難點01平面向量的綜合問題熱點一平面向量共線定理的推論（需聯(lián)立）例1．已知中，分別為邊上的點，且，.與的交點為，若，則.例2．在中，D，E分別是線段BC，AC的中點，，P是直線AD與EF的交點，則．變式1-1．在中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，且，求t的值．變式1-2．在△中，已知，，且AD與BC的交點為M，E是OA中點，又直線ME與線段OB交于點F，若，則實數(shù)的值為．變式1-3．平面內(nèi)有四邊形，，且，，，是的中點．（1）試用，表示；（2）上有點，和的交點，，求和．共線定理的推論：設是平面內(nèi)的任意一點，點共線的充要條件是存在唯一實數(shù)使得.若線段與線段交于點，則可利用推論得到，然后利用題意將轉(zhuǎn)化成和，然后對應系數(shù)相等得到二元一次方程組熱點二數(shù)量積的最值范圍問題例3．是邊長為2的正三角形，為所在平面內(nèi)任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2例4．如圖，在邊長為1的正方形中，是對角線上一點，且，則，若點為線段（含端點）上的動點，則的最小值為．

變式2-1．如圖，在等腰直角中，，，為的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)得到線段設為線段上的點，則的最小值為．變式2-2．（多選）正六邊形ABCDEF的邊長為2，G為正六邊形邊上的動點，則的值可能為（

）A． B． C．12 D．16變式2-3．在等腰梯形中，，，，．

(1)若與垂直，求的值；(2)若為邊上的動點(不包括端點），求的最小值．平面向量求最值范圍的常用方法：1.定義法：先利用數(shù)量積的概念及其運算律轉(zhuǎn)化所求問題，再運用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求其最值問題2.基底法：利用基底轉(zhuǎn)化向量，然后根據(jù)向量運算律化簡目標，接著運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論3.坐標法：先根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標，將平面向量的運算坐標化，然后運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解4.數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合條件進行向量關系推導，然后利用向量之間的關系確定向量所表達的點的軌跡，結(jié)合圖形,確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。熱點三模的最值范圍問題例5．在平面直角坐標系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是例6．如圖，圓和圓外切于點，，分別為圓和圓上的動點，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．變式3-1．已知平面非零向量和單位向量，若與的夾角為與的夾角為，則的最小值為．變式3-2．平面向量滿足，且，則的最小值為．變式3-3．如圖，邊長為4的正方形中心與單位圓圓心重合，M，N分別在圓周上，正方形的四條邊上運動，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．熱點四夾角的最值范圍問題例7．如圖在直角梯形中，，，點E為CD的中點，以A為圓心AD為半徑作圓交AB于點G，點P為劣弧DG（包含D，G兩點）上的一點，AC與劣弧、BE分別交于點F，H.

(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若向量，求實數(shù)x，y的值；(3)若向量與的夾角為，求的最小值.例8．在中，點D滿足且，則當角A最大時，cosA的值為（

）A． B． C． D．變式4-1．已知是平面向量，滿足，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．變式4-2．已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4-3．已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．熱點五利用等和弦解決系數(shù)和差商方問題例9．在中，點滿足，當點在線段（不包含端點）上移動時，若，則的取值范圍是A． B． C． D．例10．如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．2變式5-1．如圖，在中，分別為上的點，且，，.設為四邊形內(nèi)一點（點不在邊界上），若，則實數(shù)的取值范圍為變式5-2．如圖，矩形中，，，、分別為線段、上的點，且滿足，若，則的最小值為．

變式5-3．在中，點滿足，當點在線段上移動時，若，則的最小值是．平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當?shù)群途€恰為直線時，；②當?shù)群途€在點和直線之間時，；③當直線在點和等和線之間時，；④當?shù)群途€過點時，；⑤若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數(shù)；熱點六平面向量的“四心”問題例11．（多選）已知三角形ABC滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點O為的重心，則，B．若點O為的外心，則C．若點O為的垂心，則，D．若點O為的內(nèi)心，則．例12．（多選）著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，為中點，且，，則下列各式正確的有（

）A．B．C．D．變式6-1．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若是內(nèi)一點，且，則為的垂心B．若是內(nèi)一點，且，則為的外心C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形D．若是內(nèi)一點，且，則為的內(nèi)心變式6-2．已知所在的平面上的動點滿足，則直線一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心變式6-3．（多選）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若三點共線，則存在實數(shù)使1.重心向量式設是的重心,為平面內(nèi)任意一點,則有①;②③若,則動點的軌跡經(jīng)過三角形的重心④若,則動點的軌跡經(jīng)過三角形的重心2.垂心向量式若是的垂心,為平面內(nèi)任意一點,則有:①;②③,則動點的軌跡通過的垂心3.內(nèi)心向量式若是的垂心,則有：①②,則動點的軌跡經(jīng)過三角形的內(nèi)心4.外心向量式若是的外心,為平面內(nèi)任意一點,則①②③,則動點的軌跡通過外心.④若熱點七奔馳定理例13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，已知是內(nèi)一點，,,的面積分別為,,，則.若是銳角內(nèi)的一點，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則下列說法正確的是.（填序號）①是的外心；②；③；④例14．如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則變式7-1．在面上有及內(nèi)一點滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.變式7-2．（多選）如圖，為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（

）A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點，且點到三邊的距離分別是，則有B．若為內(nèi)一點，且，則是的內(nèi)心C．若為內(nèi)一點，且，則D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則變式7-3．（多選）O是銳角三角形ABC內(nèi)的一點，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點O滿足.請根據(jù)“奔馳定理”判斷下列命題正確的是（

）

A．O為的外心B．C．D．奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且，則熱點八新定義問題例15．定義兩個向量的運算“”與運算“”：，其中是的夾角.若，則.例16．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.(1)若向量的“完美坐標”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數(shù)，，求的值域.變式8-1．（多選）如圖所示，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為斜坐標系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為變式8-2．（多選）定義：，兩個向量的叉乘的模，則下列命題正確的是（

）A．若平行四邊形ABCD的面積為4，則B．在正中，若，則C．若，，則的最小值為D．若，，且為單位向量，則的值可能為變式8-3．（多選）如圖，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，其中，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若，則有序數(shù)對叫做向量在夾角為的坐標系xOy中的坐標，記為.已知，則（

）

A． B．C．為等腰三角形 D．1．（2024·25高一下·江蘇宿遷·階段練習）已知為四邊形所在平面內(nèi)的一點，且向量滿足等式，為的中點，，與交于點，若則（

）A． B． C． D．2．（2023·24高二上·廣東梅州·期末）在中，為內(nèi)的一點，，則下列說法錯誤的是（

）A．若為的重心，則 B．若為的外心，則C．若為的垂心，則 D．若為的內(nèi)心，則3．（2024·25高一下·湖南婁底·階段練習）（多選）抖音上面的一位名為“湯匙不是鑰匙”的博主曾經(jīng)講過一個已知三角形三點求三角形面積的公式，即若，則，這個公式的本質(zhì)是與向量的叉乘運算有關，前面我們學過向量的點乘也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來定義向量的叉乘運算，設是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則它們的向量積是一個新的向量，規(guī)定這個新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設，則下列說法正確的是（

）A．若，則存在實數(shù)使得B．C．D．4．（2023·24高一下·河北保定·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023·24高二上·廣東佛山·期末）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個動點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”．6．（2023·24高二上·四川涼山·期末）在平面上有及內(nèi)一點O滿足關系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心7．（2024·25高一上·河北保定·期中）設點在以為圓心，半徑為1的圓弧BC上運動(包含B，C兩個端點)，且，則的最大值為.8．（2024·25高一下·河北·階段練習）如圖，在等腰梯形中，為線段的中點，與交于點為線段上的一個動點.

(1)用基底表示；(2)求的值；(3)設，求的取值范圍.9．（2023·24高一下·河北石家莊·期末）在中