拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換是在復(fù)平面中，以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率s

，故稱為s域分析。拉普拉斯變換的定義Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)

的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。1.雙邊拉氏變換雙邊拉普拉斯變換對(duì)2.單邊拉氏變換考慮到實(shí)際信號(hào)都是因果信號(hào)，采用0-系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉普拉斯變換為拉普拉斯變換的定義3.收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)?/p>

值才能使積分收斂，信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換存在。

F(s)收斂域：使f(t)拉氏變換存在的

取值范圍。單邊拉氏變換收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換。拉普拉斯變換的定義例1因果信號(hào)f(t)=e

t

(t)

，求其拉普拉斯變換?？梢?jiàn)，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=

>

時(shí)，其拉氏變換存在。解收斂域收斂邊界

對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=

<

時(shí)，其拉氏變換存在。例2反因果信號(hào)f2(t)=e

t(-t)，求拉氏變換。拉普拉斯變換的定義收斂域收斂邊界

拉普拉斯變換的定義例3

雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。其雙邊拉普拉斯變換僅當(dāng)

>

時(shí)，其收斂域?yàn)?/p>

<Re[s]<

的一個(gè)帶狀區(qū)域。收斂域收斂邊界拉普拉斯變換的定義解象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。例4求下列信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。拉普拉斯變換的定義4.常用函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)時(shí)域表示s域表示1

(t)

2

(t)或13e-αt4cos

0t

5sin0t

6t1

請(qǐng)回答如圖所示信號(hào)的單邊拉氏變換是否相同。相同不同不能確定ABC提交單選題1分單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)序號(hào)性質(zhì)序號(hào)性質(zhì)1線性7卷積定理2尺度變換8s域微分3時(shí)移9s域積分4s域平移10初值定理5時(shí)域微分11終值定理6時(shí)域積分單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)若a,b為常數(shù),則1.線性性質(zhì)例故

的拉斯變換。求因?yàn)閱芜吚绽棺儞Q的性質(zhì)2.尺度變換若則例已知解單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)3.時(shí)移特性若則證明令則有代入上式單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)解：?jiǎn)芜吚绽棺儞Q的性質(zhì)4.s域平移特性若則例已知且有復(fù)常數(shù)單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)5.時(shí)域微分特性若則推廣6.時(shí)域積分特性若則單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)推廣若為因果信號(hào)，則單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)分析單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)7.卷積定理若則時(shí)域卷積定理復(fù)頻域（s域）卷積定理單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)8.s域微分特性若則n取正整數(shù)例求的拉斯變換。單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)9.

s域積分特性則例求的拉氏變換。若單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)10.初值定理若例則設(shè)函數(shù)不包含及各階導(dǎo)數(shù)，且已知，求單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)11.終值定理若例則f(t)當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且

f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)若例??(??)不是真分式,應(yīng)化為真分式??(??)中有常數(shù)項(xiàng)，說(shuō)明

??(??)中有??(??)項(xiàng)。解拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換常用的方法（1）查表（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開(kāi)兩種或三種方法結(jié)合拉普拉斯逆變換通常象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫(xiě)為：式中，ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。2.若m≥n

（假分式）,可用長(zhǎng)除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。1.當(dāng)m<n,F(s)為有理真分式。討論拉普拉斯逆變換多項(xiàng)式長(zhǎng)除法由于，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。拉普拉斯逆變換零極點(diǎn)概念上式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根。

根p1

，p2···

pn稱為F(s)的極點(diǎn)。

z1

，z2···zm稱為F(s)的零點(diǎn)。零極點(diǎn)在復(fù)平面中的描述零點(diǎn)極點(diǎn)拉普拉斯逆變換拉氏逆變換的過(guò)程Step1求F(s)的極點(diǎn)Step2將F(s)展開(kāi)為部分分式Step3查變換表求出原函數(shù)f(t)部分分式展開(kāi)分三種情況1.F(s)極點(diǎn)為單極點(diǎn)（單階實(shí)數(shù)根）2.F(s)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.F(s)有重極點(diǎn)（重根）拉普拉斯逆變換1.F(s)為單極點(diǎn)（單階實(shí)數(shù)根）例已知，求其逆變換。Step1求極點(diǎn)解拉普拉斯逆變換Step2展成部分分式Step3查變換表求出原函數(shù)f(t)拉普拉斯逆變換2.F(s)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)可見(jiàn)K1,K2是共軛關(guān)系：F(s)展開(kāi)成部分分式和形式拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換3.F(s)有重極點(diǎn)（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，則先求K11。上式兩邊同時(shí)乘以得然后代入s=p1，即可求出K11。拉普拉斯逆變換依此類推，可得系數(shù)計(jì)算通式如下：再求K12。同理，對(duì)F(s)兩邊同時(shí)乘以得然后,上式兩邊對(duì)復(fù)變量s求導(dǎo)得代入s=p1，即可求出K12。拉普拉斯逆變換關(guān)于重根的逆變換利用積分特性可知故例已知，求逆變換。解由題知s=-2是單根，s=-1為2重根。部分分式展開(kāi)為拉普拉斯逆變換所以z變換的定義與收斂域1.z變換的定義z變換的定義與收斂域——序列的雙邊z變換——序列的單邊z變換——變換對(duì)z變換的定義與收斂域z變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和，只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即其z變換才存在。對(duì)于序列，滿足所有z值組成的集合稱為z變換

的收斂域——ROC

2.z變換的收斂域收斂域的定義：z變換的定義與收斂域（1）有限長(zhǎng)序列z變換的收斂域收斂域：例1設(shè)有限長(zhǎng)序列,其中,若

，求其z變換。常數(shù)有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。z變換的定義與收斂域(1)f(k)的雙邊z變換為收斂域?yàn)?<

z

<∞

(2)f(k)的單邊z變換為收斂域?yàn)?/p>

z

>0例1

求有限序列的z變換

z變換的定義與收斂域（2）因果序列z變換的收斂域例2求因果序列解：的z變換。收斂域：僅當(dāng)，即時(shí)，其z變換存在。

因果序列z變換的收斂域?yàn)閳A外域例3求反因果序列解:

的z變換僅當(dāng)即時(shí)，其z變換存在z變換的定義與收斂域（3）反因果序列z變換的收斂域收斂域?yàn)?/p>

反因果序列z變換的收斂域?yàn)閳A內(nèi)域z變換的定義與收斂域（4）雙邊序列z變換的收斂域例4雙邊序列解：的z變換其收斂域?yàn)?/p>

雙邊序列z變換的收斂域?yàn)閳A環(huán)域注意：對(duì)雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對(duì)應(yīng)的原序列將不唯一。例求下面序列的雙邊z變換。f1(k)=2k

(k)←→F1(z)=

,

z

>2f2(k)=–2k

(–k–1)←→F2(z)=,

z

<2對(duì)單邊z變換，其收斂域比較簡(jiǎn)單，一定是某個(gè)圓以外的區(qū)域。可以省略。z變換的定義與收斂域歸納總結(jié)：z變換的定義與收斂域有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。（d）雙邊序列z變換的收斂域?yàn)閳A環(huán)域。（b）因果序列z變換的收斂域?yàn)閳A外域。（c）反因果序列z變換的收斂域?yàn)閳A內(nèi)域。（a）序列收斂域的特點(diǎn)：因果序列反因果序列雙邊序列

z變換的定義與收斂域常用序列的z變換：

(k)←→1，

z

>0z變換的性質(zhì)z變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)對(duì)任意常數(shù)例：若其收斂域至少是F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。則z變換的性質(zhì)雙邊z變換的移位性質(zhì)：若

，且對(duì)整數(shù)

，則單邊z變換的移位性質(zhì)：若

且有整數(shù)m>0,則前向移位：特例：若f(k)為因果序列，則后向移位：2.移位性質(zhì)z變換的性質(zhì)若

，且常數(shù)則

證明：同理：3.z域尺度變換求的z變換。例

已知解：即收斂域：z變換的性質(zhì)4.卷積定理則

對(duì)單邊z變換，要求f1(k)、f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。例：求

的z變換F(z).解：z變換的性質(zhì)若例：求

的z變換F(z).解：若

則

z變換的性質(zhì)5.z域微分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分若

，設(shè)有整數(shù)m，且k+m>0，

則若m=0,且k>0，則

例：求序列的z變換。解:z變換的性質(zhì)6.z域積分若

則序列的初值

z變換的性質(zhì)序列在k<M時(shí)，，且對(duì)因果序列f(k)，則若

序列在k<M時(shí)，，且則序列的終值

7.初值定理8.終值定理逆z變換逆z變換求逆z變換的常用方法有：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、部分分式展開(kāi)法、留數(shù)法等。通常，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即

f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)

(–k–1)+f(k)

(k)相應(yīng)地，其z變換也分兩部分F(z)=F1(z)+F2(z)，<|z|<已知象函數(shù)F(z)及其收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對(duì)應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。

可見(jiàn)，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級(jí)數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。例：已知象函數(shù)其收斂域如下，分別求其相對(duì)應(yīng)的原序列f(k)。（1）|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2逆z變換1.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1)

由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z)展開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù)(2)

由于F(z)的收斂域?yàn)?/p>

z<1，故f(k)為反因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z)按升冪排列展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)

|z|>2|z|<1逆z變換(3)F(z)的收斂域?yàn)?<z<2，其原序列f(k