、,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,月。與平面BBCC所成角為sin"-黑=*=4，

B、D2c2

而

0<ZZ)B,C<90,所以NgC=45.D正確.

故選：D.

3.A

【分析】先用幾何法表示出匿￡，九再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大

小.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作尸P，AC于P,過(guò)戶(hù)作PM1BC于M,連

接收，

則(?=/七燈，。=ZFEP,y=NFMP,

PEPE八。FPAB、,FP、FP。

tana=—=—<1,tanB=—=--->I,tan/=---->—=tanp,

FPABPEPE'PMPE

所以

故選：A.

4.A

【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證MN//AB，A。，平面

AB",即可得出結(jié)論.

【詳解】

連明，在正方體ABCD-AB￡D1中,

"是A。的中點(diǎn)，所以M為A。1中點(diǎn),

又N是。的中點(diǎn)，所以MN//AB,

/UNU平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN//平面A8CD

因?yàn)锳B不垂直5￡>,所以MN不垂直5。

則MN不垂直平面BDD閏,所以選項(xiàng)B,D不正確；

在正方體ABCD-AACa中，4。，A。，

上平面M2。，所以AB_LAQ,

ADtnAB=A,所以A"平面ABR,

平面AB",所以A。，A*

且直線AQQB是異面直線，

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題

的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體

的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.

5.D

【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項(xiàng).

【詳解】A.4A〃叫,網(wǎng)與町相交,所以明與。異面，故A錯(cuò)

誤；

B.即與平面ADRA相交,且。34力，所以研與A。異面，故B錯(cuò)

誤；

C四邊形ABCR是矩形，不是菱形，所以對(duì)角線與AC不垂直，故

C錯(cuò)誤；

D.連結(jié)BQ,881AC,BRcBBi=B-所以平面

BBR,所以AC18。，故D正確.

故選：D

6.B

【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題.

【詳解】如圖所示，作EOLCD于0,連接ON,過(guò)M作A/F_LO￡＞于

F.

連環(huán)，平面CDE，平面ABCD.

EO±CD,￡C?c=gCDE,r.EOJ_平面ABCD,心，平面ABC。，

與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知

EO=石，ON=1EN=2,

MF=昱,BF=),;.BM=不.:.BMHEN,故選B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)

造直角三角形.

7.C

【分析】首先畫(huà)出長(zhǎng)方體ABCQ-ABCQ,利用題中條件，得到

ZAC]B=30,根據(jù)4?=2,求得3￡=26,可以確定CC,=2上,之后利

用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.

【詳解】在長(zhǎng)方體ABQJ-ABCQ中，連接BG,

根據(jù)線面角的定義可知NAC由=3。，

因?yàn)?3=2,所以30=2打，從而求得CG=2上,

所以該長(zhǎng)方體的體積為V=2x2x2下=8夜，故選C.

【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程

中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，而題中的條件只

有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重

要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而

求得結(jié)果.

8.A

【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所

以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成

角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正

六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體中，

平面ABQ與線島4Q所成的角是相等的，

所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面也滿(mǎn)足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相

等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面ABR與C、BD中間

的，

且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為孝，

所以其面積為S=6xW.（冬、半，故選A.

424

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積

問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中

找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用

六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

9.ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接B。、BC、,因?yàn)?。A//BC,所以直線8G與所

成的角即為直線BG與?所成的角，

因?yàn)樗倪呅尉W(wǎng)CC為正方形，則故直線BQ與￡）內(nèi)所成的角

為90。，A正確;

連接AC,因?yàn)槠矫?BCC,BGu平面則A^J.BG,

因?yàn)橛眯年?yáng)，A4BC=Bj所以BCJ平面AM,

又ACu平面ABC,所以BCJCA,故B正確；

連接AG,設(shè)AGBQ=。，連接80,

因?yàn)?瓦，平面A8CQ,6^^平面4A62，則CQ_LA2,

因?yàn)镃0LBQ,BQcB1B=4,所以C0_L平面BBQD,

所以/。逐。為直線BG與平面BBQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則=%BC、=6,sin4BO=*=；,

2乙

所以，直線BG與平面BBQD所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚C，平面ABC。，所以N￡BC為直線BG與平面A8C￡＞所成的角,

易得

ZC,BC=45,故D正確.

故選：ABD

10.CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算％%連接的交AC于點(diǎn)〃，連接

EM,FM,由匕=匕-皿+%皿計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

設(shè)AB=EZ）=2FB=2a,因?yàn)槠矫鍭BC。，F(xiàn)BED,則

匕=〃℃皿=〃2?！?（2。）2=*，3,

匕="8.5枷=3"；.（2〃）2=|心連接8D交AC于點(diǎn)M,連接

EM,FM,易得BQ_LAC,

又￡D_L平面ABC。，ACu平面ABCD,則EOLAC,又EDBD=D,

ED,BDu平面BDEF,則AC_L平面BDEF,

又BM=DM=；BD=%,過(guò)F作陽(yáng)，?！暧?,易得四邊形B￡）G尸為矩

形，則FG=BO=2&a,EG=a,

則EM=J（2a）2+（V2a]2=痘,FM=6+（低丫=耳，

22

EM+FM-=EF,則SEFM=；EM-FM=當(dāng)$，AC=2缶，

貝lj%=匕一皿+@EFM=gAC5"w=2a3,則2匕=3乂，匕=3匕，匕=乂+匕,

故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

11.BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)

造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于A,如圖（1）所示，連接AC,則MV//AC,

故/POC（或其補(bǔ)角）為異面直線OP,MN所成的角,

1_y/2

在直角三角形OPC,OC=0,CP=1故tanZ.POC=

故MNLOP不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖（2）所示，取火的中點(diǎn)為。，連接產(chǎn)。，°。,則

OQ1NT,PQ1MN,

由正方體SBCM-NADT可得SN平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SNJ.OQ,而SNMN=N,故OQJ■平面隊(duì)7%，

又MNu平面SNTM,OQ1MN,^\OQ\\PQ=Q,

所以MN_L平面。PQ,而POu平面。尸。，故MN_LOP,故B正確.

對(duì)于C,如圖（3），連接8。，則BD//MN,由B的判斷可得

OPLBD,

故OP工MN,故C正確.

對(duì)于D,如圖(4),取AD的中點(diǎn)Q,A8的中點(diǎn)K,連接

AC,PQ,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因?yàn)榧?PC,故PQ//AC,故PQ//MN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線PQMN所成的角,

圖(4)

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故PQ=；AC=&,

22

OQ=y)AO+AQ=>/1+2=>/3,

PO=yJPK2+OK2=>/4+T=V5,QO2<PQ2+OP2,故NQP。不是直角，

故尸O,MN不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.72.

【分析】本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫(huà)圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找

到「在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定

理解決.

【詳解】作PD，PE分別垂直于AC,8C,P。工平面ABC,連CO,

矢口cz)_LPr>,cr>_LPO,PDOD=P,

\CDA平面PDO,ODu平面PDO,

：.CD1OD

PD=PE=^3,PC=2.sinZPCE=sinZPCD=

ZPCB=ZPCA=6&,

:.POLCO,CO為/AC8平分線，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=&,又PC=2,

：.PO=y/4-2=>/2.

【點(diǎn)睛】畫(huà)圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)

現(xiàn)垂直關(guān)系，問(wèn)題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體

幾何問(wèn)題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍.

13.4()及兀

【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)母線與底面所成

角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槟妇€%，S3所成角的余弦值為?，所以母線以，SB

所成角的正弦值為母，因?yàn)榈拿娣e為5而，設(shè)母線長(zhǎng)為/，所

O

以LxFx姮=5屈；」=4下,

28

因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為45。，所以底面半徑為/嶗=爭(zhēng)，

因此圓錐的側(cè)面積為?！?*?！?40正兀.

【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)線面角求

出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自

然，是該題的最優(yōu)解.

14.⑴夜

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得8C1平面A84A,建立空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

【詳解】(1)在直三棱柱A8C-48C中，設(shè)點(diǎn)A到平面A四的距離

為h,

則%-ABC=；SAtBC-h=h=VAi_ABC=15==g'

解得力=夜，

所以點(diǎn)A到平面48c的距離為夜；

(2)取令的中點(diǎn)后連接AE,如圖，因?yàn)镸=A8,所以

又平面ABC，平面ABBA,平面ABCc平面ABB1A=A,B,

且A￡u平面A84A,所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-中，叫，平面ABC,

由8Cu平面A/C,8Cu平面ABC可得AE_LBC,BBJBC,

又AE,叫u平面ABB^且相交，所以BC1平面ABB^,

所以8C,明，叫兩兩垂直，以3為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖,

由(1)得AE=6,所以AA=AB=2,AB=2短,所以8C=2,

則A(0,2,0),4(022),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點(diǎn)0(1,1,1),

則80=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0),

m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量"?=(x,y,z),則，

ni-BA=2y=0

可取加=(1，0，T)，

nBD=a+b+c=0

設(shè)平面8QC的一個(gè)法向量〃=(〃/?,則

n-BC=2a=0'

可取〃=(O,LT)，

/\mn11

則8s加〃"麗

所以二面角A-Q-C的正弦值為舊品等.

15.(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

⑵C尸與平面曲所成的角的正弦值為竽

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明△MZ法△CBD,得到AB=C8,結(jié)合

等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可

證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到股工小，從而建立空間直角坐標(biāo)系，

結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

(1)

因?yàn)?)=a),七為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在/\ABD和ACBD中，因?yàn)锳。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以“BZ江△C8D,所以AB=C8,又因?yàn)槭癁锳C的中點(diǎn)，所以

AC1.BE；

又因?yàn)镺E,3EU平面BED,DEcBE=E,所以AC,平面

因?yàn)锳Cu平面AC￡),所以平面BEZ〃平面AC。

(2)

連接EF,由(1)知，AC,平面3匹，因?yàn)椤闒u平面3E￡),

所以AC_LM,所以S“c=；A。所，

當(dāng)所_L3D時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)樗訡fi=43=2,

又因?yàn)閆ACB=60。，所以"C是等邊三角形，

因?yàn)槭癁锳C的中點(diǎn)，所以A￡=EC=1,BE=43,

因?yàn)锳O_LC。，所以。E=；AC=1,

在一E>E5中，DE2+BE2=BD2,所以BESOE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則A（1,0,0）,8（0,瘋0）,。（0,0,1）,所以AO=（-1,0,1）,A8=卜1,g,0）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為”=(x,y,z),

/??AD=-x+z=0-廠I,/r-\

則小人-+石廣。,取尸石，則〃=（3，M3）,

［力，所以b=|l,近31

又因?yàn)镃(T,0,0),FT54P

/E\〃CF64>/3

所以小〃⑺=而「邛二〒’

設(shè)CF與平面謝所成的角的正弦值為。［。4”日,

所以sin?=k°s卜,CT7)=——,

所以C尸與平面.所成的角的正弦值為理.

16.(1)證明見(jiàn)解析;

【分析】(1)作DE/AB于E,51他于F,利用勾股定理證明

AD±BD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得/＞/八比＞,從而可得雙〃平面

PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答

案.

(1)

證明：在四邊形ABC。中，作DEJ.AB于E,CF上AB于F,

^^]CD//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四邊形AB。為等腰梯形，

所以AE=B尸=g,

故力E=乎，BD=yjDE2+BE2=73,

所以AD?+8斤=AB2,

所以"＞工應(yīng))，

因?yàn)镻￡>J>平面A8C￡>,BDu平面ABCD,

所以「力_1_比）,

又PDcM^D,

所以雙。平面PAD,

又因?yàn)镻Au平面PAD,

所以BZUH;

(2)

解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=也，

則A(1,O,O),B(O,5/3,O),P(O,O,V3),

則-I,O,6),BP=(O,-G,6),OP=(O,O,G),

設(shè)平面PA8的法向量〃=(x，＞，z),

n-AP=-x+￡z=0

則有｛可取”=(6,1,1),

n-BP=S+6z=0

n-DPV5

則cos(",￡>P)=HM=T，

所以如與平面加所成角的正弦值為手.

17.(1)證明詳見(jiàn)解析

⑵手

【分析】（1）通過(guò)證明AC，平面80來(lái)證得平面3包>J■平面AC。.

（2）首先判斷出三角形AFC的面積最小時(shí)F點(diǎn)的位置，然后求得尸

到平面A8C的距離，從而求得三棱錐尸-ABC的體積.

【詳解】（1）由于仞=8,E是AC的中點(diǎn)，所以AC_L0E.

AD=CD

由于,所以△ADBMACDB,

NADB=ZCDB

所以AB=C3,故AC2班）,

由于￡>Ec8Z）=￡）,DE,BDl平面8即，

所以AC,平面8口）,

由于ACu平面AC￡>,所以平面8EZ）J_平面AC￡>.

（2）［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意46=8。=8c=2,ZACB=60。，三角形A6C是等邊三角形，

所以AC=2,4E=CE=1,BE=G,

由于所以三角形A。是等腰直角三角形，所以

DE=l.

DE2+BE2=BD2,所以DELBE,

由于ACcB￡=E,AC,8Eu平面ABC,所以￡>E2平面ABC.

由于△ADB三△CD3,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于=所以」

AB=CB

所以AF=CF,所以防4C,

由于S"C=：AC.EF,所以當(dāng)EF最短時(shí)，三角形AEC的面積最小

過(guò)E作EFL8D,垂足為F,

在RIBBED中，-BEDE=-BDEF,解得EF=^

所以。F=F⑸,13

2J22

匚匚aBF3

所以而=屋

過(guò)尸作切J_8E,垂足為H,則四〃/小，所以叨，平面A8C,且

FHBF3

所以尸”=：,

所以9rBc=：.SABc.尸，=：x；x2x百x1=乎.

33244

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,Z4CB=60。，AB=2

?Me是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

BE=有

連接政

=ACDB.-.AF=CF

EF±AC

.?.在ABEO中，當(dāng)EFJ.8Z）時(shí)，AAFC面積最小

AD1CD,AD=CD,AC=2,E為AC中點(diǎn)

DE=1DE2+BE-=BD2

BEA.ED

若EFJ.BD,在ABED中,EF=絲L"=B

BD2

BF=\lBE2-EF1=-

2

J_3/3金

-BFEF=

222T-_8-

.AC」.邁2=

^F-ABC=匕-叼+^C-HEF

384

18.(1)證明見(jiàn)解析;

⑵/

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線DC、AB的垂線EG、并分

別交于點(diǎn)G、H,由平面知識(shí)易得FC=BC,再根據(jù)二面角的定義可

知，4CE=60,由此可知，F(xiàn)NLBC,FN1CD,從而可證得/W_L平

面A8C。，即得/W_LAD；

（2）由（1）可知FN_L平面過(guò)點(diǎn)N做A3平行線NK,所以可

以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF所在直線分別為x軸、V軸、z軸建

立空間直角坐標(biāo)系N-沖z,求出平面ADE的一個(gè)法向量，以及BM,

即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線。C、的垂線EG、DH并分

別交于點(diǎn)G、H.

???四邊形和"8都是直角梯形，

AB//DC,CD//EF,AB^5,DC=3,EF^\,ZR4D=NC￡>E=60。，由平面幾何知

識(shí)易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°,貝四邊形EFCG

和四邊形。CB"是矩形，RtEGD^WRtDHA,EG=DH=2也,

VDC1CF,DC1CB,且CFcCB=C,

OC_L平面3CE/BC尸是二面角F-ZJC-B的平面角，貝iJ/BC尸=60,

△5CF是正三角形，由。Cu平面43cO,得平面平面3CF,

YN是8c的中點(diǎn)，F(xiàn)NLBC,又。C,平面BCF,FNu平面3CF,可

得FNLCD,而B(niǎo)CcC￡）=C,；./W平面A8CD,而ADu平面

ABCD..FNYAD.

（2）因?yàn)槭琋,平面A8C。，過(guò)點(diǎn)N做AB平行線NK,所以以點(diǎn)N為

原點(diǎn)，NK,NB、NF所在直線分別為》軸、N軸、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系N-孫z,

則扉3冬、

設(shè)A(5,73,0),8(0,瓜0),0(3,-石,0),E(l,0,3),

,=卜,-乎,3,AO=(-2,-26,0),DE=(-2,6,3)

設(shè)平面ADE的法向量為〃=（x，%z）

,n-AD=0/日-2x-2y/3y=0

由=得［-2X+石y+3z=0取n=(G,-l,G),

設(shè)直線8M與平面4犯所成角為6,

**?sin0=|cos(/?,3M〉卜

|n|BM|行而小+滂日2百14

19.（1）證明見(jiàn)解析；（2）BQ=；

【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直

線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的

平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因?yàn)锽F1AB|，A4〃AB,所以

又因?yàn)槊?，BFcBB廣B,所以A3工平面BCCf.又因?yàn)?/p>

AB=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG-A/CG,如圖所示，

過(guò)七作A3的平行線分別與AG,8c交于其中點(diǎn)KN,連接AKB”,

因?yàn)椤?尸分別為AC和明的中點(diǎn)，所以N是3c的中點(diǎn)，

易證RtBCF=Rt.BiBN,則NCBF=NBB1N.

又因?yàn)镹BB|N+/B|NB=90°,所以/CBF+/B|NB=90°,

又因?yàn)锽F1A4,8戶(hù)rA4=4,所以斯，平面AM/叩.

又因?yàn)椤闐u平面AMN8「所以3尸_L￡>E.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-ABG是直三棱柱，二陰，底面ABC,

ABJ/AB,BF.-.BFYAB,又BBqBF=B,.：.工平面

8CCg.所以BA,8C,B四兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA8C,四所在直線為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖.

.-.S（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,2），A（2,（）,2），G（（）,2,2）,￡（1,1,O）,F（O,2,1）.

由題設(shè)。（a，0,2）（0<a<2）.

因?yàn)?尸=（0,2,1）,￡>E=（1-a,1,-2）,

所以3FgE=0x(l-4)+2xl+lx(—2)=0,所以

［方法三］:因?yàn)槿剑?B田AB,所以故所小A=0,

BFAB=0,所以

BF-ED=BF<EB+BB、+BQ）-BF?B、D+BF<EB+BB）=BF.EB+BF.BB、

11

=Bc\+BF-=-一BF-BA--BFBC+BFBB.

22

=-^BFBC+BFBBt=-^|BF||BC|COSZFBC+|BF|.|BS,|COSZFBB,

—x5/5X2X—產(chǎn)+y/5X2X—廣=0,所以跳」ED.

2舊舊

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為機(jī)=(x,y,z),

因?yàn)樗?（TLl）,￡>E=（j,l,-2）,

\m-EF=O[-x+y+z=O

所rcr以|f〃L=O，RHr]（l-a）x+y_2z=0.

令z=2—a,則，77=（3,l+a,2-a）

因?yàn)槠矫鍮CC,B\的法向量為胡=（2,0,0）,

設(shè)平面聲與平面DEF的二面角的平面角為0,

防訓(xùn)63

貝|cos0\=--j~~7=---/,==I=.

網(wǎng),網(wǎng)2xj2/-2a+14J2a?-2a+14

177

當(dāng)仁:時(shí)，2/_2a+4取最小值為合，

3_V6

此時(shí)cos。取最大值為嚴(yán)=3~.

所以何嘰=『（制邛,此時(shí)赳

[方法二]:幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)所交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)房交86于點(diǎn)T,則

平面。FE平面BBCC=/T.

作即/Ib,垂足為H,因?yàn)?/p>