第20頁(yè)（共20頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之組合一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?吉林期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)都計(jì)劃去旅游，除常見(jiàn)的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，延邊打卡也火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)恰好選擇三個(gè)城市旅游的方法種數(shù)共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．3602．（2025?合肥模擬）現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，若每家養(yǎng)老院安排2名同學(xué)且每名同學(xué)只前往一家養(yǎng)老院，則共有安排方法（）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種3．（2025春?安徽月考）現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，若每家養(yǎng)老院安排2名同學(xué)，且每名同學(xué)只前往一家養(yǎng)老院，則共有安排方法（）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種4．（2025?山東模擬）某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種5．（2024秋?大荔縣期末）在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，“1”指在物理和歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理中任選兩科，某學(xué)生根據(jù)自身的特點(diǎn)，決定按一下方法選課：①外語(yǔ)可選英語(yǔ)或日語(yǔ)，②若選歷史，則政治和地理至多選一科，③物理和日語(yǔ)最多只能選一個(gè)，則這個(gè)同學(xué)可能的選課方式共有（）A．6種 B．11種 C．12種 D．16種二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?酒泉期末）若C13m+1A．3 B．4 C．5 D．6（多選）7．（2024秋?呼和浩特期末）甲、乙、丙等6人排成一列，下列說(shuō)法正確的有（）A．若甲和乙相鄰，共有240種排法 B．若甲不排第一個(gè)共有480種排法 C．若甲與丙不相鄰，共有480種排法 D．若甲在乙的前面，共有360種排法（多選）8．（2024秋?寧波期末）從40個(gè)能歌善舞的人中選擇15個(gè)人參加藝術(shù)節(jié)表演，其中7個(gè)人唱歌，8個(gè)人跳舞，共有多少種選擇方式，下列各式表述正確的為（）A．C4015C157C．C408C32三．填空題（共4小題）9．（2024秋?下月考）A，B，C三人計(jì)劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個(gè)景點(diǎn)供選擇，若每人隨機(jī)選一個(gè)景點(diǎn)，則三人選擇的景點(diǎn)互不相同的概率為．10．（2025?天津模擬）從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體A﹣BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，且共點(diǎn)的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有種．11．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知從n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m＜n，m，n∈N*），共有Cn+1m種取法，在這Cn+1m種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，另一類是取出1個(gè)黑球和m﹣1個(gè)白球，共有C10Cnm+C11Cnm-1種取法，即有等式C10C12．（2024秋?平和縣校級(jí)期末）有一個(gè)4行4列的表格，在每一個(gè)格中分別填入數(shù)字0或1，使得4行中所填數(shù)字之和恰好是1，2，3，4各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是1，2，3，4各一個(gè)（如圖為其中一種填法），則符合要求的不同填法共有種．0001001101111111四．解答題（共3小題）13．（2025?涼州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)．（以下問(wèn)題用數(shù)字作答）（1）若亞洲杯組委會(huì)邀請(qǐng)甲裁判組派裁判去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問(wèn)甲裁判組共有多少種不同的安排方法？（2）若亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項(xiàng)活動(dòng)，問(wèn)共有多少種不同的安排方法？14．（2024秋?畢節(jié)市校級(jí)期末）為了了解高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校對(duì)高二年級(jí)學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間均在[45，105]內(nèi)，繪制的頻率分布表如表所示：日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間[45，55）[55，65）[65，75）[75，85）[85，95）[95，105]頻率0.050.100.250.350.150.10（1）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的第30百分位數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣從日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）與[95，105]內(nèi)的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行個(gè)案分析，再?gòu)倪@被抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生提供個(gè)性化指導(dǎo)方案，求被抽取的3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）內(nèi)的概率．15．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）建平中學(xué)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮?，“龍”卡三張．每個(gè)同學(xué)從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分．（1）求學(xué)生甲最終獲得5分的不同的抽法種數(shù)；（2）求學(xué)生乙最終獲得7分的概率．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之組合參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CCCCD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?吉林期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)都計(jì)劃去旅游，除常見(jiàn)的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，延邊打卡也火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)恰好選擇三個(gè)城市旅游的方法種數(shù)共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．360【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先求出恰有2個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及排列、組合數(shù)求得結(jié)果．【解答】解：甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)從五個(gè)旅游熱門地選擇三個(gè)城市旅游，第一步，先選恰有2個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，有C4第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有A6根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有6×120＝720種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2．（2025?合肥模擬）現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，若每家養(yǎng)老院安排2名同學(xué)且每名同學(xué)只前往一家養(yǎng)老院，則共有安排方法（）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果．【解答】解：現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，設(shè)3家養(yǎng)老院的編號(hào)依次為1、2、3，首先安排1號(hào)養(yǎng)老院，有C6再安排2號(hào)養(yǎng)老院，有C42=6（種），最后安排3根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，因此共有安排方法15×6×1＝90（種）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．3．（2025春?安徽月考）現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，若每家養(yǎng)老院安排2名同學(xué)，且每名同學(xué)只前往一家養(yǎng)老院，則共有安排方法（）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果．【解答】解：現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛(ài)孤寡老人”愛(ài)心志愿活動(dòng)，設(shè)3家養(yǎng)老院的編號(hào)依次為1、2、3，首先安排1號(hào)養(yǎng)老院，有C6再安排2號(hào)養(yǎng)老院，有C42=6（種），最后安排3根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，因此共有安排方法15×6×1＝90（種）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．4．（2025?山東模擬）某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種【考點(diǎn)】從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】分教師甲與2名學(xué)生去北京與教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京兩種情況分類討論可求分配方案的方法數(shù)．【解答】解：當(dāng)教師甲與2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有C4當(dāng)教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有C2綜上，分配方案共有6+12＝18（種）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．5．（2024秋?大荔縣期末）在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，“1”指在物理和歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理中任選兩科，某學(xué)生根據(jù)自身的特點(diǎn)，決定按一下方法選課：①外語(yǔ)可選英語(yǔ)或日語(yǔ)，②若選歷史，則政治和地理至多選一科，③物理和日語(yǔ)最多只能選一個(gè)，則這個(gè)同學(xué)可能的選課方式共有（）A．6種 B．11種 C．12種 D．16種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】分2種情況討論：①若該學(xué)生選日語(yǔ)；②若該學(xué)生選英語(yǔ)，再由加法原理求解即可．【解答】解：①若該學(xué)生選日語(yǔ)，則該學(xué)生必選歷史，則共有C4②若該學(xué)生選英語(yǔ)，當(dāng)“1”選物理時(shí)，共有C42=6種選課方式，當(dāng)“1”選歷史即該學(xué)生選英語(yǔ)時(shí)共有6+5＝11種選課方式，綜合①②得：這個(gè)同學(xué)可能的選課方式共有5+11＝16種，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?酒泉期末）若C13m+1A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】利用組合數(shù)的計(jì)算即可求解．【解答】解：因?yàn)镃13所以m+1＝2m﹣3或m+1+2m﹣3＝13，解得m＝4或5．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?呼和浩特期末）甲、乙、丙等6人排成一列，下列說(shuō)法正確的有（）A．若甲和乙相鄰，共有240種排法 B．若甲不排第一個(gè)共有480種排法 C．若甲與丙不相鄰，共有480種排法 D．若甲在乙的前面，共有360種排法【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用“捆綁法”可判斷A，分類討論可判斷B，利用“插空法”可判斷C，利用“定序法”可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，若甲和乙相鄰，共有A22?A對(duì)于B，若甲不排第一個(gè)，共有A51?A對(duì)于C，若甲與丙不相鄰，共有A44?A對(duì)于D，若甲在乙的前面，共有A66A2故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?寧波期末）從40個(gè)能歌善舞的人中選擇15個(gè)人參加藝術(shù)節(jié)表演，其中7個(gè)人唱歌，8個(gè)人跳舞，共有多少種選擇方式，下列各式表述正確的為（）A．C4015C157C．C408C32【考點(diǎn)】從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問(wèn)題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)排列組合相關(guān)知識(shí)可解．【解答】解：從40個(gè)能歌善舞的人中選擇15個(gè)人參加藝術(shù)節(jié)表演，其中7個(gè)人唱歌，8個(gè)人跳舞，不同的選擇可表示為C4015?C157或故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?下月考）A，B，C三人計(jì)劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個(gè)景點(diǎn)供選擇，若每人隨機(jī)選一個(gè)景點(diǎn)，則三人選擇的景點(diǎn)互不相同的概率為38【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】38【分析】根據(jù)分類乘法計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案．【解答】解：由題意，A，B，C三人計(jì)劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個(gè)景點(diǎn)供選擇，若每人隨機(jī)選一個(gè)景點(diǎn)，不同的選擇方案有43＝64種，若三人選擇的景點(diǎn)互不相同，則不同的選擇方案有A4則三人選擇的景點(diǎn)互不相同的概率為2464故答案為：38【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?天津模擬）從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體A﹣BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，且共點(diǎn)的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有96種．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】96．【分析】根據(jù)所涂顏色的種數(shù)分類，結(jié)合排列，組合公式，即可求解．【解答】解：從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體A﹣BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，若所有相對(duì)的棱涂同一種顏色，共用3種顏色，有A4若所有相對(duì)的3對(duì)棱中有2對(duì)對(duì)棱涂同色，共用4種顏色，有C3所以共有24+72＝96種方法．故答案為：96．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．11．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知從n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m＜n，m，n∈N*），共有Cn+1m種取法，在這Cn+1m種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，另一類是取出1個(gè)黑球和m﹣1個(gè)白球，共有C10Cnm+C11Cnm-1種取法，即有等式C10C【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；邏輯思維．【答案】Cn【分析】所求式子表示的是從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有取法總數(shù)之和，再?gòu)慕M合數(shù)的定義求解，即可．【解答】解：在Cnm+Ck1Cnm-也就是從裝有（n+k）個(gè)球的袋子中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)，即為Cn故答案為：Cn【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握組合數(shù)公式，理解每一項(xiàng)所表示的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024秋?平和縣校級(jí)期末）有一個(gè)4行4列的表格，在每一個(gè)格中分別填入數(shù)字0或1，使得4行中所填數(shù)字之和恰好是1，2，3，4各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是1，2，3，4各一個(gè)（如圖為其中一種填法），則符合要求的不同填法共有576種．0001001101111111【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】需要填入6個(gè)數(shù)字0和10個(gè)數(shù)字1，按順序先填6個(gè)數(shù)字0，先找到一行并填入3個(gè)數(shù)字0，再選出一列需填入3個(gè)數(shù)字0把0填入，再填入最后一個(gè)數(shù)字0，最后填入所有的1，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)公式求解．【解答】解：顯然在符合要求的填法中，應(yīng)該填入6個(gè)數(shù)字0和10個(gè)數(shù)字1，按照下面的順序填入這6個(gè)數(shù)字0，（1）先找到一行并填入3個(gè)數(shù)字0，選出這樣1行共有4種選法，而從該行的4格中選出3個(gè)填入數(shù)字0，也有C43因此這一步共有4×4＝16種不同的填法；（2）選出一列填入3個(gè)數(shù)字0，以圖為例，可知這一列必為前三列（否則就沒(méi)有一列的數(shù)字之和為4）中的某一列，從而選出這一列共有3種選法，而該列中已經(jīng)填入了一個(gè)數(shù)字0，所以填入另外兩個(gè)數(shù)字0有C32這一步共有3×3＝9種不同的填法；（3）當(dāng)完成前面兩步后，最后一個(gè)數(shù)字0所在行與列都有兩個(gè)0，只有4個(gè)位置可以選擇，最后剩下所有的格都填1，有1種填法，因此，符合要求的不同填法共有16×9×4×1＝576種．故答案為：576．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?涼州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)．（以下問(wèn)題用數(shù)字作答）（1）若亞洲杯組委會(huì)邀請(qǐng)甲裁判組派裁判去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問(wèn)甲裁判組共有多少種不同的安排方法？（2）若亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項(xiàng)活動(dòng)，問(wèn)共有多少種不同的安排方法？【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）63；（2）540．【分析】（1）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）按人數(shù)的分配情況分類討論求解即可．【解答】解：（1）已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)．由題意知可去1，2，3，4，5，6名裁判，所以共有C6（2）亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，則分類如下：①這6名裁判分為1人，2人，3人這三組，共有C6②這6名裁判分為1人，1人，4人這三組，共有C6③這6名裁判分為2人，2人，2人這三組，共有C6綜上所述：組委會(huì)將這6名裁判安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，共有90+360+90＝540（種）不同的安排方法．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．14．（2024秋?畢節(jié)市校級(jí)期末）為了了解高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校對(duì)高二年級(jí)學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間均在[45，105]內(nèi)，繪制的頻率分布表如表所示：日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間[45，55）[55，65）[65，75）[75，85）[85，95）[95，105]頻率0.050.100.250.350.150.10（1）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的第30百分位數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣從日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）與[95，105]內(nèi)的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行個(gè)案分析，再?gòu)倪@被抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生提供個(gè)性化指導(dǎo)方案，求被抽取的3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）內(nèi)的概率．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合問(wèn)題；古典概型及其概率計(jì)算公式；平均數(shù)；百分位數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）77.5；（2）71；（3）710【分析】（1）根據(jù)每組的頻率與組中值之積，再求和，即可得解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算可得；（3）分別求出[85，95）、[95，105]中抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得．【解答】解：（1）依題意可得日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)為：50×0.05+60×0.1+70×0.25+80×0.35+90×0.15+100×0.1＝77.5；（2）因?yàn)?.05+0.1＝0.15＜0.3，0.05+0.1+0.25＝0.4＞0.3，所以第30百分位數(shù)位于[65，75），設(shè)為x，則0.15+（x﹣65）×0.25÷10＝0.3，解得x＝71，所以第30百分位數(shù)為71；（3）依題意[85，95）中抽取5×0.150.15+0.1=3名學(xué)生，分別記作a、[95，105]中抽取5×0.10.15+0.1=2名學(xué)生，分別記作從這5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生，則可能結(jié)果有：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共10個(gè)；其中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在85，95）有：Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共7個(gè)，所以至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）的概率P=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)頻率分布表計(jì)算平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)，考查了用列舉法解決古典概型問(wèn)題，屬于中檔題．15．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）建平中學(xué)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮?，“龍”卡三張．每個(gè)同學(xué)從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分．（1）求學(xué)生甲最終獲得5分的不同的抽法種數(shù)；（2）求學(xué)生乙最終獲得7分的概率．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）60種；（2）6種．【分析】（1）由題意可知，需抽中1張“龍”卡和3張其他卡，再結(jié)合組合數(shù)公式求解；（2）由題意可知，需要抽中3張“龍”卡和1張其他卡，再結(jié)合組合數(shù)公式求解．【解答】解：（1）學(xué)生甲最終獲得5分，則需抽中1張“龍”卡和3張其他卡，則不同的抽法種數(shù)為C31（2）學(xué)生乙最終獲得7分，則需要抽中3張“龍”卡和1張其他卡，不同的抽法種數(shù)為C33【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=m等可能條件下概率的特征：（1）對(duì)于每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計(jì)算方法：（1）列舉法（列表或畫樹(shù)狀圖），（2）公式法；列表法或樹(shù)狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應(yīng)用場(chǎng)合當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．樹(shù)狀圖法（1）定義：通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法．（2）運(yùn)用樹(shù)狀圖法求概率的條件當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137144的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)A．（-518，+∞）B．（﹣∞，718）C．（-718，518）解析：對(duì)于a與b各有6中情形，故總數(shù)為36種設(shè)兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率為P=設(shè)兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行與重合即可，∵當(dāng)直線l1、l2相交時(shí)b≠2a，圖中滿足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三種，∴滿足b≠2a的有36﹣3＝33種，∴直線l1、l2相交的概率P=33∵點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137∴（118-m）2+（1112）解得-518故選：D典例2：某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1，2，3，4，5五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)從一批該零件巾隨機(jī)抽取20個(gè)，對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下等級(jí)12345頻率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，求m，n；（2）在（1）的條件下，從等級(jí)為3和5的所有零件中，任意抽取2個(gè)，求抽取的2個(gè)零件等級(jí)恰好相同的概率．解析：（1）由頻率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，即m+n＝0.45．…（2分）由抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，得n=220所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等級(jí)為3的零件有3個(gè)，記作x1，x2，x3；等級(jí)為5的零件有2個(gè)，記作y1，y2．從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個(gè)零件，所有可能的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共計(jì)10種．…（9分）記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級(jí)相等”．則A包含的基本事件為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4個(gè)．…（11分）故所求概率為P(A)=3．平均數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣平均數(shù)：數(shù)據(jù)集中所有值的算術(shù)平均，計(jì)算公式為x=【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：求出數(shù)據(jù)集中所有值的總和，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．【命題方向】﹣主要考察平均數(shù)的計(jì)算和解釋．4．百分位數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】百分位數(shù)的定義：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)，總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p．四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分，在這4個(gè)部分取值的可能性都是14【解題方法點(diǎn)撥】一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100﹣p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)步驟如下：①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；②計(jì)算i＝n×p%；③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【命題方向】理解連續(xù)變量的百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，考察百分位數(shù)的計(jì)算，學(xué)會(huì)用樣本估計(jì)總體的百分位數(shù)．5．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法．常見(jiàn)考題類型：（1）映射問(wèn)題（2）涂色問(wèn)題（①區(qū)域涂色②點(diǎn)的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問(wèn)題（①允許有重復(fù)數(shù)字②不允許有重復(fù)數(shù)字）6．組合及組合數(shù)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合．（2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cn2．組合數(shù)公式：Cnm=n(n-1)(n-2)(n3．組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1C性質(zhì)2Cn7．簡(jiǎn)單組合問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡(jiǎn)單組合問(wèn)題涉及無(wú)任何特殊限制的組合情況．n個(gè)不同元素中選出r個(gè)元素的組合總數(shù)為Cn﹣這類問(wèn)題是組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本組合公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用組合公式進(jìn)行計(jì)算．在實(shí)際問(wèn)題中，注意理解組合與排列的區(qū)別，組合不考慮順序，而排列考慮順序．﹣對(duì)于簡(jiǎn)單組合問(wèn)題，可以通過(guò)列舉法或公式直接