第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省示范性高中高二下學期2月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若f′x0=?2，則limA.?1 B.?2 C.1 D.22.已知A機器中有7個娃娃，B機器中有8個娃娃，且這15個娃娃互不相同，某人從A，B機器中分別抓取1個娃娃，則此人抓取娃娃的不同情況共有(

)A.15種 B.30種 C.45種 D.56種3.若數(shù)列an滿足an+1=3an?1，則稱an為“對奇數(shù)列”.已知bA.3×22024 B.22025 C.2×4.已知點C的坐標為1,1，動點P滿足PC=22，O為坐標原點，則OP的最大值為A.42 B.32 C.5.從3名男生和2名女生中任選3人參加一項創(chuàng)新大賽，則選出的3人中既有男生又有女生的概率為(

)A.110 B.310 C.356.將4個相同的商品放在A，B，C，D4個空貨架上，則有且僅有2個貨架上有商品的放法有(

)A.18種 B.20種 C.24種 D.120種7.設F1，F(xiàn)2為橢圓C:y2+x2n=10<n<1的兩個焦點，若在CA.12,1 B.22,1 8.已知函數(shù)fx與f′x的定義域均為R，且fx與fx+1?2均為奇函數(shù)，A.f2025=4050 B.f′x的圖象關于直線x=1對稱

C.f′二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.從書架上任取數(shù)學書、語文書各1本，求共有多少種取法的問題是分步計數(shù)問題

B.分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情

C.分類加法計數(shù)原理可用來求解完成一件事有若干類方法這類問題

D.求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問題是分類計數(shù)問題10.已知點A2,3，B4,?5到直線l的距離相等，且l過點P1,0，則l的方程可能是A.x+y?1=0 B.4x+y?4=0 C.2x+y?2=0 D.x+2y?1=011.如圖，陰影部分(含邊界)所示的四葉圖是由拋物線C:y2=2pxp>0繞其頂點分別逆時針旋轉90°，180°，270°A.開口向上的拋物線的方程為y=14x2

B.四葉圖上的點到點O的距離的最大值為42

C.動直線x+y=t三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若C16x=C162x+1x∈13.已知反比例函數(shù)y=2x的圖象是雙曲線，則這個雙曲線的離心率為

．14.已知a>0，若在函數(shù)fx=eax2?x+1,x≥0xax2+1,x<0，的圖象上存在4個點四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知數(shù)列an的通項公式為an=3n?1，bn是公比為qq>0(1)求bn(2)設an與bn的公共項由小到大排列構成新數(shù)列cn，求cn的前516.(本小題12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，P為DF的中點．(1)證明：BF//平面APC；(2)求直線EC與平面APC所成角的正弦值．17.(本小題12分)已知橢圓E:x25+y2b2=10<b<5的左、右焦點分別為F1(1)求E的方程；(2)過點t,0作斜率為1的直線交E于A，B兩點，設點A、B關于y軸的對稱點分別為D、C，當四邊形ABCD的面積為553時，求直線18.(本小題12分)已知函數(shù)fx=?xex(1)討論fx(2)若當x∈1,+∞時，fx與gx(3)若當a∈0,1e時，gxx∈0,e19.(本小題12分)已知函數(shù)fx=sin(1)求an(2)從an的前nn≥2項中隨機選出不同的兩項相乘，所得結果為偶數(shù)的概率記為Pn，問：是否存在正整數(shù)M，使得當n≥M時，恒有P(3)若bn=?1n+1an，且數(shù)列bn的前n參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.AC

10.BD

11.ABD

12.5

13.214.0,115.【詳解】(1)因為b2=2，所以2+2q+2q2=14，解得q=2(所以bn(2)設an的第m項與bn的第則am=bk，即當k=1時，m=23?N?，當k=2當k=3時，m=53?N?，當k=4當k=5時，m=173?N?，當k=6當k=7時，m=653?N?，當k=8當k=9時，m=2573?N?，當k=10故S5

16.【詳解】(1)如圖，連接BD，交AC于點O，連接PO．因為四邊形ABCD為矩形，所以OB=OD，因為P，O分別為DF和DB的中點，所以BF//PO，又PO?平面APC，BF?平面APC，所以BF//平面APC．(2)因為AF⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥AD，以A為坐標原點，AB，AD，AF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0，C1,2,0，E1AC=1,2,0，AP=設平面APC的法向量為m=則m?AC=x+2y=0,m?AP=y+設直線EC與平面APC所成的角為θ，則sinθ=所以直線EC與平面APC所成角的正弦值為2

17.【詳解】(1)設F1?c,0，F(xiàn)2c,0，c>0.由因為△F1MF2由b2+c2=5bc=2得b4?5b所以b=1c=2或b=2c=1，結合c>b，可得b=1c=2，所以E(2)由題意得直線AB的方程為y=x?t，設Ax1,由A，B關于y軸的對稱點分別為D，C，構成四邊形ABCD，可知點A，B位于y軸同側，則四邊形ABCD的面積2x將y=x?t代入x25+則x1+x且Δ=100t2?24所以x1整理得t4?6t2+9=0所以直線AB的方程為y=x+3或

18.【詳解】(1)由題可知fx的定義域R，f′令f′x=0，可得當x∈?∞,1時，f′x<0，當x∈所以fx在?∞,1上單調遞減，在1,+∞(2)由(I)可知gx在1,+∞即g′x=ln即a≤lnxx令px=lnxx可得當x∈1,e時，p′x>0，當x∈所以px在區(qū)間1,e上單調遞增，在區(qū)間e,+∞上單調遞減，且p又x∈1,+∞時，px所以a≤0，即實數(shù)a的取值范圍是?∞,0．(3)由題可知g′x=令tx=lnx?ax，因為0<x≤e，0≤a<1e，所以所以g′x在0,e又g′1=?a≤0，所以存在唯一的x0∈1,e，使得g′x0當x∈0,x0時，g′x<0，gx單調遞減，當所以gx令qx=xlnx所以qx在1,e所以qe<qx≤q1所以?e

19.【詳解】(1)因為fx所以令fx=0，可得πx=kπ，k∈Z，解得x=k，則fx的所有正零點可表示為x=n，n∈故an的通項公式為a(2)從an的前n項中隨機選出不同的兩項相乘，共有C設事件A=“不同的兩項相乘，所得乘積為偶數(shù)”，則A=“不同的兩項相乘，所得乘積為奇數(shù)”，可知P當n為偶數(shù)時，前n項中有n2個奇數(shù)，n易得當n=2時，P2當n>2時，即從n2個奇數(shù)中任取2個不同的奇數(shù)，共有C則1?Pn=由Pn<56，可得由n為偶數(shù)，可得n≥6．當nn≥3為奇數(shù)時，前n項中有n+12個奇數(shù)，則兩項均為奇數(shù)，即從