4.1.2指數(shù)函數(shù)[知識整合]基礎(chǔ)知識1．指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)底數(shù)a>10＜a＜1圖像性質(zhì)(1)定義域為R；(2)值域為(0，＋∞)；(3)函數(shù)的圖像都過定點(0，1)；(4)都是非奇非偶函數(shù)(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)(6)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1(6)當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1基礎(chǔ)訓(xùn)練1．下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()①y＝3·2x；②y＝2x－1；③y＝4x；④y＝x2.A．0B．1C．2D．32．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝(eq\f(1,2))xD．y＝x23．函數(shù)y＝5x與y＝5－x的圖像之間的關(guān)系是()A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱D．關(guān)于直線y＝x對稱4．函數(shù)y＝5－x在R上是____________函數(shù)．5．函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的定義域為____________．[重難點突破]考點1指數(shù)函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為()A．f(x)＝4xB．f(x)＝4x＋3C．f(x)＝－4xD．f(x)＝(－4)x【解析】只有A中滿足y＝ax(a>0且a≠1)．故選A.例2已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax的圖像過點(2，eq\f(16,9))，則a的值為()A．±eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)【解析】把點(2，eq\f(16,9))代入函數(shù)得eq\f(16,9)＝a2，解得a＝±eq\f(4,3)，因為a＞0，所以a＝eq\f(4,3).故選D.【變式訓(xùn)練】若指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax，且f(2)＝16，則a＝____________．考點2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3函數(shù)y＝2eq\s\up6(\f(x,2))的圖像大致是()ABCD【解析】∵y＝2eq\s\up6(\f(x,2))＝(eq\r(2))x，eq\r(2)＞1，∴由指數(shù)函數(shù)圖像可知C正確，故選C.【變式訓(xùn)練】某函數(shù)的大致的圖像如圖所示，則該函數(shù)可能是()A．y＝3－xB．y＝3xC．y＝－3xD．y＝－3－x例4求函數(shù)f(x)＝log2(8－2x2－2x)的定義域．【解】由題意得：8－2x2－2x>0，2x2＋2x<23，∴x2＋x<4，即x2＋x－4<0，∴eq\f(－1－\r(17),2)<x<eq\f(－1＋\r(17),2)，∴函數(shù)定義域為(eq\f(－1－\r(17),2)，eq\f(－1＋\r(17),2))．【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)y＝eq\f(\r(4－2x),2－x)的定義域是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，2]2．函數(shù)y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))x－16)的定義域____________．例5畫出函數(shù)f(x)＝2|x|的圖像并寫出單調(diào)區(qū)間．【解】f(x)＝2|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x，（x≥0）,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))x，（x<0）)))可以看出圖像是關(guān)于y軸對稱的，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．【變式訓(xùn)練】比較0.35.1，1，0.3－5.1三個數(shù)的大?。?(1)試判斷函數(shù)y＝(a2－a＋2)x的單調(diào)性；(2)若(a2－1)eq\s\up6(\f(3,4))＜(a2－1)eq\s\up6(\f(2,3))，求a的取值范圍．【解】(1)∵a2－a＋2＝a2－a＋eq\f(1,4)＋eq\f(7,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))))2＋eq\f(7,4)>1，∴函數(shù)y＝(a2－a＋2)x為單調(diào)遞增函數(shù)．(2)由已知(a2－1)eq\s\up6(\f(3,4))＜(a2－1)eq\s\up6(\f(2,3))且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)得y＝(a2－1)x為單調(diào)遞減函數(shù)，∴0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，解得－eq\r(2)＜a＜－1或1＜a＜eq\r(2)，因此a的取值范圍是(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))．反思提煉：(1)這是一個指數(shù)函數(shù)，要判斷其單調(diào)性，需先考慮底的范圍，若底大于1，則為增函數(shù)，若底在0與1之間，則為減函數(shù)．(2)這是一個同底的指數(shù)冪比較大小的問題，由于eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，因此當(dāng)aeq\s\up6(\f(3,4))<aeq\s\up6(\f(2,3))時，一定有a∈(0，1)．考點3解指數(shù)方程和指數(shù)不等式例7解方程4x－2x＋3＝2x－3－1.【解】設(shè)2x＝t>0，將方程化為t2－8t＝eq\f(1,8)t－1，即(t－8)(t－eq\f(1,8))＝0，解得t＝8或t＝eq\f(1,8).即2x＝8或2x＝eq\f(1,8)，∴x＝3或x＝－3.【變式訓(xùn)練】解方程52x－6×5x＋5＝0.例8已知32x－1<1，則x的取值范圍是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，eq\f(1,2))D．(eq\f(1,2)，＋∞)【解析】由32x－1<1＝30得2x－1<0，x<eq\f(1,2)，故選C.【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝3x，不等式f(x－6)>3的解集是()A．(7，＋∞)B．(－∞，7)C．(9，＋∞)D．(2，＋∞)[課堂訓(xùn)練]1．函數(shù)y＝2－x是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)2．若函數(shù)y＝(a2－6a＋6)ax是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1B．a(chǎn)＞1C．a(chǎn)＝1或a＝5D．a(chǎn)＝53．函數(shù)y＝ax－2＋3的圖像恒過定點()A．(2，3)B．(2，4)C．(0，3)D．(0，4)4．已知函數(shù)y＝ex的圖像與單調(diào)遞減函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像相交于點(a，b)，給出下列四個結(jié)論：①a＝lnb；②b＝lna；③f(a)＝b；④當(dāng)x>a時，f(x)<ex.其中正確的結(jié)論共有()A．1個B．2個C．3個D．4個5．若f(x)＝(a2－3)x在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－2，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(0，3)D．(－3，－1)6．若f(2x)＝2x，則f(8)＝____________．7．設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(2)＝9，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝____________．8．已知f(x)是偶函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝3x，則f(－2)＝____________．9．若函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值的差為2，求a的值．指數(shù)函數(shù)答案知識整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．B【解析】形如y＝ax(a>0，a≠1)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，y＝3·2x系數(shù)不為1，不是指數(shù)函數(shù)；y＝2x－1指數(shù)不是x，不是指數(shù)函數(shù)；y＝x2是冪函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，故選B.2．B【解析】∵y＝－2x、y＝(eq\f(1,2))x均為單調(diào)遞減函數(shù)；y＝x2先減后增；y＝2x為單調(diào)遞增函數(shù)，故選B.3．C【解析】根據(jù)兩個函數(shù)的圖像可知．4．減【解析】函數(shù)y＝5－x可化為：y＝(eq\f(1,5))x.∵0<a<1，∴y＝5－x在R上為減函數(shù)．5．(－∞，0]【解析】由1－3x≥0，即3x≤30.由單調(diào)性可得x≤0，∴定義域為(－∞，0]．重難點突破【例2】【變式訓(xùn)練】4【解析】由f(2)＝16代入得a2＝16?a＝4或a＝－4(負(fù)值舍去)．【例3】【變式訓(xùn)練】A【解析】由所示圖像是單調(diào)遞減函數(shù)得該函數(shù)可能是y＝3－x.【例4】【變式訓(xùn)練】1.C【解析】要使y＝eq\f(\r(4－2x),2－x)有意義，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0,2－x≠0)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x≤2,x≠2)))，∴x<2.2．(－∞，－4]【解析】(eq\f(1,2))x－16≥0，即2－x≥24.由單調(diào)性可得－x≥4，即x≤－4，定義域為(－∞，－4]．【例5】【變式訓(xùn)練】【解】由0<0.35.1<1，0.3－5.1>1可得0.35.1<1<0.3－5.1.【例7】【變式訓(xùn)練】【解】令5x＝t，則有t2－6t＋5＝0，解得t＝1或t＝5，由5x＝1或5x＝5，解得x＝0或x＝1.【例8】【變式訓(xùn)練】A【解析】由f(x－6)＝3x－6>3＝31?x－6>1即x>7，故選A.課堂訓(xùn)練1．D【解析】指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x，∵0<a<1，∴函數(shù)是減函數(shù)．2．D【解析】若函數(shù)y＝(a2－6a＋6)ax是指數(shù)函數(shù)，則a2－6a＋6＝1，解得a＝1或a＝5，又∵指數(shù)函數(shù)的系數(shù)a>0且a≠1，∴a＝5，故選D.3．B【解析】當(dāng)x－2＝0，即x＝2時，y＝a0＋3＝4，所以恒過點(2，4)，選B.4．C【解析】由題意可得y＝ex和y＝f(x)均過點(a，b)，則有a＝lnb，f(a)＝b，所以①③正確．∵y＝f(x)為減函數(shù)，∴當(dāng)x>a時，f(x)<f(a)＝b，又由y＝ex為增函數(shù)，則當(dāng)x>a時，ex>ea＝b，∴當(dāng)x>a時，f(x)<ex.5．B【解析】∵f(x)＝(a2－3)x在R上是增函數(shù)，∴a2－3>1，解得a>2或a<－2.6．16【解析】f(2x)＝2x，令t＝2x，x＝eq\f(t,2)，f(t)＝2eq