2023.2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題2.2實(shí)數(shù)全章六類

必考壓軸題

【人教版】

必考點(diǎn)11算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性

1.若有理數(shù)x,y滿足y=W-3+-％+1,則％+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

2.當(dāng)x等于（）時(shí)，一3-淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式|"一（%+5/-2|-3|的值為（）

A.IB.2

C.3D.以上答案都不時(shí)

4.已知a、b、c滿足+b-4+|a-c+2|=7b-C-b,則a+b+c的平方根為

5.若|2021-a|+Va-2025=G,則a-202"的值為.

6.若72x—6+\y-12|=0,求，^的平方根是.

7.已知實(shí)數(shù)“、b、c滿足Vb-4+|a+1|=7b-c+&-b

（1）求證：b=c；

（2）求一a+h+c的平方根.

必考點(diǎn)2無理數(shù)的估算

1.已知43?=1849,44?=1936,452=2025,462=2116.若九為整數(shù)且r?<V2021<n+1,則n的值為（

A.43B.44C.45D.46

2.若無理數(shù)%="+6，則估計(jì)無理數(shù)x的范圍正確的是（）

A.2Vx<3B.3<x<4C.4<x<5D.5Vx<6

3.已知〃?是整數(shù)，當(dāng)|〃L標(biāo)|取最小值時(shí)，小的值為（）

A.5B.6C.7D.8

4.3表示不大于k的最大整數(shù)，如［3.151=3,［-2.7］=-3,⑷=4,則模迎反串泮變藥碼的值為

（）

A.1011B.2021C.2022D.1012

5.對于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定，用符號［口］表示不大于傷的最大整數(shù)，稱［6］為Q的根整數(shù)，例如：［圾］=3,

［x/10］=3.我們可以對一個(gè)數(shù)連續(xù)求根整數(shù)，如對5連續(xù)兩次求根整數(shù)：［遍］=2t［或］=1.若對%連續(xù)

求兩次根整數(shù)后的結(jié)果為1,則滿足條件的整數(shù)”的最大值為（）

A.5B.10C.15D.16

6.我們在初中已經(jīng)學(xué)會(huì)了估算后的值，現(xiàn)在用即表示距離返最近的正整數(shù).（〃為正整數(shù)）比如：的表示

距離”最近的正整數(shù)，.??%=1；。2表示距離四最近的正整數(shù)，???。2=1；%表示距離K最近的正整數(shù)，

/.a3=2……利用這些發(fā)現(xiàn)得到以下結(jié)論：

①de=2；②a”=2時(shí)，〃的值有3個(gè)；③%—出+—+。9一。1（）=0；a4--a+???H——=20；⑤當(dāng)

l2alO0

工+2+-+2=100時(shí)，〃的值為2550.

ala2an

五個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

7.若整數(shù)“滿足3+幗4%工病+2,則%的值是.

8.對于任何實(shí)數(shù)〃，可用［Q］表示不超過。的最大整數(shù)，如［4］=4,［V5］=l.現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：72

第一次|夕2|=8笫二次|我|=2第三次|或|=1,類似地，只需.進(jìn)行3次操作后變?yōu)镮的所有壬整數(shù)中，最

大的是.

必考點(diǎn)3N探究平方根和立方根的規(guī)律

1.如卜.表，被開方數(shù)〃和它的算術(shù)平方根a的小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得機(jī)，〃的值

分別為（）

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

a0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n?7.91B.m=2.5,n=7.91C.m?7.91,n=2.5D.m=2.5,n?0.791

2.觀察被開方數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)與立方根窗的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知證*1.817,貝1J恂而、

3.我們知道，平方數(shù)的開平方運(yùn)算可以直接求得，如C等，有些數(shù)則不能直接求得，如石，但可以通過計(jì)

算器求得.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請你觀察下表：

a???0.04440040000???

而???X2yZ,..

(1)表格中的三個(gè)值分別為：x=：y=；z=；

(2)用公式表示這一規(guī)律：當(dāng)1=4x100〃(〃為整數(shù))時(shí)，，傘=；

(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：

已知低雙42.358,則①dO.O556P:②A/55600P.

4.為了進(jìn)一步研究算術(shù)平方根的特點(diǎn)，閆老師用計(jì)算器計(jì)算出了一些數(shù)的算術(shù)平方根，并將結(jié)果填在了下

表中.

(1)請你幫助閆老師將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；

表1.

第1組第2組笫3組第4組第5組第6組第7組

..x/0.01VD?TVT國V100VioooV10000..

..0.10.316—3.16—31.6—..

(2)請你仿照表1中的規(guī)律，將表2補(bǔ)充完整.

表2.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組

..V03百V30V300V3000..

..0.17320.5477—5.477——..

(3)通過表1和表2,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用文字或符號概括你的發(fā)現(xiàn).

(提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數(shù)和結(jié)果，再觀察第2組、

第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果).

5.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如機(jī)，有些數(shù)則不能直接求得，如V5,但可以通過計(jì)

算器求.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請同學(xué)們觀察下表：

n160.160.00161600160000??.

4X0.04y400???

(1)表格中x=；1y=；

(2)從表格中探究〃與迎數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題:

①已知7^=1,435,則兩人；

②已知,3.3489=1.83,若近=0.183,則x=.

6.【初步感知】

⑴直接寫出計(jì)算結(jié)果.

①舊=;

②+23=;

③+23+33=;

?V13+24+33+43=

【深入探究】觀察下列等式.

①1+2=。+產(chǎn)

②1+2+3=”戶

③1+2+3+4=生詈：

@l+2+3+4+5=^|^；

根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容.

/c\(1+2022)x2022

(2)=-----------；

(3)1+2+3+…+7i+(ri+1)=?

【拓展應(yīng)用】計(jì)算：

(4)〃3+23+33+…+993+1003.

(5)113+123+133+…+193+203.

7.數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上的乘客閱讀的雜志上自道智力題：求59319的立方根，

華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙.你知道怎樣迅速地求出計(jì)算結(jié)果嗎？請你按

下面的步驟試一試.

第一步：VV1000=10,71000000=100,且lOOOV59319VlOOOOOO

/.10<V59319<100,即59319的立方根是一個(gè)兩位數(shù).

第二步：??,59319的個(gè)位數(shù)字是9,而93=729.

:.能確定短頁詞的個(gè)位數(shù)字是9.

第三步：如果劃除59319后面的三位數(shù)，得到數(shù)59,而27V59V64.

V27<V59<鬧，可得30<V59319<40.

???59319的立方根的十位數(shù)字是3.

???59319的立方根是39.

根據(jù)上面的材料解答卜面的問題：

(1)填空：1728的立方根是一個(gè)_____位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字是；

(2)仿照上面的方法求157464的立方根”，并驗(yàn)證。是157464的立方根.

8.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如〃，有些數(shù)則不能直接求得，如但可以通過計(jì)

算器求.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請同學(xué)們觀察下表：

n160.160.00161600160000???

40.40.0440400?,.

(I)表中所給的信息中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(請將規(guī)律用文字表達(dá)出來)

(2)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知之心麗亡1.435,求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

?V0.0206?；@V206?；

(3)根據(jù)上述探究過程類比研究一個(gè)數(shù)的立方根已知返?1.260,則惱而?.

必考點(diǎn)4利用“夾逼法"求整數(shù)部分和小數(shù)部分

1.對于任意實(shí)數(shù)%,%均能寫成其整數(shù)部分兇與小數(shù)部分{燈的和，其中[刈稱為％的整數(shù)部分，表示不超過工

的最大整數(shù)，{燈稱為》的小數(shù)部分，即x=[X]+{4}.比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7,[1.7]=1.{1.7]=0.7,

-1.7=[-1,7]+{-1.7]=-2+0.3,[-1.7]=-2,{-1.7}=0.3,則下列結(jié)論正確的有()

①{一?=《②04{x}<1；③若{%-2}=0.3,則％=2.3；@{x}+{y}={x+y)+1對一切實(shí)數(shù)％、y均成

?J

立；⑤方程{x}+g}=1無解.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.我們知道b是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但是由于

1<V3<2,所以百的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為V5-1.根據(jù)以上的內(nèi)容，解答下面的問題：若夕的小

數(shù)部分為m相的整數(shù)部分為b,則a+b-近的值是.

3.觀察：因?yàn)闃?biāo)V時(shí)<M，耳2c遍<3,所以V5的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為—2.

請你觀察上述規(guī)律后解決下面的問題：

(1)規(guī)定用符號[m]表示實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：用=0,[伺=2.按此規(guī)定，那么[同+1]的值為

(2)若VH的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為4|c|="T,求。(。--6)+12的值.

4.如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為L

(1)圖中陰影部分的面積是;陰影部分正方形的邊長Q是

(2)估計(jì)邊長a的值在兩個(gè)相鄰整數(shù)與之間.

(3)我們知道兀是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此兀的小數(shù)部分我們不可能全部寫出*,我們可以

用3來表示它的整數(shù)部分，用6-3)表示它的小數(shù)部分.設(shè)邊長a的整數(shù)部分為％,小數(shù)部分為y,求(x-y)

的相反數(shù).

5.閱讀材料：實(shí)數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分由于實(shí)數(shù)的小數(shù)部分一定要為正數(shù)，所以正、負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分

與小數(shù)部分確定方法存在區(qū)別：

①對于正實(shí)數(shù)，如實(shí)數(shù)9.23,在整數(shù)9?10之間，則整數(shù)部分為9,小數(shù)部分為9.23-9=0.23.

②對于負(fù)實(shí)數(shù)，如實(shí)數(shù)一9.23,在整數(shù)一10--9之間，則整數(shù)部分為一10,小數(shù)部分為-9.23-(-10)=0.77.

依照上面規(guī)定解決下面問題：

(1)已知近的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為人求a、b的值.

(2)若x、y分別是10-g的整數(shù)部分與小數(shù)部分，求3。+后)的值.

(3)設(shè)％=而+1,a是x的小數(shù)部分，b是-x的小數(shù)部分，求(a+8)2的值.

6.先閱讀下面材料，再解答問題：

材料：任意一個(gè)有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù)的積為無理數(shù)，而

零與無理數(shù)的積為零.由此可得：若a+b標(biāo)=0,其中小。為有理數(shù)，標(biāo)是無理數(shù)，貝必=0,匕=0.

證明：???Q+b標(biāo)=0,a為有理數(shù)

.3A/沅是有理數(shù)

?.Z為有理數(shù)，布是無理數(shù)

工匕=0

.*.a+Ox/m=0

.*.a=0

(1)若a+b6=3+6，其中a、〃為有理數(shù)，請猜想a=,b=,并根據(jù)以上材料證明

你的猜想；

⑵已知41的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為4且4,y為有理數(shù)，My,a,》滿足lly+E(y-6Tx)=(b+

2)VTT+a，n,求工,)，的值.

7.下面是小李同學(xué)探索5而的近似數(shù)的過程：

;面積為107的正方形邊長是同7,且10<V而<11

工設(shè)/而=10+工，其中0<x<l,畫出如圖示意圖，

;圖中S近女=102+2x10?x+VS正方行107

???1。2+2x10十107

當(dāng)『較小時(shí)，省略/，得20￥+100之107,得到x=0.35,即10.35.

(1)、/兀的整數(shù)部分是：

⑵仿照上述方法，探究質(zhì)的近似值.(畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程)

必考點(diǎn)5N與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題

I.計(jì)算下列各式：

(I)"+23=;

(2)Vl3+23+33=；

(3)Vl3+23+33+43=；

(4)Vl3+23+33+43+53=；

(5)Vl3+23+33+-+203=；

(6)猜想“3+23+33+...+"=.(用含口的代數(shù)式表示)

2.觀察下列各等式及驗(yàn)證過程：

險(xiǎn)證后1=底==3備

展一＞=［器驗(yàn)證-3==罟

朋一》=摩'驗(yàn)證

針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃(〃為正整數(shù))表示的等式一

3.觀察下列等式，并回答問題:

?|1-V2|=5^-1;

@\42-V3|=V3—>/2；

@|\^3—V4|=x/4—V3；

@|\/4—V5|=V5-V4；

(1)請寫出第⑤個(gè)等式：，化簡：|聞一6|=；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：；(用含〃的式子表示)

(3)比較宇與1的大小.

4

4.先觀察下列等式，再回答問題：

①小+3+*=1+:7^=0

②J1+專+專=1+；-8=1

③J1+卷+*=1+1

(1)根據(jù)上而三個(gè)等式提供的信息，請你猜想Jl+?+4=.

(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用〃的式子表示的等式：.

對任何實(shí)數(shù)〃可［0表示不超過〃的最大整數(shù)，如［4］=4,［網(wǎng)=1,計(jì)算：Jl+,+?/+,+,+

J1+或+3+…+J+點(diǎn)+衰的值

5.【觀察】請你觀察下列式子.

第I個(gè)等式：71=1.

第2個(gè)等式：/1T3=2.

第3個(gè)等式：“+3+5=3.

第4個(gè)等式：“+3+5+7=4.

第5個(gè)等式：“+3+5+7+9=5.

【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)你的閱讀回答下列問題：

(1)寫出第7個(gè)等式.

(2)請根據(jù)上面式子的規(guī)律填空：“+3+5+-+(2九+1)=

(3)利用(2)中結(jié)論計(jì)算：(4+12+20+28+…+44+52.

6.已知一列數(shù)：4,a2,a3,a4,a5...an,滿足對為一切正整數(shù)n都有

1_1111_111111_]

、/S7VS72、/a2a3\/574^2703

高+盍+/+高=儡'之+盍+*+忌+…成立'且％=I?

(1)求做，。3的值;

（2）猜想第幾個(gè)數(shù)即（用幾表示）：

(3)求相通+2a3+Ja3a4+…+J。2021a2022的值?

7.觀察下列一組算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律：

(I)(1x5+4=V9=3,

(2)(2x6+4=1/I6=4,

(3)V3x74-4=V25=5,

(4)(4x8+4=V36=6.

(I)觀察算式規(guī)律，計(jì)算，5x9+4=:V19x23+4=.

(2)用含正整數(shù)九的式子表示上述算式的規(guī)律：.

(3)計(jì)算：11x5+4-《2x6+4+《3x7+4-《4x8+4+???+72021x2025+4.

必考點(diǎn)6N與實(shí)數(shù)有關(guān)的應(yīng)用O

1.如圖①,把兩個(gè)邊長為1的小正方形沿對角線剪開,所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形.由

此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的方法.

（I）圖②中4、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為,；

（2）請你參照上面的方法：

把圖③中5XI的長方形進(jìn)行剪裁，并拼成一個(gè)大正方形.在圖③中畫出裁剪線，并在圖④的正方形網(wǎng)格中

畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長。=.（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）

2.如圖1,有5個(gè)邊長為1的小正方形組成的紙片，可以把它翦拼成一個(gè)正方形.

(1)拼成的正方形的面積是,邊長是：

(2)仿照上面的做法，你能把下面這十個(gè)小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個(gè)大正方形嗎？若能，在

圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長；若不能，請說明理由.

圖1圖2

3.觀察圖形，每個(gè)小正方形的邊長為1.

(1)則圖中陰影部分的面積是，邊長是.

(2)已知陰影正方形的邊長為x,La<x<b,若。和是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么Q=,b=.

(3)若設(shè)圖中陰影正方形的邊長為K,請?jiān)谙旅娴臄?shù)軸上準(zhǔn)確地作出數(shù).r所表示的點(diǎn)，若還有一人點(diǎn)H與它的

距離為1,則這個(gè)點(diǎn)8在數(shù)軸上所表示的數(shù)為.

IjI1III?

-1012345

4.動(dòng)手試一試：

圖I是由10個(gè)邊長均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖中的虛線AB，8C將它剪開后，重新拼成一個(gè)

大正方形ABCD.

圖1IS2

(1)在圖1中，拼成的大正方形ABCD的面積為，邊AD的長為；

(2)知識運(yùn)用：現(xiàn)將圖1水平放置在如圖2所示的數(shù)軸上，使得大正方形的頂點(diǎn)8與數(shù)軸上表示一1的點(diǎn)重

合，若以點(diǎn)B為圓心，8C邊的長為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點(diǎn)石，則點(diǎn)石表示的數(shù)是；

(3)變式拓展：圖3是由25個(gè)邊長均為I的小正方形組成的圖形，

①你能從中剪出一個(gè)面積為13的大正方形(大正方形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上)嗎？若能，請?jiān)趫D中

畫出示意圖；若不能，請說明理由；

②在①的條件下，在圖3中的數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)，請你利用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上找出表示該大正方形邊長的

點(diǎn)，并直接寫出該點(diǎn)表示的數(shù).

5.“說不完的魚”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題.

(1)正到底有多大?

卜.面是小欣探索魚的近似值的過程，請補(bǔ)充完整：

我們知道面積是2的正方形邊長是近，且魚＞1.4.設(shè)&=1.4+工，畫出如下示意圖.

由面積公式，可得/+=2.

因?yàn)楣ぶ岛苄?，所?更小，略去/，得方程，解得%》—(保留到0.001),即迎k.

(2)怎樣畫出或？請一起參與小敏探索畫企過程.

現(xiàn)有2個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖(1),請把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.要求：畫出分

割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.

小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有公=2,解得％=

魚.把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割,請?jiān)趫D（2）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.

r丁r1

1i

1j

rnrnTn

1i

1i

—1—rn丁1

11

111J

rn~ir十.1

11

11

圖⑴圖⑵圖(3)圖(4)

請參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（3）,請把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方

形.要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.說明：直接畫出圖形，不

要求寫分析過程.

專題2.2實(shí)數(shù)全章六類必考壓軸題

【人教版】

必考點(diǎn)1N算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性

1.若有理數(shù)x,y滿足y=〃-3+，3-％+1,則x+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，計(jì)算得出％=3,從而得出y=l,然后把小y的值相加，即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可得：巴一3]?,

t3-x>0

解得x=3,

??y=1，

/.x+y=3+1=4.

故選：C.

2.當(dāng)工等于（）時(shí)，一3-百二淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性得到-3-"W-3即可得到答案.

【詳解】解：???瓦三正20，

A-V4^x2<o,

A-3-V4^x2<-3,

???當(dāng)4一/=0,即％=±2時(shí)，-3—V?。7有最大值，

故選D.

3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式||尸9+5尸-253|的值為（）

A.1B.2

C.3D.以上答案都不對

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，化簡絕對值即可求解.

【詳解】解：由二次根式被開方數(shù)大于等于0可知：-（x+5）2=0,

???原式=||0-2|-3|=|2-3|=|-1|=1.

故選：A.

4.已知〃、b、c滿足"a+b—4+|a-c+2|=\/b-c+\/c-b,則a+b+c的平方根為.

【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出小b,。的值，根據(jù)開平方，可得答案.

【詳解】解：由題意得，b-c>0Rc-b>0,

:.匕>c且c>b,

??b-C>

:.da+b-4+|a-c+2|=7b-c+7c-b=0,

.,._.(a+b=4

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得｛:二二3,即時(shí)。=一2，

一(h=c

a=1

解得b=3,

c=3

a+b+c=7,

???a+b+c的平方根是土夕.

故答案為：土汨

5.若|2021-a|+，a-2025=a,則a-20212的值為.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求得a的范圍，進(jìn)而化簡絕對值，根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求解.

【詳解】解：112021—a|+—2025=a,a-2025>0,即aN2025,

A|2021-a|=a-2021,

??a—2021+Va—2025=a,

即Ya-2025=2021,

/.G-2025=20212,

Aa-20212=2025,

故答案為：2025.

6.若72x-6+\y-12|=0,求的平方根是.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出％、y的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得：2x-6=0,y-12=0,

解得：x=3,y-12,

:.yjxy=y/3x12=V36=6,

二歷的平方根是±遍.

故答案為：±75

7.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足lb—4+|a+1|=V/—c+Jc-b

⑴求證：b=c；

（2）求-a+b+c的平方根.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，以及非負(fù)數(shù)之和為0,求得a,b,c的值，進(jìn)而求得一a+b+c的平方根.

【詳解】（1）證明：*.*\!b-c>0,yjc—b>0,b-c>0,c—b>0,

???b=c；

（2）解：vy/b-4+|a+1|=y/b-c+Vc-b,b=c,

???Vb—4+|a—1|=0,

???a=-l,b=4,

c=b=4,

-a+b+c=l+4+4=9,

9的平方根是±3.

必考點(diǎn)24無理數(shù)的估算

I.已知43?=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若"為整數(shù)且九<V2021<n+1,則兀的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【分析】由題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解:V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

A442<2021<452,

???44<V2021<45,

An=44；

故選B.

2.若無理數(shù)%="+遙，則估計(jì)無理數(shù)x的范圍正確的是（）

A.2<x<3B.3<x<4C.4cx<5D.5Vx<6

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)（被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大）解決此題.

【詳解】解：???4<5<9

.,.V4<V5<V9

??-2<>/5<3

,V5+2〈返+眄

vV+-2

.-.4<2+V5<5

.-.4<x<5

故選：C.

3.已知，〃是整數(shù)，當(dāng)|，〃-聞|取最小值時(shí)，機(jī)的值為()

A.5B.6C.7D.8

【分析】根據(jù)絕對值是非負(fù)數(shù)，所以不考慮切為整數(shù)，則|m-師|取最小值是0,又0的絕對值為0,令m-

>/40=0,得出m=同，再根據(jù)〃?是整數(shù)，找出最接近聞的整數(shù)可得：機(jī)=6.

【詳解】解：因?yàn)?同|取最小值，

\m-V40|=0,

???m—V40=0,

解得：m—V40,

vm2=40,

6<m<7,且m更接近6,

.?.當(dāng)m=6時(shí)，|m—4而|有最小值.

故選：B.

4.⑶表示不大于x的最大整數(shù)，如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,則I痂⑶廝器”2。2.2022]的值為

()

A.1011B.2021C.2022D.1012

【分析】根據(jù)因表示不大于x的最大整數(shù)可得至=[VI3司=2,[H51]=3,…，

[V2021X2022]=2021,然后計(jì)算即可.

【詳解】解：V[V1V2]=1,[72x3]=2,[V35C4]=3,…，[\/2021x2022]=2021,

.[-/1><2)+[>/2><3]+-+(72021x2022]

??1011

1+2+3+-+2021

二ion

^X(1+2O21)X2O21

1011

=2021

故選:B.

5.對于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定，用符引表示不大于西的最大整數(shù)，稱[6]為a的根整數(shù)，例如；[內(nèi)]=3,

［710］=3.我們可以對一個(gè)數(shù)連續(xù)求根整數(shù)，如對5連續(xù)兩次求根整數(shù)：［6］=2T［或］=1.若對工連續(xù)

求兩次根整數(shù)后的結(jié)果為1,則滿足條件的整數(shù)x的最大值為（）

A.5B.10C.15D.16

【分析】對各選項(xiàng)中的數(shù)分別連續(xù)求根整數(shù)即可判斷得出答案.

【詳解】解：當(dāng)尸5時(shí)，［而］=2->［得=1,滿足條件；

當(dāng)工=10時(shí)，［4司=3->［百］=1,滿足條件；

當(dāng)工=15時(shí)，［6］=3T［6］=1,滿足條件；

當(dāng)工=16時(shí)，［S%］=4T［C］=2,不滿足條件；

???滿足條件的整數(shù)3的最大值為15,

故答案為：C.

6.我們在初中已經(jīng)學(xué)會(huì)了估算后的值，現(xiàn)在用Q”表示距離的最近的正整數(shù).（〃為正整數(shù)）比如：%表示

距離近最近的正整數(shù)，.??%=1；。2表示距離遮最近的正整數(shù)，???。2=1；。3表示距離逐最近的正整數(shù)，

Aa3=2……利用這些發(fā)現(xiàn)得到以下結(jié)論：

①。6二2;②Qn=2時(shí)，〃的值有3個(gè)；③即一0.2+。3-…+。9—Qio=0：④工+—+,*,H------=20;⑤當(dāng)

aia2aioo

工+上+..?+?￡=100時(shí),〃的值為2550.

ala2an

五個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根據(jù)%表示距離n最近的正整數(shù)，進(jìn)行判斷；②根據(jù)即=2,確定〃的值；③分別求出

進(jìn)行求解即可；④根據(jù)③中的數(shù)據(jù)，得到相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，再進(jìn)行計(jì)算即可；⑤根據(jù)規(guī)

律進(jìn)行倒推，即可得解.

【詳解】解：①。6表示距離乃最近的正整數(shù)，

a6=2；故①正確；

②/=2時(shí)，n=3,4,5,6,

???”的值有4個(gè)；故②錯(cuò)誤；

?Q］=1,0,2=1,。3=2,Q4=2,a,=2,06=2,Q7=3,Qg=3,tig=3,a］。=3,

**-1-14-2----+3—3=0；故③正確；

?a1—I,。？=1,。3=2,。4=2,=2,=2,a7=3,—3,cig—3,a1?！?,

???2個(gè)1,4個(gè)2,6個(gè)3,8個(gè)4,…，

A-+-+--?+—=1x2+4xi+6x-+8xi+-+18x-+10x-=19；故④錯(cuò)誤；

。2Qioo234910

(§)—+--+4--=100=50x2=2xl+4x：+6x：+??,+100x—,

%a2an2350

An=2+4+6+-+100=x50=2550；故⑤正確；

綜上：正確的是①⑨§),共3個(gè)；

故選B.

7.若整數(shù)“滿足3+悔4%工匠+2,則%的值是.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義估算無理數(shù)很和體的大小，進(jìn)而得出3+%和屈+2的大小

即可.

【詳解】解：,.?43=64,53=125,而64V65V125,

.*.4<765<5,

???7<3+V65<8,

又：...82=64,92=81,而64<65V81,

:.8<V65<9,

:.10<V654-2<11,

又?.整數(shù)為滿足3+V65<%<V65+2,

Ax=8或無=9或％=10,

故答案為：8或9或10.

8.對于任何實(shí)數(shù)小可用佃］表示不超過a的最大整數(shù)，如⑷=4,［何=1.現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：72

第一次［g］=8第二次［我］=2第三次［悶=1,類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)镮的所有王整數(shù)中，最

大的是.

【分析】根據(jù)規(guī)律可知，最后的取整是1，得出前面的一個(gè)數(shù)字最大的是3,再向前一步推取整式3的最大

數(shù)為15,繼續(xù)回得到取整是15的最大數(shù)為225；反之驗(yàn)證得出答案即可.

【詳解】解：???［網(wǎng)=1,［>/15］=3,［V225|=15；

所以只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)镮的所有正整數(shù)中，最大的是225

故答案為:225

必考點(diǎn)3'探究平方根和立方根的規(guī)律

1.如下表，被開方數(shù)〃和它的算術(shù)平方根逅的小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得〃?，〃的值

分別為()

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n?7.91B.m=2.5,n?7.91C.m?7.91,n=2.5D.m=2.5,n?0.791

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解決此題.

【詳解】解：由題意得：從0.0625開始，小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，對應(yīng)算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍,

從0.625開始，小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，對應(yīng)算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，

工可得：6.25的算術(shù)平方根為2.5.62.5的算術(shù)平方根約為7.91,

故選B.

2.觀察被開方數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)與立方根幅的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知泥、1.817,貝右

【分析】根據(jù)題中所給規(guī)律可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得:

VV6?1.817,

AV6000?18.17；

故答案為18.17.

3.我們知道，平方數(shù)的開平方運(yùn)算可以直接求得，如根等，有些數(shù)則不能直接求得，如花，但可以通過計(jì)

算器求得.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請你觀察下表：

a???0.04440040000???

???X2yz?..

(1)表格中的三個(gè)值分別為：％=；y=；z=

(2)用公式表示這一規(guī)律：當(dāng)々=4x100〃(〃為整數(shù))時(shí)，g

(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：

已知?2.358,則①VO.O55a；②"55600=

【分析】(1)直接利用算術(shù)平方根定義計(jì)算填表即可；

(2)歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，然后求出遍的信即可:

（3）利用（2）得出的規(guī)律即可解答.

【詳解】（1）解：根據(jù)算術(shù)平方根定義可得：x=0.2；y=20；z=200.

故答案為0.2；20；200.

（2）解：當(dāng)Q=4X100n（〃為整數(shù)）時(shí)，Va=2xlOn.

故答案為2x10、

（3）解：若/5麗x2.358,則①-0.0556?0.2358：（2）755600x235.8.

故答案為:0.2358；235.8.

4.為了進(jìn)一步研究算術(shù)平方根的特點(diǎn)，閆老師用計(jì)算器計(jì)算出了一些數(shù)的算術(shù)平方根，并將結(jié)果填在了下

表中.

（1）請你幫助閆老師將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；

表1.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組

...Vo.oiVolaVioV100VioooV10000....

...0.10.316—3.16—31.6—...

（2）請你仿照表1中的規(guī)律，將表2補(bǔ)充完整.

表2.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組

...V0.03V03V3V30x/300V3000...

...0.17320.5477—5.477——...

⑶通過表1和表2,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用文字或符號概括你的發(fā)現(xiàn).

（提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數(shù)和結(jié)果，再觀察第2組、

第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果）.

【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，即可求得答案

（2）觀察第1組、第3組、第5組中的被開方數(shù)和結(jié)果以及第2組、第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果,

可得出答案

（3）根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得近=1.455=Wioooo=100.

故答案為:1：10；100.

(2)解：已知^/5^3=0.1732,

V3=1.732,V300=17.32.

?.?已知同=5.477,

V3000=54.77.

故答案為：1.732；17.32；54.77.

(3)解：通過觀察表1和表2可發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2九位，算數(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就隨之

向左或向右移動(dòng)九位.

5.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如U，有些數(shù)則不能直接求得，如行，但可以通過計(jì)

算器求.還有一種方法可以通過?組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請同學(xué)們觀察下表：

n160.160.00161600I6(X)(X)???

4X0.04y400???

(1)表格中x=；y=；

⑵從表格中探究〃與近數(shù)位的規(guī)津，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：

①已知VZ而Y.435,則“20600y；

②已知，3.3489=1.83,若?=0.183,則工=.

【分析】(1)把n=0.16代入x=4求解叩可；把n=1600代入y-京求解即可；

(2)①根據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了4位，則算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位求解;

②根據(jù)算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)1位；則被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了2位求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)n=0.16時(shí)，x=Vn=V0.16=0.4,

當(dāng)n=1006時(shí)，x=Vn=Vl600=40,

故答案為：0.4,40；

(2)解：①已知小訪R.435,則，/20600I143.5；

故答案為：143.5；

②已知力3.3489=1.83,若依=0.183,則工=0.03489.

故答案為：0.03489.

6.【初步感知】

⑴直接寫出計(jì)算結(jié)果.

①仔=;

②V13+23=：

③V13+23+33=;

刨2+24+33+43=;

【深入探究】觀察下列等式.

①1+2=生衿

②1+2+3=111^：

③1+2+3+4=(1+；)“；

@1+2+34-4+5=

根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容.

Q)_(1+2022)x2022

(3)1+2+3+…+n+(九+1)=,

【拓展應(yīng)用】計(jì)算：

(4)V13+23+334-+993+1003；

(5)113+123+133+…+193+203.

【分析】(1)直接計(jì)算即可：

(2)根據(jù)前4個(gè)式子的規(guī)律填空即可；

(3)根據(jù)規(guī)律可得1+2+3+?,-+/1+(〃+1)=("+1，+2)；

(4)根據(jù)(1)的計(jì)算可得原式=1+2+3+…+100；

33333333

(5)根據(jù)規(guī)律可得原式=(1+2+3+-+19+20)-(p+23+3+.-+9+10),再根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可.

【詳解】(I)解：①舊=1；

②Y13+23=3；

③V13+23+33=6；

④V13+24+33+43=10：

故答案為：①1②3③6010

(2)解：由規(guī)律可得：1+2+3+...+2022=5"/"",

故答案為：1+2+3+...+2022；

(3)解：1+2+3+???+〃+(〃+1)=(〃+】,+2).

故答案為：，+】羋+%

(4)解：原式-1+2+3+...+100-(1°"1*1°°=5050；

2

(5)解：原式=(13+23+33+-+193+203)-(13+23+33+-+93+103)

=(Vl3+23+-+203)2-(Vl3+23+...+103)2

=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2

/21X20、?11X10i

=<—)2-<z—>x

=2*552

=41075.

7.數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求