偏導(dǎo)數(shù)全微分教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。理解全微分的概念，掌握全微分的計(jì)算方法。了解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的幾何意義。能夠運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)和全微分解決一些實(shí)際問題，如求函數(shù)的極值、優(yōu)化問題等。2.過程與方法目標(biāo)通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多元函數(shù)變化率問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力。通過實(shí)例分析和計(jì)算練習(xí)，讓學(xué)生掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算技巧，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。通過討論和交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和表達(dá)能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算。全微分的概念和計(jì)算。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系。2.教學(xué)難點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)概念的理解，特別是對(duì)多元函數(shù)中某一個(gè)自變量變化而其他自變量保持不變時(shí)函數(shù)變化率的理解。全微分概念的理解，以及全微分存在的條件。利用偏導(dǎo)數(shù)和全微分解決實(shí)際問題，如建立數(shù)學(xué)模型、進(jìn)行優(yōu)化分析等。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合。通過講授系統(tǒng)地傳授知識(shí)，通過討論促進(jìn)學(xué)生思考和交流，通過練習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入（5分鐘）1.回顧一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念提問：什么是一元函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)？學(xué)生回答：\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)，導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某一點(diǎn)處隨自變量變化的快慢程度。2.引出多元函數(shù)的變化率問題舉例：考慮一個(gè)矩形的面積\(S=xy\)，其中\(zhòng)(x\)和\(y\)分別表示矩形的長和寬。當(dāng)\(x\)和\(y\)都變化時(shí)，面積\(S\)如何變化？如果只讓\(x\)變化而\(y\)不變，面積\(S\)關(guān)于\(x\)的變化率是多少？類似地，只讓\(y\)變化而\(x\)不變時(shí)，面積\(S\)關(guān)于\(y\)的變化率又是多少？引導(dǎo)學(xué)生思考這種情況下如何描述函數(shù)的變化率，從而引出偏導(dǎo)數(shù)的概念。

（二）偏導(dǎo)數(shù)的概念（15分鐘）1.定義設(shè)函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)\(y\)固定在\(y_0\)而\(x\)在\(x_0\)處有增量\(\Deltax\)時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量\(f(x_0+\Deltax,y_0)f(x_0,y_0)\)，如果極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0)f(x_0,y_0)}{\Deltax}\)存在，則稱此極限為函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)，記為\(f_x(x_0,y_0)\)，\(\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(x_0,y_0)}\)，\(z_x\vert_{(x_0,y_0)}\)等。類似地，當(dāng)\(x\)固定在\(x_0\)而\(y\)在\(y_0\)處有增量\(\Deltay\)時(shí)，如果極限\(\lim\limits_{\Deltay\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Deltay)f(x_0,y_0)}{\Deltay}\)存在，則稱此極限為函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處對(duì)\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)，記為\(f_y(x_0,y_0)\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(x_0,y_0)}\)，\(z_y\vert_{(x_0,y_0)}\)等。2.幾何意義以二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)為例，\(f_x(x_0,y_0)\)表示曲面\(z=f(x,y)\)與平面\(y=y_0\)的交線在點(diǎn)\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)處的切線對(duì)\(x\)軸的斜率；\(f_y(x_0,y_0)\)表示曲面\(z=f(x,y)\)與平面\(x=x_0\)的交線在點(diǎn)\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)處的切線對(duì)\(y\)軸的斜率。3.例題講解例1：求函數(shù)\(z=x^2+3xy+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的偏導(dǎo)數(shù)。解：先求\(z\)對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)\(z_x\)：把\(y\)看作常數(shù)，對(duì)\(x\)求導(dǎo)，\(z_x=2x+3y\)。將\((1,2)\)代入\(z_x\)，得\(z_x(1,2)=2\times1+3\times2=8\)。再求\(z\)對(duì)\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)\(z_y\)：把\(x\)看作常數(shù)，對(duì)\(y\)求導(dǎo)，\(z_y=3x+2y\)。將\((1,2)\)代入\(z_y\)，得\(z_y(1,2)=3\times1+2\times2=7\)。例2：設(shè)\(f(x,y)=\sin(xy)\)，求\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)。解：求\(f_x(x,y)\)：把\(y\)看作常數(shù)，對(duì)\(x\)求導(dǎo)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(f_x(x,y)=y\cos(xy)\)。求\(f_y(x,y)\)：把\(x\)看作常數(shù)，對(duì)\(y\)求導(dǎo)，\(f_y(x,y)=x\cos(xy)\)。

（三）偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則（15分鐘）1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)\(u(x,y)\)，\(v(x,y)\)具有偏導(dǎo)數(shù)，則\((u\pmv)_x=u_x\pmv_x\)，\((u\pmv)_y=u_y\pmv_y\)；\((uv)_x=u_xv+uv_x\)，\((uv)_y=u_yv+uv_y\)；\((\frac{u}{v})_x=\frac{u_xvuv_x}{v^2}(v\neq0)\)，\((\frac{u}{v})_y=\frac{u_yvuv_y}{v^2}(v\neq0)\)。2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)\(z=f(u,v)\)，\(u=u(x,y)\)，\(v=v(x,y)\)，且\(f(u,v)\)對(duì)\(u\)和\(v\)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)對(duì)\(x\)和\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}\)。3.隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)方程\(F(x,y,z)=0\)確定了一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)\(z=z(x,y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{F_x}{F_z}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{F_y}{F_z}\)（其中\(zhòng)(F_z\neq0\)）。4.舉例說明例3：設(shè)\(z=u^2vuv^2\)，\(u=x\cosy\)，\(v=x\siny\)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。解：先求\(\frac{\partialz}{\partialu}=2uvv^2\)，\(\frac{\partialz}{\partialv}=u^22uv\)；\(\frac{\partialu}{\partialx}=\cosy\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=x\siny\)；\(\frac{\partialv}{\partialx}=\siny\)，\(\frac{\partialv}{\partialy}=x\cosy\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}=(2uvv^2)\cosy+(u^22uv)\siny\)將\(u=x\cosy\)，\(v=x\siny\)代入上式得：\(\frac{\partialz}{\partialx}=(2x\cosy\cdotx\siny(x\siny)^2)\cosy+((x\cosy)^22x\cosy\cdotx\siny)\siny\)化簡得：\(\frac{\partialz}{\partialx}=x^2\sin2y\cosyx^2\sin^3y+x^2\cos^3yx^2\sin2y\siny\)\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}=(2uvv^2)(x\siny)+(u^22uv)(x\cosy)\)將\(u=x\cosy\)，\(v=x\siny\)代入上式并化簡得：\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^3\sin^2y\cosy+x^3\sin^3yx^3\cos^3y+x^3\siny\cos^2y\)例4：設(shè)方程\(x^2+y^2+z^24z=0\)確定了函數(shù)\(z=z(x,y)\)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。解：令\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^24z\)，則\(F_x=2x\)，\(F_y=2y\)，\(F_z=2z4\)。根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{F_x}{F_z}=\frac{2x}{2z4}=\frac{x}{2z}\)\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{F_y}{F_z}=\frac{2y}{2z4}=\frac{y}{2z}\)

（四）全微分的概念（15分鐘）1.定義如果函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)的全增量\(\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)f(x,y)\)可以表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(zhòng)(A\)，\(B\)不依賴于\(\Deltax\)，\(\Deltay\)，而僅與\(x\)，\(y\)有關(guān)，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，則稱函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)可微分，而\(A\Deltax+B\Deltay\)稱為函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)的全微分，記為\(dz\)，即\(dz=A\Deltax+B\Deltay\)。2.可微的條件函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)可微的充分必要條件是函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x,y)\)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\)，\(f_y(x,y)\)存在，且\(A=f_x(x,y)\)，\(B=f_y(x,y)\)，此時(shí)全微分\(dz=f_x(x,y)\Deltax+f_y(x,y)\Deltay\)。3.全微分的幾何意義函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的全微分\(dz\)，表示曲面\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)處切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量。4.例題講解例5：求函數(shù)\(z=x^2y+3xy^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。解：先求\(z_x=2xy+3y^2\)，\(z_y=x^2+6xy\)。將\((1,2)\)代入得\(z_x(1,2)=2\times1\times2+3\times2^2=16\)，\(z_y(1,2)=1^2+6\times1\times2=13\)。根據(jù)全微分公式\(dz=z_x\Deltax+z_y\Deltay\)，在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分為：\(dz=16\Deltax+13\Deltay\)例6：計(jì)算函數(shù)\(z=e^{xy}\)在點(diǎn)\((2,1)\)處當(dāng)\(\Deltax=0.1\)，\(\Deltay=0.2\)時(shí)的全微分和全增量。解：先求\(z_x=ye^{xy}\)，\(z_y=xe^{xy}\)。將\((2,1)\)代入得\(z_x(2,1)=1\timese^{2\times1}=e^2\)，\(z_y(2,1)=2\timese^{2\times1}=2e^2\)。全微分\(dz=z_x\Deltax+z_y\Deltay=e^2\times0.1+2e^2\times0.2=0.5e^2\)。全增量\(\Deltaz=f(2+0.1,1+0.2)f(2,1)=e^{(2+0.1)(1+0.2)}e^{2\times1}=e^{2.52}e^2\)。

（五）偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系（10分鐘）1.偏導(dǎo)數(shù)存在與