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2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題(一)一、單選題(本大題共8小題)1.(
)A. B. C. D.2.若集合,則是(
)A.或 B.C. D.3.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示,則的解析式可能是(
)A. B.C. D.4.在四面體ABCD中,點(diǎn)M,N滿足,,若,則(
)A. B. C. D.15.已知,,則(
)A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各擲骰子次,分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的是(
)A.甲:平均數(shù)為,中位數(shù)為 B.乙:中位數(shù)為,眾數(shù)為C.丙:平均數(shù)為,方差為 D.?。褐形粩?shù)為,方差為7.在正四棱柱中,,,設(shè)四棱柱的外接球的球心為,動(dòng)點(diǎn)在正方形的邊上,射線交球的表面于點(diǎn),現(xiàn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿著運(yùn)動(dòng)一次,則點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.8.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P,Q分別為邊BC,CD上的點(diǎn),,則的最大值為(
)A.1 B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.已知復(fù)數(shù)的虛部與的實(shí)部均為2,則下列說法正確的是(
)A.是虛數(shù)B.若,則C.若,則與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱D.若是純虛數(shù),則10.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球,則下列結(jié)論正確的是(
)A.從中任取3球,恰有一個(gè)紅球的概率是;B.從中有放回的取球3次,每次任取一球,恰好有兩個(gè)白球的概率為;C.從中不放回的取球2次,每次任取1球,若第一次已取到了紅球,則第二次再次取到紅球的概率為;D.從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到白球的概率為.11.已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為1,分別是棱和的中點(diǎn),是上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是(
)A.B.若,則∥面C.若,則面D.若是線段的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是三、填空題(本大題共3小題)12.已知函數(shù)若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值是.13.《中國(guó)居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示,歲至歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)為了解某地中學(xué)生的體重情況,某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,測(cè)量他們的體重(單位:千克),根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),按,,,,,分成六組,得到的頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù),估計(jì)該地中學(xué)生體重的分位數(shù)是.14.已知一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積為,下底面半徑比上底面半徑大,母線與下底面所成角的正切值為,則該圓臺(tái)的外接球(圓臺(tái)的上、下底面圓周上的點(diǎn)均在球面上)的體積為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知兩組各有5位病人,他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位:天)記錄如下:組:10,11,12,13,14,組:12,13,15,14,.假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立,從兩組隨機(jī)各選1人,組選出的人記為甲,組選出的人記為乙.(1)如果,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率;(2)如果,事件:“甲康復(fù)時(shí)間為11天”,事件:“甲乙康復(fù)時(shí)間之和為25天”,事件是否相互獨(dú)立?16.如圖所示,已知底面,,,且,為的中點(diǎn).
(1)若,求三棱錐的體積.(2)求證:;17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍.18.在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求角;(2)點(diǎn)在邊上,且,,求面積的最小值.19.已知正實(shí)數(shù)集,定義:稱為的平方集.記為集合中的元素個(gè)數(shù).(1)若,求集合和;(2)若,求;(3)求證:,并指出取等條件.
參考答案1.【答案】A【分析】利用輔助角公式,即可化簡(jiǎn)求值.【詳解】原式.故選A.2.【答案】B【分析】先解不等式求出兩個(gè)集合,再求兩集合的交集即可.【詳解】由,得或,解得或,所以或,由,得,所以,所以.故選B.3.【答案】A【分析】利用排除法,根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)定義域以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.【詳解】由題意可知:的定義域?yàn)?,故B錯(cuò)誤;當(dāng),先正后負(fù),則有:對(duì)于C:因?yàn)?,則,可知,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,則,但的符號(hào)周期性變化,故D錯(cuò)誤;故選A.4.【答案】C【分析】直接利向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】在四面體中,由于點(diǎn),滿足,,如圖所示:故,故.故選C.5.【答案】A【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.【詳解】由得,故選A.6.【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義,通過舉例排除ABD,由假設(shè)推理判斷C.【詳解】若甲的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是,滿足選項(xiàng)A;若乙的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是,滿足選項(xiàng)B;若丁的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是,平均數(shù)為4,其方差為,滿足選項(xiàng)D;若丙的平均數(shù)為2,又有點(diǎn)數(shù)6,則方差,不可能滿足C,因此丙不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6.故選C.7.【答案】A【分析】點(diǎn)的路徑是4段長(zhǎng)度相等的弧,求出圓心角可得弧長(zhǎng).【詳解】因?yàn)檎睦庵饨忧虻闹睆綖槠潴w對(duì)角線的長(zhǎng),故(為正四棱柱外接球的半徑).所以.所以為等邊三角形,所以.所以劣弧的長(zhǎng)為:.所以點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為:.故選A.8.【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得,然后利用三角變換公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】由余弦定理可得,整理得到,,則,整理得到:,而,故,而,故,設(shè),則,其中為銳角且,因?yàn)椋?,故,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故的最大值為,故選B.9.【答案】ACD【分析】借助虛數(shù)定義可得A;借助模長(zhǎng)共識(shí)計(jì)算即可得B;借助共軛復(fù)數(shù)定義與復(fù)數(shù)的幾何意義可得C;借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與純虛數(shù)定義及模長(zhǎng)定義即可得D.【詳解】可設(shè)復(fù)數(shù),A選項(xiàng):根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確;B選項(xiàng):,所以,則,所以,,所以,故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng):若,所以,所以,,所以,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和,則關(guān)于x軸對(duì)稱,故C正確;D選項(xiàng):因?yàn)?,且是純虛?shù),所以,所以,,則,所以,故D正確.故選ACD.10.【答案】AC【分析】A應(yīng)用古典概型求概率即可;B、D由取到白球服從分布,應(yīng)用二項(xiàng)分布概率公式求出對(duì)應(yīng)事件的概率;C由題設(shè)第二次取球時(shí)剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球即可判斷.【詳解】A:任取3球恰有一個(gè)紅球的概率,正確;B:由每次取到紅白球概率分別為,則取到白球服從分布,則恰好有兩個(gè)白球的概率,錯(cuò)誤;C:第一次取到紅球,則剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球,故第二次取到紅球的概率為,正確;D:由B分析知:,錯(cuò)誤.故選AC.11.【答案】ACD【分析】選項(xiàng),在,,中依次使用余弦定理即可解得;B選項(xiàng),假設(shè)平面成立,由線面平行的性質(zhì)可知,由平行線分線段成比例可知,找出全等三角形,可得;C選項(xiàng),分別證明,由線面垂直的判定可得平面;D選項(xiàng),找出全等三角形,可知當(dāng)最小時(shí),故最小,故此時(shí)三點(diǎn)共線,利用余弦定理求的長(zhǎng)度即的最小值.【詳解】由題設(shè)可知,平行六面體的六個(gè)面均為一個(gè)角是的菱形,連接交于點(diǎn),在菱形中易得,又O為中點(diǎn),則,在直角三角形中有,在中,由余弦定理可得,解得,則,在中,由余弦定理得,則,在中,余弦定理可得,解得,A正確;連接交于G,連接交于H,由于分別是棱和的中點(diǎn),可得,連接,交于點(diǎn),則有,故,若平面,平面,平面平面,則,故,易得,故,與題設(shè)不符,B錯(cuò)誤;設(shè)與交于點(diǎn),連接,因?yàn)榉謩e是,的中點(diǎn),則,在菱形中易得,則,又是中點(diǎn),則,則,過點(diǎn)C作,使,連接,易得,在平面內(nèi)由余弦定理得,解得,又,,則,則,又,則,因?yàn)槠矫?平面,面,C正確;由平行六面體的對(duì)稱性可得,則,當(dāng)最小時(shí),可知最小,故此時(shí)三點(diǎn)共線,此時(shí)易得N為的中點(diǎn),由可得,由B選項(xiàng)可知,又,則,在中,由余弦定理可得,解得,故的最小值是,D正確.故選ACD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】空間中的最值問題,一般情況下會(huì)利用轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi),將其化簡(jiǎn)為代數(shù)類問題解決往往比較容易.12.【答案】0【分析】根據(jù)解析式分析的單調(diào)性并畫出大致圖象,將問題化為與僅有一個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合求參數(shù)值.【詳解】由函數(shù)解析式,在上遞減,、上遞增,且在處連續(xù),所以大致圖象如下,由函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),即與僅有一個(gè)交點(diǎn),由圖知:.故答案為:0.13.【答案】【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖判斷分位數(shù)的位置,然后列方程求解即可.【詳解】因?yàn)榍?組的頻率和為,前3組的頻率和為,所以分位數(shù)在內(nèi),設(shè)分位數(shù)為,則,解得.故答案為:.14.【答案】【分析】結(jié)合題意計(jì)算可得,,,再設(shè)出該圓臺(tái)的外接球球心,借助球的性質(zhì)得到,再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得.【詳解】如圖,設(shè)、分別為上下底面圓心,為母線,為點(diǎn)在底面的投影,為該圓臺(tái)的外接球球心,由該圓臺(tái)的側(cè)面積為,則有,即,由下底面半徑比上底面半徑大,則有,由母線與下底面所成角的正切值為,則有,即,又,即有,則,即,則,則有,即,即,即,設(shè)該圓臺(tái)的外接球半徑為,則,故該圓臺(tái)的外接球體積.故答案為:.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)出該圓臺(tái)的外接球球心,從而借助勾股定理得到.15.【答案】(1)(2)不相互獨(dú)立【分析】(1)列舉符合條件的基本事件,即可由古典概型的概率公式求解,(2)分別求解,即可根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的關(guān)系求解.【詳解】(1)如果,從兩組隨機(jī)各選1人,樣本空間,,共有25種,甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的情況有,共有8種,所以概率為;(2)當(dāng)時(shí),,事件的情況有,共4種所以事件:“甲康復(fù)時(shí)間為11天且甲乙康復(fù)時(shí)間和為25天”的情況為.故所以事件不相互獨(dú)立.16.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)利用體積變換法求(2)先證明DE⊥面,即證.【詳解】(1)根據(jù)題意可得,,所以,由,得平面,所以(2)連接,交DE于F,
因?yàn)镃E⊥面ABC,,所以所以和為直角三角形,又,,所以所以,又已知CE⊥底面ABC,,所以CE⊥AB,AB⊥BC,面,所以AB⊥面,面,所以AB⊥DE,又,所以,,面,所以DE⊥面,又面,所以DE⊥.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】(1)本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明,考查體積的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)空間幾何體體積的計(jì)算常用的有公式法、割補(bǔ)法和體積變換法.17.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義,利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可;(2)把公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題,結(jié)合換元法進(jìn)行求解即可.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),函數(shù)存在零點(diǎn),即在時(shí)有解,設(shè),即,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),則關(guān)于的方程只有一解,只有一解,令,得關(guān)于的方程有一正數(shù)解,①當(dāng)時(shí),方程的解為,不合題意;②當(dāng)時(shí),則恒成立,此方程有一正一負(fù)根,負(fù)根舍去,滿足題意;③當(dāng)時(shí),滿足的情況下,因?yàn)?,同?hào),所以得滿足,只需,且,解得;綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.【答案】(1)A;(2).【分析】(1)由正弦定理及余弦定理化簡(jiǎn)得到,再利用余弦定理得,根據(jù)角的范圍求出即可;(2)設(shè),求得,再通過求得,進(jìn)而得到,過點(diǎn)做的垂線,交于點(diǎn),求得,結(jié)合三角形面積公式及三角恒等變換即可求解.【詳解】(1)由題意及正弦定理得,,由余弦定理得,,整理得,所以,又,故A;(2)設(shè),則,因?yàn)椋?,,由于,則,在中由正弦定理得,,解得,因此,過點(diǎn)做的垂線,交于點(diǎn),設(shè)三角形的面積為,,所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即三角形面積的最小值為.19.【答案】(1);(2)(3)答案見解析【分析】(1)根據(jù)集合的新定義直接求解即可;(2)由題意得和全都互質(zhì),所以,則答案可求;(3)分,和三種情況討論即可.【詳解】(1),;(2),要使得最小,就得使和全都互質(zhì),當(dāng)中所有元素互質(zhì)的時(shí)候,,即,解得:就是所求的最小值;(3)當(dāng)時(shí),取等號(hào)當(dāng)時(shí),取等號(hào)當(dāng)時(shí)不妨令,則有其中中元素的個(gè)數(shù)為個(gè),即,當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí)中只有個(gè)元素.(或指出an為等比數(shù)列).2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題(二)一、單選題(本大題共8小題)1.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;②在上為減函數(shù);③的值域?yàn)?;④有個(gè)零點(diǎn),其中正確的結(jié)論是(
)A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②2.在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球,從中不放回的依次摸出兩個(gè)球,事件“第二次摸出的球是紅球”,事件“兩次摸出的球顏色相同”,事件“第二次摸出的球是黃球”,若,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(
)A. B.C. D.3.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積等于(
)A. B. C. D.4.在中,角所對(duì)的邊分別為,,且的面積為,若,則(
)A. B.5 C. D.5.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,分別為棱的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn),且),則點(diǎn)到平面的距離為(
)A. B. C. D.6.是虛數(shù)單位,則(
)A. B. C. D.7.某商場(chǎng)做促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng),規(guī)則如下:商家在箱中裝入大小相同的20個(gè)球,其中6個(gè)紅球、14個(gè)黑球,參加活動(dòng)的人,每人都有放回地取球2次,每次從中任取一球,每個(gè)紅球兌換20元,每個(gè)黑球兌換5元,則每位參與者獲獎(jiǎng)的期望是(
)A.15.5元 B.31元 C.9.5元 D.19元8.在中,,,垂足為D.若,,則AD的長(zhǎng)為(
)A. B.C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體.已知,則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中,正確的有(
)
A.與所成的角為B.該半正多面體過、、三點(diǎn)的截面面積為C.該半正多面體的體積為D.該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式10.是虛數(shù)單位,下列說法中正確的有(
)A.若復(fù)數(shù)滿足,則B.若復(fù)數(shù),滿足,則C.若復(fù)數(shù),則可能是純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)滿足,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限或第三象限11.如圖,已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,分別是,的中點(diǎn),將沿著翻折,使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處,得到四棱錐,則(
)
A.對(duì)任意的點(diǎn),始終有平面B.對(duì)任意的點(diǎn),始終有C.翻折過程中,四棱錐的體積有最大值9D.存在某個(gè)點(diǎn)的位置,滿足平面平面三、填空題(本大題共3小題)12.已知,,,則.13.已知,,若,則.14.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn).(1)的值為;(2)若,且的面積為,求b的值為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知平面向量,(1)若與垂直,求k;(2)若向量,若與共線,求.16.某射擊隊(duì)舉行一次娛樂活動(dòng),該活動(dòng)分為兩階段,第一階段是選拔階段,甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊100次,所得成績(jī)中位數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員參加下一階段,第二階段是游戲階段,游戲規(guī)則如下:①有4次游戲機(jī)會(huì).②依次參加A,B,C游戲.③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲,若輪到C游戲后,無論勝利還是失敗,一直都參加C游戲,直到4次機(jī)會(huì)全部用完.④參加游戲,則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元;參加游戲,則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元;參加游戲,則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金200元.已知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是,乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是,甲、乙參加每次游戲相互獨(dú)立,第一階段甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員射擊所得成績(jī)的頻率分布直方圖如下:(1)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰參加第二階段游戲?并說明理由.(2)在(1)的基礎(chǔ)上,解答下列兩問.(?。┣笤撨\(yùn)動(dòng)員能參加游戲的概率.(ⅱ)記為該運(yùn)動(dòng)員最終獲得的獎(jiǎng)金額,P為獲得每個(gè)獎(jiǎng)金額對(duì)應(yīng)的概率,請(qǐng)用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎娟P(guān)于的函數(shù).17.如圖,在四邊形ABCD中,,且,若P,Q為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.
(1)當(dāng)為AD的中點(diǎn)時(shí),求CP的長(zhǎng)度;(2)求的最小值.18.如圖,已知,直線平面,為CE的中點(diǎn).(1)求證:直線平面;(2)若,求證:平面平面.19.已知向量,,定義函數(shù).(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程,在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的范圍.
參考答案1.【答案】A【分析】根據(jù)的奇偶性和周期性,結(jié)合當(dāng)時(shí),,可得到函數(shù)的圖象,可判斷①②③;在同一直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象,即可判斷④的正誤.【詳解】由題意知,為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,又因?yàn)?,所以周期?,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故可畫出的圖象,如圖所示:由圖可知,關(guān)于對(duì)稱,在先減后增,的值域?yàn)?,1,故①正確,②③錯(cuò)誤;再在同一直角坐標(biāo)系下畫出的圖象,由圖可知:與有個(gè)交點(diǎn),即有個(gè)零點(diǎn),故④正確.故選A.2.【答案】C【分析】由對(duì)立事件的性質(zhì)判斷B;由結(jié)合乘法公式得出,進(jìn)而判斷ACD.【詳解】依題意,事件對(duì)立,,故B正確;設(shè)盒子中有個(gè)紅球,個(gè)黃球,,,故A、D正確;,故C錯(cuò)誤.故選C.3.【答案】D【分析】由三視圖可知:該幾何體為高、底面邊長(zhǎng)均為2的正三棱柱,結(jié)合正三棱柱的外接球的結(jié)構(gòu)特征求球的半徑,即可得表面積.【詳解】由三視圖可知:該幾何體為高、底面邊長(zhǎng)均為2的正三棱柱,則外接球的球心即為兩底面三角形的中心連線的中點(diǎn),如圖所示:可知底面外接圓半徑,則外接球的半徑,所以外接球的表面積為.故選D.4.【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積可推出,利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由于,,故有,解得,又,則,故選:A.5.【答案】D【分析】先判斷出點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離,再由等體積法求解即可.【詳解】∵長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=λ(0≤λ≤1),∴D1E=,∵A1B1∥EF,∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離,設(shè)這個(gè)距離為h,∵,∴h=.∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.故選D.6.【答案】C【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.【詳解】由題意可得:.故選C.7.【答案】D【分析】由題意得到每位參與者獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的可能取值,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率,利用期望的公式,求得數(shù)學(xué)期望,即可求解.【詳解】由題意知,設(shè)每位參與者獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)為,則的可能取值為,則,,所以每位參與者獲獎(jiǎng)的期望是(元).故選D.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題,其中解答中認(rèn)真審題,準(zhǔn)確求得隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8.【答案】C【分析】結(jié)合正弦函數(shù)定義,利用射影定理求解即可.【詳解】由射影定理,得,,即,,即,,又∵,∴.故選C.9.【答案】ABD【分析】由異面直線所成角的定義可判斷A選項(xiàng);由截面為正六邊形可求面積判斷B選項(xiàng);利用柱體和錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng);根據(jù)頂點(diǎn),面數(shù),棱數(shù)判斷D選項(xiàng).【詳解】該半正多面體,是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的.
對(duì)于A選項(xiàng),連接、、,易知是等邊三角形,因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn),則,同理可得,所以,與所成的角為,A正確;對(duì)于B選項(xiàng),如圖,過、、三點(diǎn)的截面為正六邊形,又,所以正六邊形面積為,B正確;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的,所以該幾何體的體積為,C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),幾何體頂點(diǎn)數(shù)為,有個(gè)面,條棱,滿足,D正確.故選ABD.10.【答案】AD【解析】A選項(xiàng),設(shè)出復(fù)數(shù),根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)計(jì)算,即可求出結(jié)果;B選項(xiàng),舉出反例,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式,即可判斷出結(jié)果;C選項(xiàng),根據(jù)純虛數(shù)的定義,可判斷出結(jié)果;D選項(xiàng),設(shè)出復(fù)數(shù),根據(jù)題中條件,求出復(fù)數(shù),由幾何意義,即可判斷出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng),設(shè),則其共軛復(fù)數(shù)為,則,所以,即;A正確;B選項(xiàng),若,,滿足,但不為;B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若復(fù)數(shù)表示純虛數(shù),需要實(shí)部為,即,但此時(shí)復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù),故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),設(shè),則,所以,解得或,則或,所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為或,所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的在第一象限或第三象限;D正確.故選AD.11.【答案】AB【分析】利用線面平行的判定推理判斷A;取中點(diǎn),利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷B;求出四棱錐的體積最大值判斷C;確定平面與平面所成角判斷D作答.【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為4,分別是,的中點(diǎn),則,對(duì)于A,由,平面,平面,得平面,A正確;對(duì)于B,取的中點(diǎn),連接,由,得,而平面,于是平面,又平面,則,所以,B正確;
對(duì)于C,延長(zhǎng)交于,則,等腰梯形的面積為,由選項(xiàng)B知,平面平面,而平面平面,因此點(diǎn)在平面上的射影在上,點(diǎn)到平面的距離,當(dāng)且僅當(dāng),即平面時(shí)取等號(hào),四棱錐的體積為,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,連接,由選項(xiàng)C知,,即為銳角,令平面平面,由選項(xiàng)A知,,從而平面,又平面,則,即是平面與平面所成二面角的平面角,所以平面與平面不垂直,D錯(cuò)誤.故選AB.12.【答案】【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算定義和垂直的向量結(jié)論可解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所?故答案為:.13.【答案】【分析】運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解.【詳解】,,因?yàn)?,所以,所以.故答案為:?4.【答案】208【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義,直接求即可得解;(2)根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì),利用面積公式結(jié)合余弦定理,即可得解.【詳解】(1)由知,,(2)設(shè),,可得,所以,所以,所以.故答案為:(1)20;(2)8.15.【答案】(1);(2)【分析】(1)借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得;(2)借助向量共線定理與模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,,因?yàn)榕c垂直,所以,整理得,解得;(2)因?yàn)?,,,所以,,因?yàn)榕c共線,故,所以,解得,所以,,所以.16.【答案】(1)甲,理由見解析;(2)(?。?;(ⅱ)答案見解析.【分析】(1)利用頻率分布直方圖,結(jié)合中位數(shù)的意義判斷甲乙中位數(shù)的大小即得.(2)(?。├没コ馐录跋嗷オ?dú)立事件的概率公式計(jì)算即得;(ⅱ)按游戲使用次數(shù),求出值及對(duì)應(yīng)的概率,再用列表法表示出函數(shù)關(guān)系即可.【詳解】(1)甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.3,則其中位數(shù)大于80,而乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.6,,則其中位數(shù)小于80,所以甲運(yùn)動(dòng)員參加第二階段游戲.(2)(ⅰ)若甲能參加游戲,則游戲至多共使用3次機(jī)會(huì),①游戲共使用2次機(jī)會(huì),則概率;②游戲共使
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