普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

大學(xué)物理（第二版）

第四

篇波動(dòng)學(xué)

第15章機(jī)械波

課件制作者：李潔第1頁第15章本章主要內(nèi)容波干涉波衍射多普勒效應(yīng)

平面簡諧波波函數(shù)

15.2波能量

15.3

15.4

15.5

15.6非線性波

15.7機(jī)械波產(chǎn)生及特征

15.1第2頁15.1機(jī)械波產(chǎn)生及特征

15.1.1機(jī)械波產(chǎn)生

15.1.2波分類

15.1.4波振面和波線

15.1.3波特征量第3頁15.1.1機(jī)械波產(chǎn)生振動(dòng)傳輸過程稱為波動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中傳輸過程稱為機(jī)械波。產(chǎn)生機(jī)械波必要條件：波源作機(jī)械振動(dòng)物體；媒質(zhì)能夠傳輸機(jī)械振動(dòng)彈性媒質(zhì)。波源帶動(dòng)彈性媒質(zhì)中與其相鄰質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)相繼傳輸?shù)胶竺娓飨噜徺|(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)時(shí)間和相位依次落后。波動(dòng)現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)集體表現(xiàn)，各質(zhì)點(diǎn)仍在其各自平衡位置附近作振動(dòng)。第4頁15.1.2波分類橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波傳輸方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波傳輸方向平行軟繩波傳輸方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向軟彈簧波傳輸方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向在機(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵新暡ㄊ强v波。液體表面波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純縱波或橫波。第5頁15.1.3波特征量周期T波速u波長單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)(或相位)傳輸距離標(biāo)準(zhǔn)單位m/s沿波傳輸方向上,兩個(gè)相鄰?fù)辔毁|(zhì)點(diǎn)之間距離,稱為波長.單位m波動(dòng)傳輸一個(gè)波長距離所需要時(shí)間,稱為周期.單位s波傳輸速度、波長、周期或頻率是波特征量.關(guān)系為或

波傳輸方向l波速u第6頁15.1.3波特征量(續(xù)1)關(guān)于波速問題:波速取決于媒質(zhì)彈性(彈性模量)和媒質(zhì)慣性(密度)固體:固體能夠產(chǎn)生切變和容變,其對應(yīng)彈性模量以下計(jì)算固體切變彈性模量固體容變彈性模量液體和氣體:液體能夠產(chǎn)生容變,其容變彈性模量如固體一致對于密度為固體,在其中傳輸橫波和縱波速度為液體和氣體中傳輸縱波波速為第7頁15.1.3波特征量(續(xù)2)關(guān)于波速問題:波速取決于媒質(zhì)彈性(彈性模量)和媒質(zhì)慣性(密度)細(xì)長棒:沿著棒長度方向傳輸縱波波速取決于楊氏彈性模量及其慣性波速為擔(dān)心弦上傳輸橫波波速取決于密度和張力T第8頁15.1.4波陣面和波線波前波面波線波面振動(dòng)相位相同點(diǎn)連成面。波前最前面波面。平面波（波面為平面波）球面波（波面為球面波）波線（波射線）波傳輸方向。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。第9頁15.2平面簡諧波波函數(shù)

15.2.1平面簡諧波波函數(shù)

15.2.2波函數(shù)物理意義

15.2.3波動(dòng)微分方程第10頁15.2.1平面簡諧波波函數(shù)簡諧波:由簡諧振動(dòng)傳輸所形成波動(dòng)。簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本波。各種復(fù)雜波都能夠看作是許多不一樣頻率簡諧波疊加

對于機(jī)械波，若波源及彈性媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都連續(xù)地作簡諧振動(dòng)所形成連續(xù)波，則為簡諧機(jī)械波。簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本波。各種復(fù)雜波都能夠看作是許多不一樣頻率簡諧波疊加簡諧波一個(gè)主要模型是平面簡諧波。

平面簡諧波波面是平面，有確定波長和傳輸方向，波列足夠長，各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)振幅恒定。第11頁15.2.1平面簡諧波波函數(shù)(續(xù)1)XOYu一列平面簡諧波（假定是橫波）觀察坐標(biāo)原點(diǎn)任設(shè)（無須設(shè)在波源處）波沿X軸正向傳輸（正向行波）xPtx如何描述任意時(shí)刻、波線上距原點(diǎn)為的任一點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律？P設(shè)位于原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為Ocos()jyAOwt+

已知振動(dòng)狀態(tài)以速度沿軸正向傳輸。對應(yīng)同一時(shí)刻，uXtPtux()振動(dòng)狀態(tài)與原點(diǎn)在時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)相同。點(diǎn)所以，在設(shè)定坐標(biāo)系中，波線上任一點(diǎn)、任意時(shí)刻振動(dòng)規(guī)律為cos()yAjwt+ux這就是沿X軸正向傳輸平面簡諧波動(dòng)方程。它是時(shí)間和空間雙重周期函數(shù)。第12頁15.2.1平面簡諧波波函數(shù)(續(xù)2)沿X軸正向傳輸平面簡諧波動(dòng)方程cos()yAwtj+ux得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)wT2pn2puTl波動(dòng)方程慣用周期T波長l或頻率n形式表示,由消去波速uT和l1分別含有單位時(shí)間和單位長度含義，分別與時(shí)間變量和空間變量組成對應(yīng)關(guān)系。tx1第13頁15.2.2波函數(shù)物理意義cos()yAwtj+ux若給定，波動(dòng)方程即為距原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程xxcos()yAwtj+x2pl距原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)初相x若給定，波動(dòng)方程表示所給定時(shí)刻波線上各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對各自平衡點(diǎn)位置分布，即該時(shí)刻波形圖。ttcos()yAwtj+x2plXYO第14頁15.2.2波函數(shù)物理意義(續(xù)1)t+rt若和都是變量，即是和函數(shù)，這正是波動(dòng)方程所表示波線上全部質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位置分布隨時(shí)間而改變情況?？煽闯墒且粋€(gè)動(dòng)態(tài)波形圖。txytxcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)正向波同一時(shí)刻，沿X軸正向，波線上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位依次落后。t+rtXOYtu波沿X軸正向傳輸tu波沿X軸反向傳輸?shù)?5頁15.2.3波動(dòng)微分方程把平面簡諧波波函數(shù)分別對t和x求二階導(dǎo)數(shù)得將左邊兩式相比較有以下關(guān)系:任一平面簡諧波能夠由許多不一樣頻率簡諧波合成,所以對任一平面波波函數(shù)分別求t和x二階偏導(dǎo),都能夠得到右式,它反應(yīng)了一切平面波共同特征,稱為平面波波動(dòng)方程第16頁15.3波能量現(xiàn)象：若將一軟繩（彈性媒質(zhì)）劃分為多個(gè)小單元（體積元）上下抖動(dòng)振速最小v振速最大v形變最小形變最大t時(shí)刻波形t+dt在波動(dòng)中，各體積元產(chǎn)生不一樣程度

彈性形變，含有

彈性勢能pEr各體積元以改變振動(dòng)速率上下振動(dòng)，含有振動(dòng)動(dòng)能vEkr第17頁總能量15.3波能量(續(xù)1)動(dòng)能動(dòng)能計(jì)算勢能計(jì)算波函數(shù)波在傳輸過程中,任一時(shí)刻體元?jiǎng)幽芎蛣菽懿坏笮∠嗟?而且相位也相同第18頁15.3波能量(續(xù)2)能量密度波在一周期中的能量波的強(qiáng)度一個(gè)波長平均能量能量按周期平均能量按波長平均能量介質(zhì)中單位體積能量單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過垂直于波速u單位橫截面積上平均能量W/m2us第19頁15.4波干涉干涉

駐波

波干涉

波疊加原理

15.4.1

15.4.2

15.4.3第20頁15.4.1波疊加原理

幾列波在同一介質(zhì)中傳輸時(shí),在相遇處每列波依然保持各自原有特征(波長、頻率、振動(dòng)方向等）。相遇處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，是各列波單獨(dú)傳輸時(shí)在該點(diǎn)引發(fā)振動(dòng)合成，這種波動(dòng)傳輸獨(dú)立性稱為波獨(dú)立性原理，或波疊加原理第21頁15.4.2波干涉波干涉是在特定條件下波疊加所產(chǎn)生現(xiàn)象。若有兩個(gè)波源振動(dòng)頻率相同振動(dòng)方向相同振動(dòng)相位差恒定

它們發(fā)出波列在媒質(zhì)中相遇疊加時(shí)，疊加區(qū)域中各質(zhì)點(diǎn)所參加兩個(gè)振動(dòng)含有各自恒定相位差，一些質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)一直加強(qiáng)，一些質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)一直減弱或完全相消。這種現(xiàn)象稱為波干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象波稱為相干波其波源稱為相干波源第22頁15.4.2波干涉（續(xù)1）相干振動(dòng)合成相干振動(dòng)合成分別引發(fā)

P

點(diǎn)振動(dòng)2pr1ly1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr2l)合振動(dòng)

y

y1+y2

Acos(wt+j)AA12A22A1A2cos2j2j12p++()r2r1ljarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosA2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)兩相干波源振動(dòng)方程21ss第23頁15.4.2波干涉（續(xù)2）相干振動(dòng)合成分別引發(fā)

P

點(diǎn)振動(dòng)y1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振動(dòng)

y

y1+y2

Acos(wt+j)A2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)兩相干波源振動(dòng)方程21ss1AA2A22A1A2cos2++j2j12p()r2r1lp21rljwt()+1p2rljwt()+22jr故空間每一點(diǎn)合成振幅A保持恒定。jr

P點(diǎn)給定，則恒定。

y1y2

兩振動(dòng)相位差第24頁相長與相消干涉AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l合成振動(dòng)振幅最大+2pkjrr2r12plj2j1（0,1,2,)k...當(dāng)時(shí)maxA12A+Ajrr2r12plj2j1當(dāng)（0,1,2,)k...時(shí)+2pk()+1合成振動(dòng)振幅最小minA12AA15.4.2波干涉（續(xù)3）第25頁15.4.2波干涉（續(xù)4）波程差表示式AA2A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l若j2j1即兩分振動(dòng)含有相同初相位則取決于兩波源到P點(diǎn)旅程差，稱為波程差djr12rrdr2r12pl+2pkjr（0,1,2,)k...當(dāng)時(shí)即d12rr+kl則合成振動(dòng)振幅最大maxA12A+A

波程差為零或?yàn)椴ㄩL整數(shù)倍時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)振幅最大，干涉相長。r2r12pl+pjr（0,1,2,)k...當(dāng)時(shí)則合成振動(dòng)振幅最小即2k()+12d12rr+l2k()+1minA12AA

波程差為半波長奇數(shù)倍時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)振幅最小，干涉相消。第26頁15.4.3駐波波干涉是特定條件下波疊加，駐波是特定條件下波干涉。條件：兩列相干波振幅相等相向傳輸發(fā)生干涉現(xiàn)象：干涉區(qū)域中形成駐波各質(zhì)點(diǎn)振幅分布規(guī)律恒定形成一個(gè)非定向傳輸波動(dòng)現(xiàn)象uAl正向行波uAl反向行波2AAmaxAmin0l2波腹波節(jié),第27頁15.4.3駐波（續(xù)1）駐波形成圖解t=

0t=

T

/

8t=

T

/

4t=

3T

/

8t=

T

/

2t=

5T

/

8t=

3T

/

4t=

7T

/

8t=

T

YOXAXA2OY在同一坐標(biāo)系XOY中正向波反向波+)駐波1yy2y點(diǎn)擊鼠標(biāo)，觀察在一個(gè)周期T

中不一樣時(shí)刻各波波形圖。每點(diǎn)擊一次，T8時(shí)間步進(jìn)合成駐波y12yy+第28頁15.4.3駐波（續(xù)2）為簡明起見，j1j20,設(shè)改寫原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+駐波方程數(shù)學(xué)描述y12yy+駐波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函數(shù)關(guān)系ab2coscoscos(a+b(((+cosab(2Acos2pxl(cos2ptn得y駐波方程第29頁(2Acos2pxl(cos2ptny駐波方程OXY2l2l波節(jié)波腹波腹處振幅最大cos2pxl1,波節(jié)處振幅最小cos2pxl0,xk2l+k12(),...0,,xk21()l4++k12(),...0,,它絕對值表示位于坐標(biāo)x處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)振幅。即描述振幅沿X軸分布規(guī)律。振幅分布因子n諧振動(dòng)因子駐波中各質(zhì)點(diǎn)均以同一頻率作簡諧振動(dòng)。第30頁15.4.3駐波（續(xù)2）駐波相位特點(diǎn)駐波能量特點(diǎn)同一時(shí)刻,相鄰兩波節(jié)之間各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相同,波節(jié)兩側(cè)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相反；駐波不是振動(dòng)相位傳輸過程，駐波波形不發(fā)生定向傳輸最大其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)經(jīng)過平衡位置時(shí)波節(jié)體積元不動(dòng)，動(dòng)能Ek0其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)抵達(dá)最大位移時(shí)波腹其它質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能Ek0波節(jié)處變最大勢能Ep最大,波腹附近各點(diǎn)速度最大Ek波節(jié)及其它點(diǎn)無形變Ep0駐波能量不作定向傳輸，其能量轉(zhuǎn)移過程是動(dòng)能與勢能相互轉(zhuǎn)移以及波腹與波節(jié)之間能量轉(zhuǎn)移。第31頁聲源水空氣聲源水玻璃由波密媒質(zhì)到波疏媒質(zhì)界面反射由波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)界面反射當(dāng)形成駐波時(shí)反射界面上總是出現(xiàn)波腹反射界面上總是出現(xiàn)波節(jié)振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現(xiàn)波腹總是出現(xiàn)波節(jié)當(dāng)形成駐波時(shí)由入射波與反射波產(chǎn)生駐波“半波損失”與第32頁15.5波衍射

15.5.1惠更斯—菲涅耳原理

惠更斯原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳輸?shù)礁鼽c(diǎn)，都能夠看成是發(fā)射子波波源，其后任一時(shí)刻，這些子波包絡(luò)面就是新波陣面。

惠更斯—菲涅耳原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳輸?shù)礁鼽c(diǎn)，都能夠看成是發(fā)射子波波源，其后任一時(shí)刻，這些子波包絡(luò)面就是新波陣面，波陣面上每一點(diǎn)不但能夠看成是發(fā)射子波波源，而且這些子波波源是相干波源，它們發(fā)出子波是相干波，相干波干涉決定波強(qiáng)度。第33頁15.5波衍射

15.5.2波衍射

當(dāng)波長與障礙物可比擬時(shí)候，波就能夠繞過障礙物而傳輸，而且子波包跡組成新波振面第34頁15.5波衍射

15.5.3波反射和折射反射：因?yàn)樵谕唤橘|(zhì)中波速相同，所以有折射：在兩種介質(zhì)中相等時(shí)間內(nèi)有第35頁15.6多普勒效應(yīng)當(dāng)觀察者與波源之間有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者所測得頻率不一樣于波源頻率現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。

設(shè)觀察者和波源在同一直線上運(yùn)動(dòng)波在媒質(zhì)中傳輸速率（取決于媒質(zhì)性質(zhì)，與波源運(yùn)動(dòng)無關(guān)）uvs波源相對于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)速率先明確幾個(gè)頻率概念波源在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)n（1）波源頻率（3）波頻率n單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過介質(zhì)中某點(diǎn)整波個(gè)數(shù)觀察者相對于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)速率vR單位時(shí)間內(nèi)接收到次數(shù)（2）觀察者接收頻率nR分別討論下述四種情況觀察者所測得nR第36頁（1）（2）相對于介質(zhì)波源靜止、觀察者運(yùn)動(dòng).相對于介質(zhì)鳳察者靜止、波源運(yùn)動(dòng)（3）相驪于介質(zhì)波源和鳳察者同時(shí)運(yùn)動(dòng)15.6多普勒效應(yīng)第37頁1.相對于介質(zhì)波源靜止觀察者以向波源運(yùn)動(dòng)。vR假如波源靜止觀察者背離波源運(yùn)動(dòng)，觀察者測得頻率為1()uvRnvR觀察者每秒接收到整波數(shù)，即觀察者測得頻率為lTuu+u+1()+u觀察者測得頻率是波源振動(dòng)頻率倍。1()+uvRnRvRvRnvRvs0sul波源振動(dòng)頻率觀察者測得頻率vRnvR第38頁1.相對于介質(zhì)觀察者靜止、波源以運(yùn)動(dòng)。vs213213132一列等間距小石子，等時(shí)先后落入水中，先看一個(gè)普通現(xiàn)象波陣面分布是一系列偏心圓。它們所激起