2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（一）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向B.在空間中，單位向量唯一C.若兩個向量不相等，則它們的長度不相等D.若空間中的四點不共面，則是空間的一組基底2.已知直線的傾斜角為，則該直線的一個方向向量為（）A.B.C.D.3.如圖所示，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則（）A.B.C.D.4.已知兩直線，若，則與間的距離為（）A.B.C.D.5.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（）A.B.1C.2D.7.如圖所示，正方體的棱長為2，點分別為的中點，則（）A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為D.直線與平面所成的角為8.如圖，在三棱錐中，平面是的中點，是內(nèi)的動點（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知直線，則（）A.若，則直線的傾斜角為B.直線過定點C.若，則直線在軸和軸上的截距相等D.若直線不經(jīng)過第二象限，則10.如圖，四邊形為正方形，平面為的中點，則（）A.四點共面B.平面C.平面D.平面平面11.在正方體中，為的中點，為正方體表面上的一個動點，則（）A.當點在線段上運動時，與所成角的最大值是B.若點在上底面上運動，且正方體棱長為與所成角為，則點的軌跡長度是C.當點在面上運動時，四面體的體積為定值D.當點在棱上運動時，存在點使三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線過點，則當取得最小值時，直線的方程為__________.13.如圖，正三棱柱的各棱長均為1，點為棱上的中點，點為棱上的動點，則在上的投影向量的模的取值范圍為__________.14.已知正方體的體積為8，且，則當取得最小值時，三棱錐的外接球體積為__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.（13分）已知直線與直線的交點為.（1）求點關(guān)于直線的對稱點；（2）求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程.16.（15分）如圖，是半圓的直徑，是的中點，，平面垂直于半圓所在的平面，.（1）若為的中點，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）如圖①，在邊長為4的菱形中，分別是邊的中點，，如圖②，將菱形沿對角線折起.（1）證明：；（2）當點折疊到使二面角為直二面角時，求點到平面的距離.18.（17分）如圖，在斜四棱柱中，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19.（17分）定義：如果在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，那么稱為兩點間的曼哈頓距離.（1）已知兩點的坐標分別為，如果它們之間的曼哈頓距離不大于2，求的取值范圍；（2）已知兩點的坐標分別為，如果它們之間的曼哈頓距離恒大于1，求的取值范圍；（3）若點在函數(shù)的圖象上且，點的坐標為，求的最小值.參考答案及解析一?單選題1.D【解析】對于A，零向量的方向是任意的，錯誤；對于B，單位向量的方向是任意的，B錯誤；對于C，若兩個問量不相等，則它們的長度可能相等，如相反向量，C錯誤；對于D，因為空間中的四點不共面，所以向量不共面且不為零向量，所以是空間的一組基底，D正確.2.C【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，故其一個方向向量為.3.A【解析】連接，因為為的中點，所以，所以4.D【解析】由，整理為一般式得，由題意，得，解得，故，所以與問的距離為.5.A【解析】因為，所以，所以，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.6.A【解析】因為，所以存在，即，解得，所以.7.B【解析】対丁A，因為為正方體，所以，直線與直線不舁直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖，建立空間直角坐標系，則，對于B，，設(shè)平面的法向早為，則，令，取，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，故B正確；對于C，，所以三棱錐的體積為，故C錯誤，對于D，，設(shè)直線與平面所成的角為，故D錯誤.8.B【解析】設(shè)分別為的中點，連按，如圖，易得，因為平面平面，所以平面，同理平面，又因為平面，所以平面平面.因為平面，所以為線段上的點.由平面平面，得，又，則，由平而，得平面，因為，所以平面.因為，所以.所以..因為，所以.二?多選題9.ABC【解析】對于A，若，則直線：，直線的傾斜角為，A正確；對于B，由，即，則，解得，所以直線過定點，B正確：對于C，若，則直線，則直線在軸和軸上的截距相等，C正確；對于D，由A可知當時，直線的方程為，此時直線不經(jīng)過第二象限，故D錯誤.10.BCD【解析】由題意可知兩兩垂直，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.取則對于A，若四點共面，，，則存在，使，所以，方程組無解，故四點不共而，A錯誤；對于，，所以，故共面，又平面，所以平面，B正確；對于C，，易知，所以.又，可得.又平而，所以平面，故C正確；對于D，因為平面平面，所以平而平面，故D正確.11.CD【解析】對于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成的角等價于與所成的角，當為的中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.對于B，如圖二，因為棱垂直于.上底而，與所成角為，在中，，所以所在的軌跡是以為圓心，1為半徑的弧，軌跡長度是，故B錯誤.對于，如圖三，因為在面內(nèi)，而到面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對于D，如圖四，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為，因為，由，得，解得，故D正確.三?填空題12.【解析】因為直線過點，所以，則，所以，當且僅當，且，即時，等號成立，此時直線的方程為，即.13.【解析】連接，則，又三棱柱為正三棱柱，則半而平而，所以，又平面，所以平面，建立如圖所示的空間直分坐標系，則，，所以，因為點為校上的動點，設(shè)，則，所以，則在上的投影向量的模為，因為，所以，即在上的投影向量的模的取值范圍為14.【解析】由題意得，，如圖，將平面展開且與平面在同一平面，當點共線時，此時最小，在展開圖中作，交的延長線于，因為為等腰直角三角形，所以，由得，，則，解得，在正方休，過點作，垂足為，則，如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，則，因為.，所以，又因為平面，且，所以平面，因為，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心為，則，因為，所以，解得，即，所以外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積.四?解答題15.解：由，解得，即點，（1）設(shè)，由得，則，解得，故.（2）過作任一直線，設(shè)為點到直線的距離，則（當時等號成立），所以，直線的斜率為，所以直線的斜率為.此時直線的方程為，即.16.（1）證朋：因為點分別是的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：因為足的中點，所以.又平面平面，平面平面，所以平而.因為，所以，所以兩兩垂直.以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，知，，設(shè)平面的法向量為，則取，得，所以平面的一個法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則即直線與平而所成分的正弦值為17.解：（1）如圖，取的中點，連接，結(jié)合折疊后線段長度不變得到，所以.又平面，所以平面，所以.又分別是邊的中點，所以，所以.（2）因為點折疊到使二面角為直二面角，所以平面平面.又因為平面平面，，所以平面.又平面，所以.結(jié)合（1）可知兩兩垂直，故以為坐標原點，所在的直線分別為輯，建立如圖所示的空間直角坐標系.則所以設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，取，所以.所以點到平面的距離為18.（1）證明：由，四邊形為平行四邊形，可知底面為菱形，故.又所以又則，所以，即.又平面，且，故平面.（2）解：過點分別作于于，連接，設(shè)與交于點，因為平面平面，所以.底面，所以底面，所以.又，所以平面平面，所以.在中，，在中，，在中，，以為坐標原點，以過點且與平行的直線為軸，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，取，次而的一個法向量為.所以即平面與平面夾角的余弦值為19.解：（1）因為，所以，由受哈頃距離不大于2可得，即，解得，故的取值范圍是（2）因為，所以由題意可得恒成立，因為，當且僅當時等號成立，即的最小值為，所以，則或，解得或.故的取值范圍是.（3）點任函數(shù)圖象上：，點的坐標為，收當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則.當時，.令，由于，故，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故則.綜上可知，的最小值為2.2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）一.選擇題（共8小題）1.若點在圓的外部，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.2.下列選項中，不正確的命題是（）A.若兩條不同直線，的方向向量為，，則B.若是空間向量的一組基底，且，則點在平面內(nèi)，且為的重心C.若是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底D.若空間向量，，共面，則存在不全為0的實數(shù)，，使3.設(shè)，，，，且，，則（）A. B. C.3 D.4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為．若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.5.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（）A B.C.或 D.或6.已知直線與直線交于，則原點到直線距離的最大值為（）A2 B. C. D.17.正方體棱長為為棱中點，為正方形內(nèi)（舍邊界）的動點，若，則動點的軌跡長度為（）A. B. C. D.8.已知曲線與x軸交于不同兩點A，B，與y軸交于點C，則過A，B，C（A，B，C均不重合）三點的圓的半徑不可能為（）A. B. C.1 D.2二.多選題（共3小題）9.已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值可能為（）A.1 B. C.﹣2 D.﹣110.在正三棱柱中，已知，空間點滿足，則（）A.當時，為正方形對角線交點B.當時，在平面內(nèi)C.當時，三棱錐的體積為D當，且時，有且僅有一個點，使得11.如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.平面與平面所成角的余弦值為D.當時，動點到平面的距離的最小值為1三.填空題（共3小題）12.已知直線：，：，若，則實數(shù)______.13.設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是___________.14.已知，空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.四.解答題（共5小題）15.如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點，設(shè)，，.（1）求的長；（2）求異面直線和夾角的余弦值.16.已知直線的方程為：.（1）求證：不論為何值，直線必過定點；（2）過點引直線交坐標軸正半軸于兩點，當面積最小時，求的周長.17.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點在棱上，且（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點，點在棱上，且平面，求二面角的正弦值.18.如圖，在三棱臺中，，，為的中點，二面角的大小為．（1）求證：；（2）若，求三棱臺的體積；（3）若到平面的距離為，求的值．19.已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點，．（1）求的長；（2）若為的中點，求二面角的正弦值；（3）若為線段上一點，且滿足，求．

高二上學(xué)期數(shù)數(shù)學(xué)10月月考答案一.選擇題（共8小題）【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】C【3題答案】【答案】D【4題答案】【答案】C