題型027類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線、等值線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、投影法求范圍與最值、向量矩形大法的應(yīng)用、范圍與最值綜合問題）技法01技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧技法02系數(shù)和（等和線、等值線）的應(yīng)用及解題技巧技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧技法04奔馳定理與三角形四心問題的應(yīng)用及解題技巧技法05向量投影法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧技法06向量矩形大法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧技法07范圍與最值綜合問題的應(yīng)用及解題技巧本節(jié)導(dǎo)航技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧“爪子定理”來源于平面向量三點(diǎn)共線定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中兩個(gè)基底的系數(shù)問題，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握.“爪子定理”的圖示及性質(zhì)：已知在線段上，且，則（全國·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.1．（2024·云南昆明·一模）在中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A．B． C． D．1.（全國·高考真題）在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)、在邊上，，設(shè)，，則（

）A．B．C．D．3．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，，則（

）A． B． C． D．14．如圖，在中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．技法02系數(shù)和（等和線、等值線）的應(yīng)用及解題技巧近年來，在高考和模擬考試中，涉及“系數(shù)和（等和線、等值線）定理”的題目頻繁出現(xiàn)。學(xué)生們?cè)诮獯疬@類問題時(shí)，常常需要通過建立坐標(biāo)系或利用角度與數(shù)量積的方法來處理。然而，由于解題思路不夠清晰和解題過程的復(fù)雜性，得分率往往不高。相比之下，向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算。這種數(shù)形結(jié)合的思想不僅得到了有效體現(xiàn)，而且為解決相關(guān)問題提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用。如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．21．邊長為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（）1．如圖，點(diǎn)C在半徑為1，圓心角的扇形的弧上運(yùn)動(dòng)．已知，則當(dāng)時(shí)，；的最大值為．2．如圖，已知正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)（x，），則的最大值為.3．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧通過應(yīng)用向量的極化恒等式，我們可以迅速將共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為更易處理的形式。這一方法彰顯了向量的幾何特性，并使得迅速解決（秒殺）向量數(shù)量積問題成為現(xiàn)實(shí)。極化恒等式的巧妙之處在于它構(gòu)建了向量數(shù)量積與幾何長度（數(shù)量）之間的聯(lián)系，巧妙地將向量學(xué)、幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)結(jié)合起來。對(duì)于那些不共起點(diǎn)或不共終點(diǎn)的向量問題，我們可以通過平移轉(zhuǎn)化法將其等價(jià)轉(zhuǎn)換為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的向量數(shù)量積問題，進(jìn)而利用極化恒等式來求解。因此，深入學(xué)習(xí)和掌握這一方法是十分必要的。極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對(duì)角線交于點(diǎn),則對(duì)于三角形來說:（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．51．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．，則1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·安徽蕪湖·三模）已知與直線交于兩點(diǎn)，且被截得兩段圓弧的長度之比為，若為上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．技法04奔馳定理與三角形四心問題的應(yīng)用及解題技巧平面向量問題在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域備受關(guān)注，盡管在高考中所占的比重并不大，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度也大多保持在中等水平。然而，偶爾也會(huì)作為壓軸題目出現(xiàn)。在平面向量領(lǐng)域，有許多重要的應(yīng)用，例如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式等。此外，我們還將繼續(xù)探討另一個(gè)關(guān)鍵結(jié)論——奔馳定理。該定理巧妙地將三角形的四心與向量結(jié)合在一起，為高中生提供了一個(gè)課外拓展知識(shí)的機(jī)會(huì)，有助于加深對(duì)三角形的理解，并增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。所謂的“奔馳定理”，因其圖形與奔馳汽車的標(biāo)志相似而得名，它揭示了平面向量與三角形面積之間的一個(gè)優(yōu)雅關(guān)系。掌握這一定理不僅能夠提高解題效率，而且對(duì)于強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有顯著效果。奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點(diǎn)則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對(duì).④若為的垂心，則，或?qū)幭摹じ呖颊骖}）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心1．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則1．已知是三角形內(nèi)部的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是（

）A． B．C．2 D．12．點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，，，則點(diǎn)分別為的（

）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心3．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足.則（

）A．為的外心B．C．D．技法05向量投影法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧向量數(shù)量積的幾何意義是:一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影和這個(gè)向量模的積。如果能巧妙的找到投影長度,數(shù)量積就能快速算出，且不用知道兩個(gè)向量的所成角,所以用投影法能有效解決一類問題（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（

）A．4 B．6 C．8 D．161．如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)，（包括邊界），則的取值范圍為2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2．（2024·陜西渭南·一模）已知圓的方程為，直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時(shí)，（

）A． B． C．4 D．83．在梯形中，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．技法06向量矩形法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧向量矩形法是數(shù)學(xué)中使用向量來解決范圍和最值問題的方法，特別適用于尋找向量的長度范圍和最值，常在小題中使用.如圖，在矩形中，若對(duì)角線和交于點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有以下兩個(gè)重要的向量關(guān)系：①；②.證明：①連接，根據(jù)極化恒等式，可得；②根據(jù)極化恒等式，可得.在矩形中，，，為矩形所在平面上一點(diǎn)，滿足，，則__________.1．已知點(diǎn)為矩形所在平面上一點(diǎn)，若，，，則.2．已知O為矩形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，則．1．在四邊形中，，，則的最小值為.2．已知圓，圓,定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，滿足,則線段的取值范圍.3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩圓和，又點(diǎn)A坐標(biāo)為、是上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形能構(gòu)成矩形的個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)技法07范圍與最值綜合問題的應(yīng)用及解題技巧在平面向量的探討中，范圍與最值問題構(gòu)成了高考命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，它們的復(fù)雜性凸顯了高考在知識(shí)融合點(diǎn)出題的策略。這類題目通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)需要靈活運(yùn)用多種方法，難度較大?；A(chǔ)題型涉及根據(jù)已知信息推導(dǎo)出某個(gè)變量的范圍或最大最小值，例如涉及向量的模長、數(shù)量積、夾角大小以及系數(shù)范圍等。在備考過程中，重視基礎(chǔ)解題技巧的培養(yǎng)和對(duì)典型題型解法的掌握是至關(guān)重要的。本講內(nèi)容的難度較高，要求學(xué)生進(jìn)行綜合性的學(xué)習(xí)。（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．1．（四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．2．已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．1．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．已知平面向量滿足，，則的最小值是.3．（2024·湖北黃岡·一模）已知向量，且，則與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．1．如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．2．平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．3．已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是．5．（多選）在平行四邊形中，，，點(diǎn)是的三邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，C．的最大值為D．滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)6．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．7．已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．8．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“