專題強(qiáng)化03：復(fù)數(shù)【題型歸納】題型一：復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)概念題型二：復(fù)數(shù)的分類(lèi)題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義題型四：復(fù)數(shù)的模題型五;復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算題型六：共軛復(fù)數(shù)題型七：復(fù)數(shù)的立方問(wèn)題題型八：復(fù)數(shù)的最值問(wèn)題題型九：復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題【題型探究】題型一：復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)概念1．（23-24高一下·山東臨沂·期中）下列幾個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)有（

）（1）實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身（2）復(fù)數(shù)的實(shí)部是實(shí)數(shù)，虛部是虛數(shù)（3）復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（4）復(fù)數(shù)是最小的純虛數(shù).A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義判斷命題（1），根據(jù)實(shí)部和虛部的定義判斷命題（2），根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷（3），根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷（4）.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則，此時(shí)，命題（1）正確，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)數(shù)，（2）錯(cuò)誤；因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，（3）正確；復(fù)數(shù)不能比較大小，命題（4）錯(cuò)誤，故選：C.2．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和乘方運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù).∴，虛部為.故選：C.3．（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由實(shí)部與虛部概念可得，代入計(jì)算可求出結(jié)果.【詳解】易知的實(shí)部為，虛部為，由題意可知，則.故選：B題型二：復(fù)數(shù)的分類(lèi)4．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是純虛數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【答案】D【分析】依題意得，即可求解．【詳解】解：是純虛數(shù)，則，得，則“”是“是純虛數(shù)”的充要條件，故選：D5．（23-24高一下·海南海口·期中）已知復(fù)數(shù)，，，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法及純虛數(shù)的意義求出，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】依題意，，由為純虛數(shù)，得，解得，即，所以.故選：C6．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，利用共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的概念建立方程組，解之即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得．故選：D．題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求解其共軛復(fù)數(shù)，最后求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】由題意，所以，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.8．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.9．（23-24高一下·河北·期中）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由，得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，再確定在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．【詳解】由題意知，，其共軛復(fù)數(shù)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C．題型四：復(fù)數(shù)的模10．（24-25高一上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.11．（2024·浙江·一模）已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：C.12．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)模的概念即可得到答案.【詳解】由題意得，，則.故選：C.題型五;復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算13．（23-24高一下·天津河?xùn)|·期中）計(jì)算：(1)； (2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求解即可；（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.14．（23-24高一下·黑龍江雞西·期中）計(jì)算(1) (2) (3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法法則求解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求解.【詳解】（1）；（2）（3）.15．（23-24高一下·廣東佛山·期中）計(jì)算：(1) (2) (3)【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.題型六：共軛復(fù)數(shù)16．（23-24高一下·福建福州·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)為.故答案為：17．（23-24高一下·陜西安康·期中）若復(fù)數(shù)，為的共扼復(fù)數(shù)，則的虛部為.【答案】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得，即可由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】由可得，所以，故，故虛部為，故答案為：18．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，則復(fù)數(shù).【答案】/【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以故答案為：題型七：復(fù)數(shù)的立方問(wèn)題19．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）定義：若，則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復(fù)數(shù)的平方根為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，然后平方后根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，化簡(jiǎn)，所以，，解得，或，，即復(fù)數(shù)的平方根為或，故選：C20．（22-23高二下·湖南·期中）若復(fù)數(shù)為方程（m，）的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軛復(fù)數(shù)求解即可.【詳解】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軛復(fù)數(shù)可知，另一個(gè)復(fù)數(shù)根為.故選：B．21．（23-24高一下·上?！て谀┯?jì)算：．【答案】1000【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】原式．故答案為：1000．題型八：復(fù)數(shù)的最值問(wèn)題22．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則（是虛數(shù)單位）的最小值為（

）A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則由，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)在為圓心，1為半徑的圓上，如下圖所示：而，即求復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到距離的最小值，由圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)位于與圓心點(diǎn)連線交點(diǎn)時(shí)，取到最小值，即故選：B23．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義作出圖形，將求復(fù)數(shù)的模的最值轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題解決即可.【詳解】

如圖，由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可知，滿足的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑分別為1和2的兩個(gè)圓組成的圓環(huán)內(nèi)的區(qū)域（含內(nèi)外圓?。?而可理解為圓環(huán)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（含內(nèi)外圓?。┑近c(diǎn)的距離.由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn)處時(shí)，距離取得最大，為，即的最大值為.故選：A.24．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）18世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義可得表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，的幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，據(jù)此可求解.【詳解】由，可知其幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.同理，的幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.因?yàn)椋?故選：D.題型九：復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題25．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獜?fù)數(shù)，（，i是虛數(shù)單位）(1)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，且是實(shí)數(shù)，記，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)減法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限列不等式即可求解；（2）根據(jù)韋達(dá)定理求得，然后利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得，利用該復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列方程得，從而代入化簡(jiǎn)得，最后利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由題意，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）由題意知的兩根為，，所以，所以，所以，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，即，所以，所以.26．（23-24高一下·山東煙臺(tái)·期中）歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集．(1)若復(fù)數(shù)，求；(2)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，其中是原點(diǎn)，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及的周期性，再利用復(fù)數(shù)的模公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件及復(fù)數(shù)減法的幾何意義即可求解.【詳解】（1）由題可知，，，所以，所以．（2）因?yàn)?，所以?7．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期末）復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾?棣莫弗?歐拉?高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.材料：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.而任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)的三角形式.由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，則.其幾何意義是把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍.請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)，回答下列問(wèn)題：(1)試將寫(xiě)成三角形式；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，求實(shí)數(shù)，的值；(3)已知單位圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，點(diǎn)為該圓上一動(dòng)點(diǎn)（縱坐標(biāo)大于0），點(diǎn)，以為邊作等邊，且在上方.求線段長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)最大值為3.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義直接求解即可；（2）解法一：由題意得，解方程組即可，解法二：根據(jù)所給材料中的復(fù)數(shù)的乘法幾何意義求解即可；（3）解法一：設(shè)，所表示的復(fù)數(shù)為所表示的復(fù)數(shù)為，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式求出的坐標(biāo)，從而可表示出，化簡(jiǎn)變形后可求出其最大值；解法二：連接，設(shè)，然后利用正余弦定理求解即可.【詳解】（1）由于，故，所以，所以，因?yàn)?，所以所以；?）法一：由題意知，得，解得或，因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，所以；法二：由材料一復(fù)數(shù)的乘法幾何意義可知，復(fù)數(shù)乘以一個(gè)模長(zhǎng)為1，輻角為的復(fù)數(shù)，即為復(fù)數(shù).故，故，所以.（3）解法一：設(shè)，所表示的復(fù)數(shù)為所表示的復(fù)數(shù)為，則，，故，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3，故線段長(zhǎng)度的最大值為3.解法二：連接，設(shè)，由，在中可得，在中可得，于是，在中可得，于是，在中可得，化簡(jiǎn)得.故的最大值為3..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給材料的正確理解，然后利用材料中的知識(shí)解決問(wèn)題.【專題強(qiáng)化】一、單選題28．（24-25高一上·湖南婁底·期中）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，是虛數(shù)單位，則點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)概念即可得到答案.【詳解】，則其共軛復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)即為點(diǎn).故選：B.29．（23-24高一下·安徽黃山·期中）若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】由題，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，可得，又為整數(shù)，所以．故選：B．30．（23-24高一下·湖北武漢·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出.【詳解】，故，.故選：B31．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期末）已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是純虛數(shù)B．若，則是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根C．若，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為【答案】C【分析】根據(jù)虛數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，可判定C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，不是純虛數(shù)，所以A不正確；對(duì)于B中，由，可得，因?yàn)?，所以不是方程的一個(gè)復(fù)根，所以B不正確；對(duì)于C中，設(shè)復(fù)數(shù)，可得，所以，又由，所以，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，由，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓環(huán)，其中小圓的半徑為，大圓的半徑為，其面積為，所以D錯(cuò)誤.故選：C.32．（23-24高一下·湖北·期中）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求參，最后求出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，若z為純虛數(shù)，則，即，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A.33．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被舉為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．D．若在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則面積的最大值為【答案】D【分析】代入即可判斷A；代入即可判斷B；對(duì)等式右邊進(jìn)行代換化解即可判斷C；代入，再計(jì)算相應(yīng)相應(yīng)的模，再利用三角形面積公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，其虛部為1，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，，因此的面積為：，面積的最大值為，D正確.故選：D二、多選題34．（23-24高一下·安徽黃山·期中）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部等于 B．C． D．若是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則【答案】CD【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部概念，純虛數(shù)，共軛復(fù)數(shù)，及復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，對(duì)于A項(xiàng)：，所以復(fù)數(shù)的虛部等于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：因?yàn)槭羌兲摂?shù)且是實(shí)數(shù)，即為純虛數(shù)，所以，解得，故D正確．故選：CD.35．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期中）已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若，則【答案】BCD【分析】利用復(fù)數(shù)的意義判斷AD；由模的計(jì)算判斷BC.【詳解】對(duì)于A，是復(fù)數(shù)，如，由不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，A錯(cuò)誤；設(shè)，對(duì)于B，由，得，則，因此，，B正確；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，由，得都是實(shí)數(shù)，因此，D正確.故選：BCD36．（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，且，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，，則，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.37．（23-24高一下·黑龍江·期中）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù) B．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】A選項(xiàng)：是純虛數(shù)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：而，即，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：D選項(xiàng)正確；故選：ABD.38．（23-24高一下·貴州黔西·期末）已知i是虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)，則C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D．【答案】BCD【分析】利用復(fù)數(shù)概念可判斷A錯(cuò)誤，根據(jù)模長(zhǎng)公式可知B正確，由純虛數(shù)概念解方程可得C正確，由復(fù)數(shù)乘方計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)虛數(shù)概念可得復(fù)數(shù)無(wú)法比較大小，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，即B正確；對(duì)于C，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可知，解得，可知C正確；對(duì)于D，易知，即D正確.故選：BCD三、填空題39．（23-24高一下·江蘇·期末）滿足且的復(fù)數(shù).【答案】1【分析】設(shè)，由得，由可得計(jì)算并檢驗(yàn)求得，即得【詳解】設(shè)，由可得，由可得，即，則解得或，顯然不滿足，應(yīng)舍去，故故答案為：1.40．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一個(gè)根為，則.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念求解.【詳解】因?yàn)榈囊粋€(gè)根為，.故答案為：41．（23-24高一下·四川涼山·期末）已知是虛數(shù)單位，則.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)原復(fù)數(shù)，再求模即可.【詳解】由題意得，.故答案為：42．（23-24高一下·甘肅酒泉·期末）已知復(fù)數(shù)z的模為2，則的最大值為．【答案】3【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義，求出的最大值.【詳解】復(fù)數(shù)z的模為2，表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，而是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以.故答案為：343．（23-24高一下·上海·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，即可求得的取值范圍.【詳解】解：表示在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，最小距離為，最大距離為，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題44．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用純虛數(shù)概念，結(jié)合乘法計(jì)算即可；（2）運(yùn)用模長(zhǎng)公式，結(jié)合除法和共軛復(fù)數(shù)知識(shí)求解.【詳解】（1）由題意得，是純虛數(shù)，，，（2）.45．（23-24高一下·浙江·期中）已知復(fù)數(shù)(1)若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若復(fù)數(shù)滿足，求．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可列方程求解，（2）由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，即可由模長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1），所以，（2）由可得故46．（23-24高一下·天津河北·期中）已知復(fù)數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)若是純虛數(shù)，求的值；(3)若，求的值；(4)若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求的取值范圍.【答案】(1)或.(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型求參；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型求參；（3）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得出復(fù)數(shù)再應(yīng)用復(fù)數(shù)相等求參；（4）應(yīng)用復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，得，解得或.（2）由是純虛數(shù)，得解得，所以.（3）由，可知，